微积分第三章答案

第三章　导数与微分

习题解析

(A )

1. 根据导数的定义求下列函数的导数:

3

(1) y =1-2x 　　　　(2) y =2　　　　(3) y =x 2

x 解　根据导数定义y ′=Δlim 来求.

x →0Δx

(1) Δy =1-2(x +Δx) 2-1+2x 2=-4x Δx -2(Δx ) 2

2

=-4x -2Δx Δx

=lim (-4x -2Δx ) =-4x Δx Δx →0

2

(2) Δy =2-2=22

(x +Δx ) x x (x +Δx ) =--222

Δx x(x +Δx) x (x +Δx )

-y ′=Δlim =lim =-3

x →0Δx Δx →0x(x +Δx) 2x

y ′=Δlim x →0

(3) Δy =

=

3

(x +Δx ) -(x +Δx) +

4

2

3

x

2

2

223

2

3

3

3

=Δx Δx 3(x +Δx) 4+

(x +Δx ) x +

2

3

x

4

(x +Δx)

2

3

x +

2

3

x

4

第三章　导数与微分

・65・

Δy -3y ′=Δlim ==x 3

x →0Δx 33x 4

要

用极限求导的两种形式　(1) 计算任意一点x 的导数

y ′=Δlim

x →0

Δx

点3－1

　(2) 计算具体点x 0的导数

0y ′(x 0) =x lim

→x x -x 0

　　2. 给定函数f (x) =ax 2+bx +c, 其中a , b, c 为常量, 求:

f ′(x) , 　f ′(0) , 　f ′

2

, 　f ′-2a

解　首先求任意点x 的导数f ′(x ) , 然后代入x 的具体值. f ′(x ) =Δlim

x →0

Δx

2

2

=Δlim x →0Δx =Δlim x →0Δx =2ax +b

　　于是　　f ′(0) =b , 　　f ′=a +b, 　　f ′-=0.

22a 3

3. 一物体的运动方程为s =t +10, 求该物体在t =3时的瞬时速度.

解　　　v(3) =s ′(3) =lim

t →3

t -3

2

3322

=lim =lim (t +3t +3) =27t →3t →3t -3

故所求瞬时速度为v(3) =27.

・66・

2

经济数学———微积分题解

4. 求在抛物线y =x 上点x =3处的切线方程.

解　　　　k =y ′(3) =lim

x →3x -322=lim =lim (x +3) =6t →3x →3x -3

故所求切线斜率k =6, 切点为(3, 9) , 从而切线方程为

y -9=6(x -3) 　或　6x -y -9=0

　　5. 自变量x 取哪些值时, 抛物线y =x 与y =x 的切线平行?

解　由导数的几何意义(k =f ′(x ) 是曲线y =f (x ) 在点(x , y) 的斜率) 知, 要判断的是这两个函数在哪些点有相同的导数. 为此令

(x ) ′=(x ) ′　即　2x =3x 解出x =0, x =即为所求.

3

2

x +1, 　0≤x ≤1

6. 函数f (x ) =在点x =1处是否可导?

3x -1, 　1≤x

为什么?

解　分段点处的导数必须依据导数的定义来计算, 当该点的左、右导数相等时方可说函数在该点可导. 由左、右导数定义得

f ′=lim =3+(1) =lim ++x -1x -1x →1x →1

f ′=lim =2-(1) =lim --x -1x -1x →1x →1

由于f ′+(1) ≠f ′-(1) , 故f (x ) 在x =1不可导. 7. 讨论函数y =x |x |在点x =0处的可导性.

解　y ′(0) =lim =lim =lim |x |=0

x →0x →0x →0x -0x

故所论函数于x =0可导.

x , x

8. 用导数定义求f (x) =在点x =0处的

ln (1+x ) , x ≥0

2

2

3

2

2

3

第三章　导数与微分

・67・

导数.

解　f ′+(1) =lim +

x →0

=lim =1

+x -0x x →0=lim -=1

x -0x x →0

-1

f ′-(1) =lim -x →0

因此, y ′(0) =1.

1+x -1-x ,

在x =0处的连续性与可导性.

解　f (0) =lim +f (x) =lim (

+

x →0

x →0

9. 设f (x ) =

ln (1+x ) ,

, 讨论f (x )

+

1+x -1-x ) =1-1=0

f (0) =lim -f (x) =lim -ln (1+x) =ln1=0

x →0

x →0

-

于是f (0) =f (0) =f (0) =0, 故f (x) 在x =0连续. 又

　　f ′=lim =1+(0) =lim ++x -0x x →0x →0

f ′-(0) =lim -x →0

+-

=lim -x -0x →0

x

=1

x →0x (1+x +1-x )

可见f ′+(0) =f ′-(0) , 这说明f (x ) 在x =0可导.

=lim -10. 函数f (x ) =是否可导?

=lim x sin =0　(sin 有界) x →0x -0x x

故f (x) 于x =0可导, 由于可导点必是连续点, 故f (x ) 于x =0

解　f ′(0) =lim

x →0

连续.

x sin 0,

2

, x

x ≠0x =0

在点x =0处是否连续?

・68・

1,

11. 讨论f (x ) =

2x +1, x +2, x ,

处的连续性与可导性.

2

经济数学———微积分题解

x ≤00

在x =0, x =1, x =2

解　由直接检验左、右极限的相等与否可知, f (x ) 仅在x =2

处不连续. 又

　　f ′+(0) =lim +

x →0

=lim =2

+x -0x x →0

=lim -=0

x -0x x →0x →0

可见f (x) 在x =0不可导. 最后, 由于

f ′-(0) =lim -　　f ′+(1) =lim =lim =2

++x -1x -1x →1x →1

f ′-(1) =lim -x →1

2

=lim -=2

x -1x -1x →1

故f (x) 在x =1可导.

12. 求下列各函数的导数(其中a, b 为常量) :

2a +b

(1) y =3x -x +5　　　　　　(2) y =x (3) y =2x -+43x (5) y =

x (7) y =((9) y =

3

(4) y =+2

2x (6) y =x (2x -1)

2

2

x +1)

x

-1

(8) y =(x +1) 2x

(10) y =(x -a) (x -b)

a +b

b a

(11) y =(1+ax ) (1+bx )

解　运用求导公式与求导规则计算. (1) y ′=(3x ) ′-(x) ′+(5) ′=6x -1

a +b -1

(2) y ′=(a +b) x

2

第三章　导数与微分

12

-1

-12

-2

・69・

) ′+(43) ′=x

+x

(3) y ′=2(x ) ′-(x (4) y ′=

2-2-3

(x ) ′+2(x ) ′=x -4x 2

--(5) y ′=(x 2-x 2) ′=-x 2-x 222

(6) y ′=(2x 3-x 2) ′=6x 2-2x =2x (3x -1) (7) y ′=(

=

2

x +1) ′

x -1+(

x +1) -2

x

3

x

-1

′

x x

=-1+

x 2x

2

2

-1+(

x +1)

(8) y ′=2(x +x ) ′=2

=

-x 2+x

22

2

(3x +1) 2x (9) y ′=(ax +b) ′=

a +b a +b

(10) y ′=(x -a) ′(x -b) +(x -a) (x -b) ′

=x -b +x -a =2x -a -b

(11) y ′=(1+ax b ) ′(1+bx a ) +(1+ax b ) (1+bx a ) ′

=abx

b -1

(1+bx ) +abx

a a -1

(1+ax )

b -1

b

=ab[x a -1+x b -1+(a +b) x a +

要

优先使用和规则

]点

3－2

　在导数运算法则中, 和的求导规则较简便. 因此在遇到积、商时应尽可能化作和式后再行求导, 如上题中(5) , (8) 的求解.

　　13. 求下列各函数的导数(其中a, b, c, n 为常量) :

(1) y =(x +1) (x +2) (x +3) 　　　(2) y =x ln x

・70・(3) y =x ln x (5) y =

x -1

n

经济数学———微积分题解

(4) y =log a (6) y =

x

2

1+x

(7) y =3x -(8) y =n

2-x b +cx

2

(9) y =(10) y =2

1+ln x 1-x +x

322

解　(1) y ′=(x +6x +11x +6) ′=3x +12x +11(2) y ′=x (ln x ) ′+(x ) ′ln x =1+ln x

n -1

=x (n ln x +1) x

′(4) y ′=log a x =log a e =

22x 2x ln a

′′(5) y ′=1+=2=2

x -1x -1(x -1)

2

(6) y ′=2+5x 22=22

1+x (1+x ) (1+x )

(7) y ′=3-(2-x +x) =3-(2-x ) 2(2-x) 2

n -1

n -1

(8) y ′=) =x n 2(-cnx n 2

(b +c ) (b +cx )

(9) y ′=(1+ln x ) -(1-ln x ) 2

x x (1+ln x )

=-2

x(1+ln x )

22

(10) y ′=[(1-x +x ) (1-2x ) -(1+x -x ) 2

(1-x +x )

　・(-1+2x) ]=22

(1-x +x )

14. 求下列各函数的导数:(3) y ′=nx

n -1

ln x +x n

(1) y =x sin x +cos x 　　　　　(2) y =

1-cos x

第三章　导数与微分

・71・

(4) y =

1+cos x

(3) y =tan x -x tan x (5) y =

+(6) y =x sin x ・1n x x sin x

解　(1) y ′=sin x +x cos x -sin x =x cos x ′(2) y ′=x =+x 2

1-cos x 1-cos x (1-cos x ) 注:本题是将商看做积v 来进行求导, 计算量小一些.

u u

2

(3) y ′=[(1-x) tan x ]′=-tan x +(1-x)/cos x +5sin x =2

1+cos x (1+cos x ) 1+cos x ′′(5) y ′=+=+22

x sin x x sin x

(6) y ′=sin x ・ln x +x cos x ・ln x +sin x (4) y ′=

15. 求曲线y =sin x 在点x =π处的切线方程. 解　切点为(π, sin π) , 　即　(π, 0) , 切点处切线斜率

k =y ′(π) =cos π=-1

故切线

y -0=-1(x -π) 　或　y =-x +π

16. 在曲线y =2上求一点, 使通过该点的切线平行于x 轴.

1+x

解　与x 轴平行的切线斜率k =0, 由于y ′=22, 从y ′

(1+x )

=0中解出x =0, 故所求点为(0, 1) .

17. 求曲线y =(x +1) 各点处的切线方程.

解　y ′=

3

3

3-x 在A(-1, 0) , B(2, 3) , C(3, 0)

-2

3

3-x -(x +1) (3-x) 3

3

3

切点斜率　k A =y ′(-1) =4, 　k B =y ′(2) =0, k C =∞切线方程　y -0=4(x +1) 　即　y =4x +4　　　　　y -3=0(x -2) 　即　y =3

3

3

・72・

经济数学———微积分题解

k C =∞说明切线垂直于x 轴, 故切线方程为x =3. 18. a 为何值时y =ax 与y =ln x 相切?

解　问题等价于求一个点, 使得两个函数在该点不仅导数值相等并且函数值也相等.

2(ax ) ′=(ln x ) ′2ax =

x 令　即　2

ax =ln x 2

ax =ln x

得x =e , 故a =即为所求.

2e

19. 求下列各函数的导数(其中a, n 为常量) :

(1) y =(1+x ) (1+x 2) 2　　　　(2) y =(1-x) (1-2x)

2

(3) y =(3x +5) 3(5x +4) 51+5x

2

2

(4) y =(2+3x 2)

(5) y =

x +3(7) y =2

1-x

2

(6) y =

x 2-a 2

(8) y =log a (1+x 2)

2

(9) y =ln (a -x ) 1-n

(13) y =sin x (11) y =ln

n

(10) y =ln x +ln x

x

(12) y =sin nx (14) y =sin x (16) y =cos

3n

(15) y =sin x ・cos nx -22(19) y =x 2sin

x (17) y =tan (21) y =ln (x +(23) y =

x 2-a 2)

22

(18) y =lntan (20) y =lnln x

cos x +x sin x

cos n x

(24) y =sec 2+csc 2

a a (22) y =

第三章　导数与微分

・73・

解　利用导数的四则运算法则和复合函数求导规则来计算导数. (1) y ′=(1+x ) +(1+x) ・2(1+x ) ・2x

22

=(1+x ) (1+4x +5x )

(2) y ′=(2x -1) +2(x -1) =4x -3

2534

(3) y ′=3(3x +5) ・3(5x +4) +(3x +5) ・5(5x +4) ・5

=(3x +5) 2(5x +4) 4(120x +161) (4) y ′=6x 1+5x +(2+3x ) (5) y ′=

2

2

2

2

2

1+5x

2

=

1+5x 2

3

2

((x +3) ・2(x +4) -(x +4) ) 2

(x +3)

=2

(x +3)

22-2(6) y ′=(x -a ) 2x =2x 2-a 2

221-x +(7) y ′==223/22

1-x (1-x ) 1-x (8) y ′=2

1+x ln a (9) y ′=2(-2x) =222

a -x x -a 1+(10) y ′=+ln x =

2x 2x 2x ln x

(11) y ′=[ln (1+x ) -ln (1-x ) ]′-=1+x 2x 1-x 2x

(12) y ′=cos nx ・(nx ) ′=n cos nx

=

n -1

n -1

x (1-x )

(13) y ′=n sin x ・(sin x ) ′=n sin x cos x

n n n -1n

(14) y ′=cos x ・(x ) ′=nx cos x (15) y ′=(sin n x ) ′cos nx +sin n x ・(cos nx) ′

=n sin x cos x cos nx -n sin x sin nx

n -1

=n sin x ・cos (n +1) x

n -1

n

・74・(16) y ′=3cos (17) (18)

2

经济数学———微积分题解

(19) (20) (21)

2-sin =-cos sin 222222222y ′=sec -=sec -1=tan

22222222y ′=sec ==

22sin x tan 2sin cos

2222y ′=2x sin -x cos 2=2x sin -cos

x x x x x y ′==

ln x x x ln x

1+y ′==222222x -a x +x -a x -a

-(n +1)

(22) y ′=-n cos (23) 直接计算知

x ・(-sin x) =n sin x/cos

n +1

x

(sin x -x cos x ) ′=x sin x , 　(cos x +x sin x) ′=x cos x , 故有

y ′=2[x sin x (cos x +x sin x)

(cos x +x sin x )

　-x cos x (sin x -x cos x) ]=

cos x +x sin x

(24) y =+=122

cos (x /a) sin (x /a)

-2

=4sin x

a

-3

　　y ′=-8sin x ・cos x a a a

3

=-cos x/sin x a a a

20. 求下列各函数的导数:(1) y =arcsin

2

sin cos

a a

2

　　　　　　(2) y =arccot 2x

第三章　导数与微分

・75・

(4) y =

1-x 2

1-x 2+arcsin x

(3) y =arctan

2

1-x

2

(5) y =arcsin

2

(7) y =arcsin x +arccos x

1-(2) y ′=

2

=2

(6) y =x

解　使用反三角函数的求导公式. (1) y ′=

2

4-x

2

=2x 21+x 2

1+

x

2

(3) y ′==2222

(1-x ) 1+x

1+2

1-x

21-x -arccos x (4) y ′=222

1-x 1-x 1-x =2+

x -1(1-x 2) 1-x 2(5) y ′=2arcsin

2

1-2

2

2+

2

=24-x 2

=2

1-x

2

(6) y ′=(7) y ′=

1-x -2

2

1-x

2

1-x 1-x

21. 求下列隐函数的导数(其中a, b 为常数) :

2

2

2

-

1-x 2

=0　　(事实上y =

) 2

(1) x +y -x y =1　　　　　　(2) y -2axy +b =0(3) y =x +ln y

(4) y =1+x e

y

解　方程两边同时对x 求导, 然后解出y ′. (1) 求导得:　　2x +2yy ′-y -xy ′=0

・76・

经济数学———微积分题解

解出　　　　　y ′=(y -2x )/(2y -x ) (2) 求导得:　　2yy ′-2ay -2ax y ′=0解出　　　　　y ′=ay /(y -ax ) (3) 求导得:　　y ′=1+y ′/y 解出　　　　　y ′=y /(y -1) (4) 求导得:　　y ′=e y +x e y

y ′解出　　　　　y ′=e y /(1-x e y

)

22. 求下列各函数的导数(其中a 为常数) :

(1) y =e 4x 　　　　　　(2) y =a x ・e x

(3) y =e

-x 2

(4) y =e

e -x

(5) y =x a

+a x

+a a

(6) y =e

-

x

(7) y =e

-x

cos3x (8) y =sine

x 2

+x -2

-x

(9) y =e t an 1

x

(10) y =x

e x

+e -x

(11) y =e x ln x (12) y =x 2e -2x

sin3x

解　(1) y ′=e 4x ・(4x) ′=4e

4x

(2) y ′=[(a e ) x ]′=(a e ) x

ln (a e )

(3) y ′=e

-x

2

・(-2x) =-2x e

-x

2

(4) y ′=e e

-x

・(e -x

) ′=-e -x e

e

-x

(5) y ′=ax a -1+a x

ln a

(6) y ′=e -x -′x =-x

2e x

(7) y ′=e -x (-sin3x ) ・3-e -x cos3x

=-e -x

(3sin3x +cos3x) (8)

y ′=cose x 2

+x -2

・(e

x 2

+x -2

) ′=(2x +cose

x 2

+x -2

(9) y ′=e

t an

x

sec

2

x x 2

) e

x 2

+x -2

1

第三章　导数与微分

2x

・77・

(10) y =2x =1-2x

e +1e +1

2x

2x y ′=2x (e +1) ′==22x 2x -x 2

(e +1) (e +1) (e +e )

(11) y ′=e x ln x ・(x ln x ) ′=e x ln x (1+ln x)

-2x 2-2x 2-2x

(12) y ′=2x e sin3x -2x e sin3x +3x e cos3x

-2x

=x e (2sin3x -2x sin3x +3x cos3点x ) 要3－3对数求导法

, 故有对数求导公式:y

y ′=y(ln y) ′

　对连乘函数y =a(x) b(x ) c(x ) 或幂指函数y =u (x ) v (x ) 可采用此公式求y ′. 　由于(ln y) ′=

　　23. 利用取对数求导法求下列函数的导数:

(1) y =x ・(3) y =(x +

　　　(2) y =2

1+x 1-x (3+x) 1+x )

a

2

n

a

a

n

2

3

(4) y =(x -a 1) 1(x -a 2) 2…(x -a n ) 解　(1) y ′=y(ln y) ′

[ln (1-x ) -ln (1+x ) ]′2=y --x 2(1-x) 2(1+x)

-=y x -=x 2

1+x x 1-x 21-x

(2) y ′=y 2ln x -ln (1-x ) +[ln (3-x) -2ln (3+x ) ]′

3

=y ++-x 1-x 3x -3x +3

(为使形式简单, y 没有代入, 下同)

=y ln x +

・78・

　　(3) y ′=y[n ln (x +

=ny

2

经济数学———微积分题解

2

1+x ) ]′

1+

=

22

1+x x +1+x 1+x

(4) y ′=y[a 1ln (x -a 1) +…+a n ln (x -a n ) ]′

a 1a n

+…+

x -a 1x -a n

24. 求下列各函数的导数:

=y

(1) y =cosln (1+2x) , 求y ′.

x

(2) y =(ln x ) , 求y ′. (3) y =x (4)

x +

x

2

+e

x

x

2

+x +e , 求y ′. , 求y ′x .

e

x

e

x

y -a =0确定y 是x 的函数, 求y ′.

f (x )

(5) y =f (e ) e

) , 求y ′x . x x e

(7) y =f (e +x ) , 求y ′x . (6) y =f (arcsin

2

(8) y =f (sin x) +f (cos x) , 求y ′x .

(9) 已知f =, 求f ′(x) .

x 1+x

解　(1) y ′=-sinln (1+2x) ・[ln (1+2x ) ]′sinln (1+2x ) 1+2x

(2) y ′=y(ln y) ′=y(x lnln x) ′

=-=y lnln x +x ln x x

(3) y ′=x (x ln x) ′+2x e

x

2

2

=y lnln x +

e

x

ln x

x e

x

x

2

2x

2

+x (e ln x ) ′+e e

x

2

x

x

x x e

=x (2x ln x +x ) +2x e +x e ln x +e +e e

x

其中幂指函数的导数计算直接使用了对数求导公式y ′=

e

x

x

y(1n y) ′.

(4) 依隐函数求导法, 方程两边同时对x 求导, 得

第三章　导数与微分

・79・

2x

+

2y

y ′=0

解得y ′=-

. x x x f (x ) x f (x )

(5) y ′=f ′(e ) e e +f (e ) e f ′(x) 2

2x x 1-(1/x )

x e x e -1

(7) y ′=f ′(e +x ) ・(e +e x ) (6) y ′=f ′arcsin

(8) y ′=f ′(sin x) ・2sin x cos x +f ′(cos x ) (-2cos x sin x)

22

=[f ′(sin x ) -f ′(cos x ) ]sin2x

2

2

, 故f (x) =.

1+1/x 1+x

于是f ′(x) =2

(1+x)

2

f (x ) 25. 已知ψ(x ) =a 且f ′(x ) =, 证明ψ′(x ) =

f (x) ln a

2ψ(x) .

(9) 因为f

=

证　依照指数函数和复合函数的求导法则及条件, 得

ψ′(x ) =a

　　26. 证明:

(1) 可导的偶函数的导数是奇函数;

(2) 可导的奇函数的导数是偶函数;

(3) 可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数. 证　(1) 设f (x ) 是偶函数, 则有f (-x ) =f (x ) , 两边求导得

-f ′(-x ) =f ′(x) , 　即　f ′(-x) =-f ′(x)

这说明f ′(x) 是奇函数.

(2) 设f (x ) 是奇函数, 则有f (-x ) =-f (x ) , 两边求导得

-f ′(-x ) =-f ′(x ) , 　即　f ′(-x ) =f ′(x)

这说明f ′(x) 是偶函数.

f (x )

2

x

・ln a ・2f (x) f ′(x) =2ψ(x )

・80・

经济数学———微积分题解

(3) 设f (x ) 是以T 为周期的函数, 则有f (x +T ) =f (x ) , 两边求导得

f ′(x +T ) =f ′(x )

这说明f ′(x) 也是以T 为周期的函数.

27. 设f (x ) 是可导偶函数且f ′(0) 存在, 求证f ′(0) =0. 证　从上题已知, 当f (x ) 是偶函数时, 其导数f ′(x ) 是奇函数, 即

f ′(-x) =-f ′(x )

令x =0即得　　f ′(0) =-f ′(0) , 　故　f ′(0) =0

注:一般地, 在原点x =0处有定义的奇函数都满足f (0) =0, 证法同上.

2

28. 设f (x ) 在(-∞, +∞) 内可导, 且F(x ) =f (x -1) +2

f (1-x ) , 证明F ′(1) =F ′(-1) .

证　于方程F(x ) =f (x 2-1) +f (1-x 2) 两边对x 求导得显然

F ′(x ) =2x f ′(x -1) -2x f ′(1-x )

F ′(1) =F ′(-1) =0

2

2

2

2

2=1在点M (x 1, y 1) 的切线方程. b 2=1两边对x 求导得b 2

=02+2

a b

求出函数在点M (x 1, y 1) 的切线斜率

2

x 1k =y ′=-a y 1故所求切线方程为

y -y 1=k(x -x 1) =-2

29. 求椭圆2+

a 2解　于方程2+

a

a

2

2

x 1

(x -x 1) y 1

整理得

1111

+2=2+2=12

a b a b

第三章　导数与微分

・81・

x 1x y 1y

故所求切线方程为　　　　2+2=1

a b

30. 两船同时从一码头出发, 甲船以30公里/小时的速度向北行驶, 乙船以40公里/小时的速度向东行驶, 求两船间的距离增加的速度.

解　如图3－1所示, 出发t 小时后甲与乙的位置分别在(0, 30t ) 与(40t , 0) 上, 两船间距离则为

y =(40t ) +(30t ) =50t

于是所求速度为y ′=50公里/

小时.

2

2

图3

－1图3－2

　　

船在甲船之北16公里处以8公里/小时的速度向南行驶, 求下午1点整两船距离的变化速度.

解　如图3－2所示, 设中午12点时甲在(0, 0) 处, 乙在(0, 16) 处, 经过t 小时后, 两船相距为

(16-8t ) +(6t ) =100t -256t +256

于是y ′(t ) =2

100t -256t +256

故下午1点整两船距离的变化速度为y ′(1) =-2. 8公里/小时. 32. 一长方形两边长分别以x 与y 表示, 若x 边以0. 01米/秒的速度减小, y 边以0. 02米/秒的速度增加, 求在x =20米, y =15米时长方形面积的变化速度及对角线的变化速度.

解　设长方形面积为S , 对角线长为L . 注意到变化速度是指y =

2

2

2

31. 在中午12点整, 甲船以6公里/小时的速度向东行驶, 乙

・82・

关于时间的导数, 则有

经济数学———微积分题解

S =xy , 　S ′′t =x y t +yx ′t

x +y

代入题给条件　x =20, 　y =15, 　x ′t =-0. 01, 　y ′t =0. 02, 得

S ′t =20×0. 02-15×0. 01=0. 25

20+15

2

故所求长方形面积变化率为0. 25米/秒, 对角线长度变化率为0. 004米/秒.

33. 求下列各函数的n 阶导数(其中a , m 为常数) :

x

(1) y =a 　　　　(2) y =ln (1+x) (3) y =cos x

(4) y =(1+x )

m

L =x +y , 　L ′t =

22

x x ′t +yy ′t

2

2

　　　L ′t =

2

2

=0. 004

解　通过计算一, 二阶等导数来寻找n 阶导数的规律.

x x 2

(1) y ′=a ln a , 　y ″=a (ln a) , 　…一般地有　　y

(n) -1

=a (ln a)

x n

-2

(2) y ′=(1+x ) , 　y ″=-(1+x )

(4) -4

y =-3! (1+x ) , …一般地有　　y

(n)

, 　y =2(1+x)

-n

-3

=(-1)

n -1

(n -1) ! (1+x)

=sin x +n , 故

2

(n) (n -1) 　y =-(sin x) =-sin x +(n -1)

2

=sin -x -(n -1) =cos +x +(n -1)

222

=cos x +n 2m -1m -2

(4) y ′=m (1+x ) , 　y ″=m(m -1) (1+x) , …(3) y ′=-sin x , 由于(sin x)

(n )

第三章　导数与微分

・83・

m

(1+x) n !

-n

, m >n m =n m

m !, 0,

34. 求下列各函数的二阶导数:

22

一般地有　　y

(n)

=

(1) y =ln (1+x ) 　　　　　　(2) y =x ln x (3) y =(1+x ) arctan x (5) x +y =a

2

2

2

2

(4) y =x e

x

2

解　(1) y ′=, 　y ″=222

1+x (1+x )

(2) y ′=ln x +1, 　y ″=

x (3) y ′=2x arctan x +1, 　y ″=2arctan x +(4) y ′=e

x

2

2

1+x

+2x e

2x

2

=e (1+2x )

x

2

x

2

2

　　y ″=2x (1+2x ) e

2

+4x e

x

2

=e (6x +4x 3)

, 再求y

x

2

(5) 方程两边对x 求导, 2x +xyy ′=0, 解得y ′=-导, 得

y ″=-2(y -xy ′) =-2(y +) =-3

y y y y

　　35. 一质点按规律s =a e

解　速度为s ′=-ka e

″

2

-k t

-k t

2

2

作直线运动, 求它的速度和加速

度, 以及初始速度和初始加速度.

, 初始速度为s ′(0) =-ka; , 初始加速度为s ″(0) =k a .

2

　　加速度为s =k a e 36. 一质点按规律s =速度a 等于s .

解　s ′=

-k t

t -t

(e -e ) 作直线运动, 试证它的加2

t (e +e -t ) , 　a =s ″=(e t -e -t ) =s 22

・84・

2经济数学———微积分题解37. 已知xy -sin (πy ) =0, 求y x =0及y y =1x =0y =-1.

解　方程两边对x 求导, 得

y +x y ′-cos (πy ) ・2πyy ′=0　　　　　(＊)

22πy cos (πy ) -x

于是x =0, y =1时有　　y ′=-2π

在式(＊) 两边对x 再求导得解得y ′=

2y ′+xy ″-2πcos (πy ) [(y ′) +yy ″) ]+(2πyy ′) sin (πy ) =0代入x =0, y =-1, 　并注意到此时仍有y ′=-

2-

故此时y ″=-2. 4π

(n -2) 22222, 从而2π-2πcos π2-y ″=02π4π(n ) , 求y 的n 阶导数y . ln x

″′(n) (n -2) 解　y =(y ) ″===23ln x ln x x ln x

239. 设y =f (x +b) , 求y ″x . 38. 设y 的n -2阶导数y =

解　y ′=f ′(x +b) ・2x

y ″=f ″(x +b) ・4x +2f ′(x +b)

=2[f ′(x 2+b) +2x 2f ″(x 2+b) ]

40. 验证:y =e sin x 满足关系式y ″-2y ′+2y =0.

证　y ′=e x cos x +e x sin x =e x (cos x +sin x )

x x x x 2222y ″=e (cos x +sin x ) +e (cos x -sin x) =2e cos x

代入即知　　y ″-2y ′+2y =0要点3－4

第三章　导数与微分・85・微分与改变量

　改变量　　Δy(x) =f (x +Δx ) -f (x )

　微分　　　d y(x) =f ′(x) Δx

　相互关系　　Δy(x) =d y(x) +o(Δx)

　　41. 分别求出函数f (x ) =x 2-3x +5当x =1, (1) Δx =1,

(2) Δx =0. 1, (3) Δx =0. 01时的改变量及微分, 并加以比较, 是否能得出结论:当Δx 愈小时, 二者愈近似.

解　Δf (1) =(1+Δx ) -3(1+Δx ) +5-3=-Δx +(Δx)

d f (1) =(2・1-3) Δx =-Δx

(1) Δx =1时, Δf (1) =-1+1=0, d f (1) =-1

(2) Δx =0. 1时, Δf (1) =-0. 1+0. 01=-0. 09

d f (1) =-0. 1

(3) Δx =0. 01时, Δf (1) =-0. 01+0. 0001=-0. 0099

d f (1) =-0. 01

Δf (1) 与d f (1) 的误差是(Δx ) , 可见它是随着Δx 变小而变小的. 即Δx 愈小, Δf (1) 与d f (1) 愈接近. 要点3－52222计算微分的两种方法

　方法1:先求导数f ′(x ) , 然后乘以d x 得d y =f ′(x) d x . 　方法2:应用微分公式与规则, 直接计算d y =d f (x ) .

　　42. 求下列各函数的微分:

(1) y =3x 　　　　　　(2) y =

(3) y =ln x

(5) y =e -x 221-x 1-x 22(4) y =cos x (6) y =arcsin x

22(8) 2+2=1a b (7) xy =a 2

・86・

(9) y =ln 1-x

(11) y =tan 3经济数学———微积分题解x -x 2(10) y =(e +e ) y (12) y =1+x e 2

解　(1) d y =(3x 2) ′d x =6x d x

(2) d y =(1-x ) ′d x =-

d x x

221-x 2d x (3) d y =(2ln x ) ′d x =22(4) d y =d x =2222d x (1-x ) (1-x )

-x -x (5) d y =-(e cos x +e sin x ) d x

(6) d y =x -x

2(7) x d y +y d x =0, 　d y =-d x =-2d x x x

2(8) 2d x +2d y =0, 　d y =-2d x a b a y

2

(9) d y =d x 21-x 3

x -x x -x 2x -(10) d y =2(e +e ) (e -e ) d x =2(e -e

(11) d y =2sec d x 22

y y y d x =1-x 22d x 2x ) d x (12) d y =x e d y +e d x , 　d y =d x 2-y

43. 正立方体的棱长x =10米, 如果棱长增加0. 1米, 求此正立方体体积增加的精确值与近似值.

解　设体积为V , 则V =x , 于是

ΔV =(x +Δx)

2

333-x =10. 1-10=30. 30123333d V =3x Δx =3×10×0. 1=30故精确值为30. 301米, 近似值为30米.

44. 一平面圆环形, 其内半径为10厘米, 宽为0. 1厘米, 求其

第三章　导数与微分・87・面积的精确值与近似值.

解　半径为R 的圆面积为S =πR . 于是

2222ΔS =π(R +ΔR) -πR =π(10. 1-10) =6. 3146

d S =2πR ΔR =2π×10×0. 1=6. 2832

故圆环面积的精确值为6. 3146厘米要, 近似值为6点. 2832厘米3. －6利用微分作近似计算

　由于Δy(x) ≈d y(x ) , 故当|Δx |较小时有

y(x +Δx) ≈y(x) +y ′(x) Δx

　特别地, 当x =0, Δx =x 时, 有

y(x ) ≈y(0) +y ′(0) x 　　(|x |较小)

　　45. 证明当|x |很小时, 下列各近似公式成立:

n x (1) e ≈1+x 　　　　　(2) 1+x ≈1+n

(3) sin x ≈x (4) ln (1+x ) ≈x

证　基本公式为　　y(x ) ≈y(0) +y ′(0) x 　　(|x |较小)

(1) 令f (x ) =e , 则f (0) =1, f ′(0) =1, 故e ≈1+x .

n n (2) 令f (x ) =1+x , 则f (0) =1, f ′(0) =, 故1+x ≈1n

+. n

(3) 令f (x ) =sin x , 则f (0) =0, f ′(0) =1, 故sin x ≈x .

(4) 令f (x ) =ln (1+x ) , 则f (0) =0, f ′(0) =1, 故ln (1+x) x x 222≈x .

46. 求下列各式的近似值:

(1) 50. 95　　(2) 38. 02　　(3) ln1. 01

(4) e (5) cos60°20′(6) arctan1. 02

解　依据要点3－6, 得

55(1) 0. 95=1-0. 05≈1-×0. 05=0. 990050. 05

・88・

(2) 3经济数学———微积分题解38. 02=21+0. 02/8≈21+=2. 00173×8

(3) ln1. 01=ln (1+0. 01) ≈0. 01

(4) e 0. 05≈1+0. 05=1. 05

+≈cos +35403-sin 3540(5) cos60°20′=cos π=-=0. 495022540

πΔx (6) 因为　arctan (1+Δx) ≈+, 故42

πarctan1. 02≈+×0. 02=0. 795442

(B )

1. 设f (x) 可导且下列各极限均存在, 则(　　) 成立.

=f ′(0) x

(b ) lim =f ′(a ) h →0h

f (x 0) -f (x 0-Δx) (c ) Δlim =f ′(x 0) x →0Δx

f (x 0+Δx) -f (x 0-Δx) (d ) Δlim =f ′(x 0) x →02Δx

解　选(a ) , (c ) , (d ) . 因为当所写导数存在时, 这些极限可以(a ) lim x →0适当变形使之与导数定义的形式一致. 例如

=2f ′(a) 2h

f (x 0-Δx) -f (x 0) (c ) :左边=Δlim =f ′(x 0) x →0-Δx

f (x 0+Δx ) -f (x 0) +f (x 0) -f (x 0-Δx ) (d ) :左边=Δlim x →02Δx

f (x 0+Δx ) -f (x 0) =Δlim 2x →0Δx (b ) :左边=2lim h →0

第三章　导数与微分・89・

f (x 0-Δx ) -f (x 0) 　+Δlim 2x →0-Δx

=f ′(x 0) +f ′(x 0) =f ′(x 0) 22

2. 若lim =A , A 为常数, 则有(　　) . x →a x -a

(a ) f (x ) 在点x =a 处连续

(b ) f (x ) 在点x =a 处可导

(c ) lim f (x ) 存在x →a

(d ) f (x ) -f (a) =A (x -a) +o(x -a)

解　选(a ) , (b ) , (c ) , (d ) . 条件表示的结论是f ′(a) 存在, 因此(b ) 成立; 从而f (x ) 在a 连续, 即(a ) 成立; 进而由连续的定义知(c ) 成立; 最后, 因为函数的可导等价于可微, 结合微分的定义便知(d ) 也成立.

3. 设函数f (x) 在点x 0及其邻域有定义, 且有

f (x 0+Δx ) -f (x 0) =a Δx +b(Δx)

a , b 为常数. 则有(　　) .

(a ) f (x ) 在点x =x 0处连续

(b ) f (x ) 在点x =x 0处可导且f ′(x 0) =a

(c ) f (x ) 在点x =x 0处可微且d f (x 0) =a d x

(d ) f (x 0+Δx ) ≈f (x 0) +a Δx 　　(当Δx 充分小时)

解　选(a ) , (b ) , (c ) , (d ) . 条件与选项(c ) 等价, 因此(c ) 成立; 可微与可导等价, 因此(b ) 成立; 可微推出连续, 故(a ) 正确; 最后, 因为b(Δx ) 是较Δx 高阶的无穷小, 略去之后便得到(d ) .

4. 函数f (x) =是(　　) . x

(a ) 奇函数　　　　　(b ) 非奇非偶函数

(c ) 有界函数(d ) 在有定义的区间内处处可导函数22解　选(a ) , (c ) , (d ) . 该函数仅在x =0处无定义, 在其他地方的导数都为0.

・90・

x ,

x 经济数学———微积分题解5. 函数f (x) =x

(a ) 连续　　(b ) 可导　　(c ) 可微　　(d ) 连续、不可导在x =0处(　　) . 解　选(a ) , (b ) , (c ) . 由于(b ) 与(c ) 等价, (a ) 可从(b ) 中推得, 故只用证(b ) . 从左右导数来证明:

x f ′(0) =lim =lim e =1+x →0x →0x

f ′-(0) =lim =1x →0x

故f ′(0) =1存在.

1, x

6. f (x) =1-x 2, 0≤x

x -1, 1≤x

(a ) 在点x =0处可导　　　　(b ) 在点x =0处不可导(c ) 在点x =1处可导(d ) 在点x =1处不可导解　选(a ) , (d ) . 依左右导数计算便得.

7. y =|x -1|在x =1处(　　) .

(a ) 连续　　　　　　　　(b ) 不连续

(c ) 可导(d

) 不可导

解　选(a ) , (d ) . 从图形3－3上可看出, 该

曲线在x =1处连续, 有一不可导的尖点.

8. 下列函数中(　　) 的导数等于(a ) sin x . 2图3－32sin x 　　　(b ) cos2x 24

2(c ) -cos x 　　(d ) 1-cos2x 24

解　选(a ) , (c ) , (d ) . 直接计算便得.

(a ) :2′sin x =sin x cos x =sin2x 22

第三章　导数与微分・91・

′(b ) :cos2x =-sin2x 42

′2(c ) :-cos x =sin x cos x =sin2x 22

′(d ) :1-cos2x =sin2x 42

9. 设对于任意的x , 都有f (-x) =-f (x) , f ′(-x 0) =-k ≠0, 则f ′(x 0) =(　　) .

　　　　(d ) -k k

解　选(b ) . 因为奇函数的导数是偶函数, 故有f ′(x 0) =(a ) k 　　　　(b ) -k 　　　　(c ) f ′(-x 0) =-k .

10. 已知y =sin x , 则y (10) =(　　) .

(a ) sin x 　　(b ) cos x 　　(c ) -sin x 　　(d ) -cos x

解　选(c ) . 因为　y (10) =sin x +10=-sin x 2

(10) 11. 已知y =x ln x , 则y =(　　) .

-99　　(b ) 9　　　(c ) 9　　　(d ) x x x x

解　选(c ) . 因为y ′=ln x +1, 　y ″=, 　…, x

(8) (10) 8y ==(-1) ・9x x (a ) -

　　12. 已知y =e

(a ) e f (x )

f (x) f (x ) , 则y ″=(　　) . (b ) e f (x ) f (x ) f ″(x) 2(c ) e [f ′(x ) +f ″(x ) ](d ) e {[f ′(x) ]+f ″(x) }

解　选(d ) . 直接计算知, y ′=e f (x ) f ′(x ) , 　y ″=e f (x ) f ″(x) +e f (x) [f ′(x ) ]2

313. 曲线y =x -3x 上切线平行x 轴的点有(　　) .

(a ) (0, 0)

(c ) (-1, 2) (b ) (1, 2) (d ) (1, -2)

・92・

2经济数学———微积分题解解　选(c ) , (d ) . 求导得y ′=3x -3, 令y ′=0, 解出x =-1,

1, 对应地y =2, -2.

14. 若f (u ) 可导, 且y =f (e ) , 则有(　　) .

(a ) d y =f ′(e ) d x

(c ) d y =[f (e ) ]′de x x x x (b ) d y =f ′(e ) de x x

x x x x (d ) d y =f ′(e ) e d x 解　选(b ) , (d ) . 因为d y =y ′d x =f ′(e ) e d x .

自测试题

1. (1987) 设y =ln 1+x +122, 求y ′.

, 1+处的切线方222. (1989) 求曲线y =x +sin 2x 在点程.

3. (1990) 设F(x) 有连续的导数, f (0) =0且f ′(0) =b, 若函数

F(x) =

在x =0处连续, 求A .

4. (1990) [单选题]设f (x) 满足f (1+x) =af (x ) , 且f ′(0) =b . 则(　　) .

(a ) f (x ) 在x =1处不可导

(b ) f (x ) 在x =1处可导, 且f ′(1) =a

(c ) f (x ) 在x =1处可导, 且f ′(1) =b

(d ) f (x ) 在x =1处可导, 且f ′(1) =ab

5. (1991) 设曲线f (x ) =x +ax 与g (x ) =bx +c 都通过点(-1, 0) , 且在点(-1, 0) 有公共切线, 求a, b, c .

6. (1993) 设y =f , f ′(x) =arctan x 2, 求y ′|x =0. 3x +232, x A , x ≠0x =0

第三章　导数与微分・93・

f ′(a ) =-1, 求l =lim x →07. (1994) 已知

. f (a -2x ) -f (a -x )

x y 28. (1994) 设方程e +y =cos x 确定了y 为x 的函数, 求y ′.

(n ) 9. (1995) 设f (x) =, 求f (x) . 1+x

y 10. (1996) 设方程x =y 确定了y 是x 的函数, 求d y .

211. (1996) 设(x 0, y 0) 是抛物线y =ax +bx +c 上的一点,

若在该点的切线过原点, 求系数应满足的关系.

12. (1997) [单选题]设f (x ) 为(-∞, +∞) 上的偶函数, 在(-∞, 0) 内f ′(x) >0, 且f ″(x )

″″(a ) f ′(x) >0, 　f (x ) 0, 　f (x ) >0

″″(c ) f ′(x ) 0

f (x ) 13. (1997) 设y =f (ln x ) e , 求d y .

n 14. (1998) 设曲线f (x) =x 在点(1, 1) 处的切线与x 轴的

交点为(ξn , 0) , 求l =lim f (ξn ) . n →∞

15. (1998) 设周期函数f (x ) 在(-∞, +∞) 内可导, 周期为

4, 又lim =-1, 求曲线y =f (x) 在点(5, f (5) ) 处x →02x

的切线斜率k .

16. (2000) [单选题]设f (x ) 在x =a 处可导, 则|f (x ) |在x =a 处不可导的充分条件是(　　) .

(a ) f (a) =0且f ′(a) =0

(c ) f (a) >0且f ′(a) >0

17. (2003) 设f (x ) =x λcos 0, , x (b ) f (a) =0且f ′(a) ≠0(d ) f (a)

连续, 则λ的取值范围为.

18. (2003) 已知曲线y =x 3-3a 2x +b 与x 轴相切, 则b 2可通过a 表示为b =2.

・94・经济数学———微积分题解　　19. (2003) [单选题]设f (x) 为不恒为零的奇函数, 且f ′(0) 存在, 则函数g(x ) =x 在x =0处(　　) .

(a ) 左极限不存在(b ) 有跳跃间断点

(c ) 右极限不存在(d ) 有可去间断点

自测试题解答

1. y ′=[ln (1+x 2-1) -ln (1+x 2+1) ]′

=(1+x 2-1) 1+x 2-(1+x 2+1) 1+x 2

=1+x 2(1+x 2) 2-1=x 1+x 2

2. y ′=1+sin2x , 斜率k =y ′|x =π

2=1

切线方程　　y -1+2=x -2, 　即　y =x +1.

3. A =lim x →0F(x) =lim x →0x +a x

=lim x →0x -0+a =f ′(0) +a =a +b

4. 选择(d ) , 依据导数定义得

f ′(1) =lim x →0x =lim x →0x

=a lim x →0x -0=ab

5. 由于曲线都通过点(-1, 0) 故有

0=f (-1) =-1-a

0=g(-1) =b +c

又它们在(-1, 0) 处有公共切线, 意味着导数在该点相同, 故

(3x 2+a) |x =-1=2bx |x =-1

即3+a =-2b ①②

第三章　导数与微分・95・联立①、②, 解得　　　a =-1, 　b =-1, 　c =1

6. y ′=f ′23x +2(3x +2)

y ′|x =0=f ′(-1) =3arctan1=44

. 由于　lim (配成导数极限) x →0x

　　　　=-2lim x →0-2x

-x 7　　+lim x →0　　　　=-2f ′(a) +f ′(a) =-f ′(a) =1

故l =1

8. 　　e (y +x y ′) +2yy ′=-sin x

解得　　y ′=-(y e

9. 因为f (x) =

″x y xy +sin x )/y(2+e ) -1x y -1=2(1+x) 1+x -2　　　f ′(x) =2・(-1) (1+x)

f (n ) n -1, 故-3f (x) =2・(-1) ・(-2) (1+x) (x ) =2(-1) n ! (1+x) -(n +1)

10. 两边取对数得ln x =y ln y , 等式两边再求微分得d x =(ln y +1) d y x

解出d x x (1+ln y)

11.y ′=2ax +b , 　y ′(x 0) =2ax 0+b d y =

切线方程　　y -y 0=(2ax 0+b) (x -x 0)

要使切线过原点, 得使x =0, y =0满足切线方程. 故

y 0=2ax 0+bx 0, 且y 0=ax 0+bx 0+c(点(x 0, y 0) 在抛物线上) 解得c =ax 0, 故得关系为c =ax 0, 而b 任意.

12. 选(c ) . 偶函数图形关于y 轴对称. 所给条件说明曲线y 2222

・96・经济数学———微积分题解=f (x) 在(-∞, 0) 上单调增加, 上凸. 于是在(0,

+∞) 上曲线是单调减, 上凸, 如图3－4所示, 从而

应有

f ′(x) 0　(x >0)

　　13. d y =y ′d x

x

n 14. 由y ′=nx =f ′(ln x) f (x) +f (ln x ) e -1f (x) f ′(x) d x 图3－4, y ′(1) =n 得出在点(1, 1) 处切线方程为

y -1=n(x -1)

n 令y =0得x =1-, 故ξn =1-, f (ξn ) =1-, 因此n n n

n l =n lim 1-=→∞n e

15. 由于f ′(x ) 也是以4为周期的函数, 故f ′(5) =f ′(1) , 即k =f ′(1) . 又由于所给极限

=lim 2x 2x →0-x

=f ′(1) =-12

f ′(1) =-2, 即　k =-2

16. 法1　选(b ) . 记ψ(x) =|f (x ) |, 依定义分析ψ(x ) 在x 　lim x →0

x -a 故=a 处可导所需条件:ψ′(a) =lim x →a

(1) 若f (a) >0, 则由连续性知, 当x 足够接近a 时, f (x ) >0, 因为函数在点a 的极限只取决于一点a 附近(可以是很小的范围) 的性质, 故此时ψ(x ) 可导:

=f ′(a) x -a

　　(2) 若f (a)

第三章　导数与微分・97・

=-f ′(a) x -a ψ′(a) =lim x →a

　　(3) 当f (a) =0时, 若f ′(a ) =0, 则

ψ′(a) =lim =lim x →a x →a x -a x -a

=lim x →a =λ|f ′(a) |=0x -a

说明ψ′(x ) 在x =a 处可导, 其中λ=±1.

综合以上讨论及排除法知, 只有(b )

正确.

法2　作为一个选择题, 不可能

像上面这样严格分析. 实际上可以根

据图形来判断. 如图3－5所示, 不可

导点发生在“尖点”A 处, A 的特征是

f (a) =0, f ′(a) ≠0. 故选(b ) .

17. 填λ>2. 由条件, f (x ) 处处

可导, 故有

f ′(x) =λx λ-1图3－5cos λ-2+x sin , x x x ≠0

0, x =0

λ-1其中f ′(0) =lim =lim x cos 的存在要求λ-1>x →0x →0x -0x

0(否则极限不存在) . 故f ′(0) =0, 且λ>1.

又由条件知, f ′(x ) 在x =0处连续, 因而应当有

f ′(0) =lim f ′(x ) x →0

λ-2即　　　0=lim λx cos +lim x sin x →0x x →0x

λ-2=lim x sin 　　　(因为λ>1) x →0x

而这只有在λ-2>0, 即λ>2时才能成立.

618. 填4a . 设切点为(x 0, 0) , 则意味着

y(x 0) =0　及　y ′(x 0) =0λ-1

・98・

即32经济数学———微积分题解x 0-3a x 0+b =0　及　3x 0-3a =0

2232622联立求得　　a =x 0, 　b =±2a , 　故b =4a

19. 在原点有定义的奇函数都满足f (0) =0. 于是

lim g(x) =lim =f ′(0) x →0x →0x -0

这说明g(x) 在x =0处的极限存在, 结合g (x ) 在x =0处无定义便知, g(x ) 在x =0处有可去间断点. 要点3－7间断点分类

　当g(x 0) =x lim g(x) 时, 称g(x) 在x 0连续. 而以下情形, →x 0

称g(x) 在x 0间断, 并分为三类:

　(1) x lim g(x 0) =A 存在, 但A ≠g (x 0) 或g (x 0) 无意义; →x 0

此时称x 0为可去间断点.

　(2) g(x 0+0) 及g (x 0-0) 都存在, 但不相等; 此时称x 0为跳跃间断点.

　(3) g(x 0+0) 或g(x 0-0) 有一个不存在; 此时称x 0为第二类间断点.

　可去间断点与跳跃间断点也称为第一类间断点.