"杨辉三角"与二项式系数的性质(1)

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班级:高二年级 科目:数学

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一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

0n 1n r n -r r n n （1）(a +b ) n =C n a +C n a b + +C n a b + +C n b (n ∈N *) ，

1r r （2）(1+x ) n =1+C n x + +C n x + +x n .

r n -r r 2．二项展开式的通项公式：T r +1=C n a b 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、探究新知：

1. 知识点

1）二项式系数表（杨辉三角）

(a +b ) n 展开式的二项式系数，当n 依次取1, 2,3„时，二项式系数表，

表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2）二项式系数的性质：

(a +b ) 展开式的二项式系数是C n ，C n ，C n ，„，C n ．C n 可以看成以r 为自变量的函数n 012n r

f (r ) 定义域是{0,1,2, , n }，例当n =6时，其图象是7个孤立的点（如图）

（1）对称性:

m n -m 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C n ）．直线r ==C n n 是2

图象的对称轴．

（2）增减性与最大值:

∵C n =k n (n -1)(n -2) (n -k +1) k -1n -k +1=C n ⋅， k ! k

k -1 ∴C n 相对于C n 的增减情况由k n -k +1n -k +1n +1>1⇔k

当k

n

2n n -12n n +12n 得最大值； 当n 是偶数时，中间一项C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C

，C 取得最大值．

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（3）各二项式系数和：

1r r ∵(1+x ) n =1+C n x + +C n x + +x n ，

012r n 令x =1，则2n =C n +C n +C n + +C n + +C n

2、讲解例题：

例1．在(a +b ) n 0n 1n r n -r r n n 证明：在展开式(a +b ) n =C n a +C n a b + +C n a b + +C n b (n ∈N *) 中，令

0123n a =1, b =-1，则(1-1) n =C n ， -C n +C n -C n + +(-1) n C n

0213即0=(C n +C n + ) -(C n +C n + ) ，

0213∴C n +C n + =C n +C n + ，

即在(a +b ) n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

0213说明：由性质（3）及例1知C n +C n + =C n +C n + =2n -1.

例2．已知(1-2x ) 7=a 0+a 1x +a 2x 2+ +a 7x 7，求：

（1）a 1+a 2+ +a 7； （2）a 1+a 3+a 5+a 7； （3）|a 0|+|a 1|+ +|a 7|.

解：（1）当x =1时，(1-2x ) 7=(1-2) 7=-1，展开式右边为

a 0+a 1+a 2+ +a 7

∴a 0+a 1+a 2+ +a 7=-1，

当x =0时，a 0=1，∴a 1+a 2+ +a 7=-1-1=-2，

（2）令x =1， a 0+a 1+a 2+ +a 7=-1 ①

令x =-1，a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37 ②

1+37

①-② 得：2(a 1+a 3+a 5+a 7) =-1-3，∴ a 1+a 3+a 5+a 7=-. 27

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（3）由展开式知：a 1, a 3, a 5, a 7均为负，a 0, a 2, a 4, a 8均为正，

∴由（2）中①+② 得：2(a 0+a 2+a 4+a 6) =-1+37，

-1+37

∴ a 0+a 2+a 4+a 6=， 2

∴|a 0|+|a 1|+ +|a 7|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7

=(a 0+a 2+a 4+a 6) -(a 1+a 3+a 5+a 7) =37

2103例3. 求(1+x)+(1+x)+„+(1+x)展开式中x (1+x )[1-(1+x ) 10]解：(1+x ) +(1+x ) + （1+x ）=1-(1+x ) 210

(x +1) 11-(x +1) =， x

∴原式中x 实为这分子中的x ，则所求系数为C 347

三、小结

二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.

四、练习

1

．

123n 2．多项式f (x ) =C n 的展开式中，(x -1) +C n (x -1) 2+C n (x -1) 3+ +C n (x -1) n （n >6）1)4(x -1)5展开式中x 的系数为 ，各项系数之和为 ． 4

x 6的系数为

3．若二项式(3x -21n ) （n ∈N *）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） 32x

A.4 B.5 C.6 D.8

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4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番目标，那么该企业年产值年平均增长率最低应

A.低于5％ B.在5％～6％之间 C.在6％～8％之间 D.在8％以上

五、作业

课本第28页的A 组1-5题.