三角函数恒等变换含答案及高考题

三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx·cotx=tan45°等。

222222

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx；配凑角：α=（α+β）－β，β=

2

2



2

－



2

等。

（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=absin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=

2

2

b

确定。 a

1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值． 解：因为tanx

sinx

2，又sin2x＋cos2x=1， cosx

sinx2cosx

，联立得2 2

sinxcosx1

22sinxsinx55

解这个方程组得,.

5

cosxcosx55

2．求

tan(120)cos(210)sin(480)tan(690)sin(150)cos(330)







的值．

解：原式

tan(120180)cos(18030)sin(360120)



tan(72030o)sin(150)cos(36030)

tan60(cos30)(sin120)33.

tan30(sin150)cos30

3．若

sinxcosx

2,，求sinxcosx的值．

sinxcosx

sinxcosx

2,

sinxcosx

解：法一：因为

所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，

得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得

33sinxsinx ，，



cosxcosx

3

 10sinxcosx

法二：因为2,

sinxcosx

所以sinxcosx

所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，

所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2， 所以1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx， 所以有sinxcosx

3 10

4．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．

证明：法一：右边＝tan2x－sin2x=tan2x－(tan2x·cos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证． 法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证． 5．求函数y2

x

2π

)在区间[0，2]上的值域． 6

xπxπ7ππ,,由正弦函数的图象， 26266

解：因为0≤x≤2π，所以0xπ1

得到sin()[,1],

262

所以y∈[－1，2]．

6．求下列函数的值域．

(1)y＝sin2x－cosx+2； (2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)． 解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，

令t=cosx，则t[1,1],y(t利用二次函数的图象得到y[1,

2

113113

t)3(t)2(t)2,

2424

13

]. 4

π

2，sin(x)，则

4

(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx

5

t[2,2]则，yt2t1,利用二次函数的图象得到y[,12].

4

7．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．

解：由最高点为(2,2)，得到A2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得

14

Tπ4，T=16，所以

84

ππ

2x).

84

ππ

又由22sin(2)，得到可以取.y

84

8．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．

π2

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值． 数y

1sinx

的值域．

3cosx

解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x ππ

(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2x2sin(2x)2sin(2x)

44

所以最小正周期为π．

πππ3ππ3π

(Ⅱ)若x[0,]，则(2x)[,]，所以当x=0时，f(x)取最大值为2sin()1;当x时，

244448

f(x)取最小值为1． 已知tan

2.

cossin

；（2）sin2sin.cos2cos2的值.

cossinsin1

cossin1tan12322； 解：（1）

sin1tan12cossin

1

cos

sin2sincos2cos222

(2) sinsincos2cos 22

sincos

sin2sin

2222242

 2.

sin213

1cos2

2，求（1）

说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2． 求函数y1sinxcosx(sinxcosx)的值域。

解：设tsinxcosx

2

π

x)[，则原函数可化为

4

13

yt2t1(t)2

，因为t[，所以

24

13

当t

时，ymax3，当t时，ymin，

24

3

所以，函数的值域为y[，3。

4

3．已知函数f(x)4sinx2sin2x2，xR。

（1）求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合； （2）证明：函数f(x)的图像关于直线x

2

2

π

对称。 8

2

解：f(x)4sinx2sin2x22sinx2(12sinx)

2sin2x2cos2xx) (1)所以f(x)的最小正周期Tπ，因为xR，

π4

ππ3π

2kπ，即xkπ时，f(x

)最大值为 428

π

(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x对称，只要证明对任意xR，有

8

ππ

f(x)f(x成立，)

88

ππππ

因为f(x)x)]2x)2x，

8842

所以，当2x

ππππ

f(x)x)]2x)2x，

8842πππ

所以f(x)f(x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x对称。

888

12

4． 已知函数y=cosx+sinx·cosx+1 （x∈R）,

22

（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

11122

cosx+sinx·cosx+1= (2cosx－1)+ +（2sinx·cosx）+1

2244431515

=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+

4442664

15=sin(2x+)+ 264



所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。

626



所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}

6

解：（1）y=

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：



，得到函数y=sin(x+)的图像； 66

1

（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；

2611

（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的

226

（i）把函数y=sinx的图像向左平移图像；

（iv）把得到的图像向上平移综上得到y=

515

个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。 4264

12

cosx+sinxcosx+1的图像。

22

历年高考综合题

一，选择题

1.（08全国一6）y(sinxcosx)1是 （ ） A．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的偶函数

B．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为π的奇函数

2

2.（08全国一9）为得到函数ycosx





π

的图象，只需将函数ysinx的图像（ ）

3

π

个长度单位 65π

C．向左平移个长度单位

6

A．向左平移

π

个长度单位 65π

D．向右平移个长度单位

6

B．向右平移

3.(08全国二1)若sin0且tan0是，则是 （ ） A．第一象限角

B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角

4.（08全国二10）．函数f(x)sinxcosx的最大值为 （ ） A．1 B． 2 C．3 D．2 5.（08安徽卷8）函数ysin(2xA．x



3

)图像的对称轴方程可能是 （ ）C．x



6

B．x



12



6

D．x



12

6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移



个单位后，得到函数y=g(x)的图象，2

则g(x)的解析式为 ( ) A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx

7.（08广东卷5）已知函数f(x)(1cos2x)sinx,xR，则f(x)是 （ ）

2



的奇函数 2

C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数

2

A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为

8.（08海南卷11）函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为 （ ）

33 D. －2， 22

9.（08湖北卷7）将函数ysin(x)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若

3

A. －3，1

B. －2，2

C. －3，

F′的一条对称轴是直线x



1

,则的一个可能取值是 （ ）

511511

 B. C. D.

12121212

sinx

10.（08江西卷6）函数f(x)是 （ ）

x

sinx2sin

2

A.

A．以4为周期的偶函数 B．以2为周期的奇函数 C．以2为周期的偶函数 D．以4为周期的奇函数

11.若动直线xa与函数f(x)sinx和g(x)cosx的图像分别交于M，N两点，则

MN的最大值为 （ ）

A．1

B

C

D．2

12.（08山东卷10

）已知cos



π7π

sinsin的值是（ ）

66

C．

A

．

5

B

．

544 D． 55

13.（08陕西卷1）sin330等于 （ ） A

． B．

11 C． 22

2

D

14.（08四川卷4）tanxcotxcosx ( ) Ａ.tanx Ｂ.sinx Ｃ.cosx Ｄ.cotx 15.（08天津卷6）把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的



个单位长度，3

1

倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函2

数是 （ ） A．ysin2x



，xR 3

B．ysin

x

，xR 26



，xR 3

C．ysin2x



，xR 3

D．ysin2x



16.（08天津卷9）设asinA．abc

522

，bcos，ctan，则 （ ） 777

B．acb C．bca D．bac

2

17.（08浙江卷2）函数y(sinxcosx)1的最小正周期是 （ ）

3

B. C. D.2

22

x3

18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数y)(x[0，2])的图象和

22

1

直线y的交点个数是 （ ）

2

A.

A.0 B.1 C.2 D.4 二，填空题

19.（08北京卷9）若角的终边经过点P(1，2)，则tan2的值为 ． 20.（08江苏卷1）fxcosx







6

的最小正周期为

，其中0，则= ． 5

2sin2x1

21.（08辽宁卷16）设x0，则函数y的最小值为．

sin2x2

22.（08浙江卷12）若sin(



3

)，则cos2_________。 25



23.（08上海卷6）函数f(x)＝3sin x +sin(+x)的最大值是

2三，解答题

24. （08四川卷17）求函数y74sinxcosx4cosx4cosx的最大值与最小值。 25. （08北京卷15

）已知函数f(x)sin2xxsinx

2

4



π

（0）的最小2

正周期为π．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f(x)在区间0上的取值范围．

326. （08天津卷17）已知函数f(x)2cosx2sinxcosx1（xR,0）的最小值正周期是

2

2π



． （Ⅰ）求的值； 2

（Ⅱ）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．

27. （08安徽卷17）已知函数f(x)cos(2x



)2sin(x)sin(x) 344



（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[

,]上的值域

122



28. （08陕西卷17

）已知函数f(x)2sin（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；

xxx

cos2． 444

（Ⅱ）令g(x)fx





π

，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由． 3

1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.

47 20. 10 21.3 22.  23.2 325

2

4

24. 解：y74sinxcosx4cosx4cosx

72sin2x4cos2x1cos2x

72sin2x4cos2xsin2x 72sin2xsin22x 1sin2x6

2

，由于函数zu16在11中的最大值为

2

zmax11610 最小值为

zmin1166

故当sin2x1时y取得最大值10，当sin2x1时y取得最小值6

【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；

25. 解：

（Ⅰ）f(x)

2

2

1cos2x11

2x2xcos2x

222

π1

sin2x．

62

因为函数f(x)的最小正周期为π，且0， 所以

2π

π，解得1． 2

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)sin2x



π1． 62

2π， 3

ππ7π所以≤2x≤，

666

因为0≤x≤所以

1π≤sin2x≤1， 26

因此0≤sin2x26. 解：





π133

，即的取值范围为≤0． f(x)6222

fx2

1cos2x

sin2x12

sin2xcos2x2

 

2sin2xcoscos2xsin2

44

2sin2x2

4

由题设，函数fx的最小正周期是（Ⅱ）由（Ⅰ）知，fx

2

，可得，所以2．

222



2sin4x2．

4

当4x



4





2

2k，即x



16



kkZ时，sin4x取得最大值1，所以函数

42

k

fx的最大值是22，此时x的集合为x|x,kZ

162

27. 解：（1）f(x)cos(2x



)2sin(x)sin(x)

344





1cos2x2x(sinxcosx)(sinxcosx)

221cos2x2xsin2xcos2x

221cos2x2xcos2x 2 



sin(2x（2）x[



6

) ∴周期T

2

 2

5

,],2x[,] 122636



6

)在区间[

,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，

12332



因为f(x)sin(2x所以 当x





3

时，f(x)取最大值 1

又

f(



12

)

1

f()，∴当x时，f(x

)取最小值

222212

所以 函数 f(x)在区间[

,]上的值域为[122



28. 解：（Ⅰ）f(x

)sin

xxxπ

2sin． 2223

f(x)的最小正周期T

2π

4π． 12

当sin

xπxπ

1时，f(x)取得最小值2；当sin1时，f(x)取得最大值2．

2323

πxπ

．又g(x)fx．

323

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)2sin

1ππxxπ

g(x)2sinx2sin2cos．

332222xx

g(x)2cos2cosg(x)．

22

函数g(x)是偶函数．

常用三角恒等变换技巧

1 “角变换”技巧

角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。

sin2x2sin2x337

例1 已知cosx，，求的值。 x

1tanx4544

【分析】考虑到“已知角”是x



4

，而“未知角”是x和2x，注意到xx







，可直44

接运用相关公式求出sinx和cosx。 【简解】因为x又因为cosx

347

，所以x2， 44







334，所以， 0sinxx2

454524

72

sinxsinxsinxcoscosxsin，

44444410

2sinxcosx2sin2x282

. 从而cosx，tanx7. 原式=

101tanx75

【反思】（1）若先计算出cosx

2

，则在计算sinx时，要注意符号的选取；（2）本题10

的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二次方程组求出sinx和cosx. 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由2x2运用诱导公式和倍角公式求出sin2x。

例2 已知tan()tan()，其中1，求证：



x，42

sin21 

sin21

【分析】所给条件中出现的“已知角”是与，涉及的“未知角”是2与2，将三个角比较分析发现2()()，2()()，把“未知”角转化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解。 【简证】

sin2sin sin2sin

sin()cos()cos()sin()

sin()cos()cos()sin()



tan()tan()tan()tan()1



tan()tan()tan()tan()1

【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技巧.；（2）本题也可由已知直接求出tan与tan的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有：

，，

22，22()，754530

424

等.

2 “名变换”技巧

名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的问题常常有明显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱导公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。

例3 已知向量a(1tanx,1)，b(1sin2xcos2x,0)，求f(x)ab的定义域和值域；

【分析】易知f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x)，这是一个“切弦共存”且“单、倍角共在”的式子，因此既要通过“切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数式更简明。

【简解】f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x)

1

sinx2

12sinxcosx2cosx1 cosx



2cosxsinxcosxsinx 2cos2x 由cosx0得，xk



2

,kZ，2cos2x2



所以，f(x)2cos2x.的定义域是xxk





,kZ，值域是2,2. 2

【反思】本题也可以利用万能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解. 例4 已知,都是锐角，且tan

sincossin，求的值。

sincossincos

【分析】已知条件中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化

切”，另一方面，若是“切化弦”，则很快出现待求式，与目标很近.

sin

1tantan

tan【简解1】显然cos0时，tan，

411tantancos4

因为,都是锐角，所以，

4

所以，

sin



sincos

sin2

. 

2

2sin

4

【简解2】由

sinsincossincos得，， 

cossincossincossincos

设

sincosA，则

sincossincos

sin2cos2A2sincossincos，

2

2



所以，2A21，A

sin22

，即. 

sincos22

【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；简

解2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元. 3 “常数变换”技巧

在三角恒等变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善式子结构，运用相关公式求解，如 1sin2xcos2x，1tan45，3tan



3

等.

1sin6xcos6x3

；例5 （1）求证: （2）化简：sin2xcos2x. 44

1sinxcosx2

【分析】第（1）小题运用1sinxcosx和1sinxcosx把分子、分母都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的



22



3



22



2

yAsinx的形式，有利于系统研究函数的图象与性质.

(sin2xcos2x)3sin6xcos6x

【简解】（1）左边=

(sin2xcos2x)2sin4xcos4x3sin2xcos2x(sin2xcos2x)3. 22

2sinxcosx2

（2）原式=sin2xtan



3

cos2x

sin

sin2x

cos

3cos2x3

sin2xcos



3

cos2xsin



32sin2x



3

cos

3

【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，实际上是利用了

1sin2xcos2x把整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了1tan45，把分

式变成了整式.

4 “边角互化”技巧

解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.

例6 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b) sinC，

（1）求角A的大小；

（2）若sinBsinC1，证明ABC是等腰三角形.

【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。 【简解】（1）（角化边）由正弦定理

2

abc

得， 

sinAsinBsinC

2a(2bc)b(2cb)c，整理得，a2b2c2bc，

b2c2a212

所以cosA. ，因为0A，所以A

2bc23

（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，

BsinC)sinB(2sinCsinB)sinC 2sinA(2sin

2

2

2

即2sinA2(sinBsinC)2sinBsinC，从而sinBsinC 又sinBsinC1，所以sinBsinC所以BC，ABC是等腰三角形. 法二：由（1）知BC

1

， 4

1. 2



3

，C



3

B，代入sinBsinC1得，

sinB

所以B

31

cosBsinB1，所以sinB1，B， 22323



6

，C



6

，ABC是等腰三角形.

【反思】第（1）小题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定理的

结构，第（2）小题的法一之所以“化边为角”，是因为不易把条件sinBsinC1化为边的关系，而把条件2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC转化为边的关系却很容易；法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.

5 “升降幂变换”技巧 当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用“降

xxx

幂”技巧，常见的公式有：1sinxsincos，1cosx2cos2，

222

2

1cosx2sin2

x

，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”. 2

例7 化简：sin6sin6 【分析】含有根号，需“升幂”去根号. 【简解】原式=sin3cos32sin3cos3 =sin3cos3sin3cos3

2

2

sin23cos232sin3cos3

因为

3

3，所以sin3cos32sin30，sin3cos30，

44

所以，原式(sin2cos3)(sin3cos3)2cos3. 例8

求函数f(x)2sin2

πππ

x2x，x的最大值与最小值． 442

【分析】函数式中第一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角一致..

【简解】∵f(x)1cos

π

2x2x1sin2x2x 2

π

12sin2x．

3

又∵x，∴≤2x≤，即2≤12sin2x≤3，

363342

ππππ2π



π

∴f(x)max3，f(x)min2．

【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合

各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅助角”变换技巧.

6 “公式变用”技巧

几乎所有公式都能变形用或逆向用，如sin

sin2sin2

，cos，

2cos2sin

tantantan1tantan等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等

也是一种公式变用或逆用技巧.

例9 求值：（1）cos20cos40cos60cos80；

（2）tan70tan103tan70tan10。

【分析】第（1）小题中，除60是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为60，而是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。 【简解】（1）原式＝

sin40sin80sin160sin1601

。 cos60

2sin202sin402sin8016sin2016

（2）原式＝tan(7010)(1tan70tan10)tan70tan10＝。

n1

【反思】第（1）小题的一般性结论是： coscos2cos2

sin2n

nnN*.

2sin



例10 求证：tanxtan2xtan2xtan3xtan(n1)xtannx

tannx

n。 tanx

【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正切的和、差角公式中出现了两角正切的积，可尝试.

【简证】因为tanxtankxk1x

tankxtan(k1)x

，k2,3,4,,n

1tankxtan(k1)x

tankxtan(k1)x

1，

tanx

tan2xtanxtan3xtan2xtan4xtan3xtannxtan(n1)x左边=n

tanxtanxtanxtanx

tannx=n tanx

所以tan(k1)xtankx

【反思】这里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求和的一种常见技巧.

7 “辅助角变换”技巧 通常把asinxbcosx

a2b2sin(x)叫做辅助角公式（也叫化一公式），其作用是

把同角的正弦、余弦的代数和化为yAsinx的形式，来研究其图象与性质. 尤其是

当

3a

时，要熟记其变换式，如sinxcosx2(sinx，1，，

43b



3sinxcosx2(sinx等.

6

例11 求函数y

1sinx

的值域.

3cosx

【分析】初看此题，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了asinxbcosx，然后利用三角函数的有界性建立关于y的不等式. 【简解】由y

1sinx

得3yycosx1sinx，所以sinxycosx3y1，

3cosx

2

从而ysin(x)3y1，

其中辅助角由sin

yy

2

，cos

1y

2

决定.

所以，由sinx

3y1y2

1解得0y

3. 4

【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式，把问题转化为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成，也可以看成是“常数变换”的结果. 事实上，asinxbcosx=asinx



bb

可设tan，cosx，

aa

再进行“切化弦”变换，就得到了“化一公式”..

8 “换元变换”技巧

有些函数，式子里同时出现sinxcosx（或sinxcosx）与sinxcosx，这时，可设

t211t2

，则sinxcosx（或sinxcosx），tsinxcosx（或tsinxcosx）

22

把三角函数转化为熟悉的函数来求解. 例12 求函数y

sinxcosx

x的值域． 0,1sinxcosx2

2

【分析】同时出现sinxcosx与sinxcosx时，可用sinxcosx12sinxcosx. 【简解】设sinxcosxt，因为0x



2

，t



2(sinx，所以t(1,2]，

4

t21

又由sinxcosx12sinxcosx得，sinxcosx，

2

2

t21

sinxcosxt1

所以，y， 

1sinxcosx1t2

由t(1,]得，0y

21

. 2

【反思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、配”，则是因题而异，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值范围；（3）平方关系的变式sinxcosx12sinxcosx应用广泛，如在解答命题“已知sin，

2

”时，关键步骤是在运用韦达定理后，cos是方程x2kxk10的两根，求k的值．利用变式消元后求解。

例13 求证：

xyyzzxxyyzzx

。 

1xy1yz1zx1xy1yz1zx

【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似，而所证等式与三角形中的结论

tanAtanBtanCtanAtanBtanC相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。【简解】设tanx,tany,tanz，因为， 所以tantan，

tantantan，

1tantan变形整理得tantantantantantan

所以，

tantantantantantan



1tantan1tantan1tantan



tantantantantantan



1tantan1tantan1tantanxyyzzxxyyzzx



1xy1yz1zx1xy1yz1zx

即，

【反思】本题解法也体现了类比思维的作用，若用常规方法处理，则运算十分繁琐. 9 “万能置换”技巧

“万能置换”技巧，实际从属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的正弦、余弦与正切. 例14 讨论函数y

2x

的最大值与最小值. 2

1x

【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解. 但类比函数式的结构与万能置换公式

x

相同，于是问题得到转化. sinx

x

1tan2

2

2tan

t

t2xsint， 【简解】设xtant，则y2

t21x

1tan2

2



当且仅当t也就是xtan1时，ymax1，

24

2tan

当且仅当t



2

也就是xtan



1时，ymin1. 4

【反思】（1）当问题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置换公

式；（2）运用万能置换技巧既可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题转化

为代数问题，如例11中，可设ttan

1sinxx

，则y23cosx

tan2

xx

2tan1，即

x2tan24

2

t22t1

，然后可用判别式法求解. y2

2t4