螺旋线与爱奥尼卷涡
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螺旋线之美——由爱奥尼柱式上的卷涡想到的
爱奥尼柱式是古希腊三大柱式（多立克式、爱奥尼式、科林斯式）
之一，柱身高度与直径之比为9:1至8:1，给人的视觉感受是典雅、秀
美、修长，其柱身上刻有24条凹槽，柱础由三段曲线构成，富有弹
性，柱头上有曲线形的吊带，柱头外廓下垂，形成两个卷涡。爱奥尼
在希腊建筑中象征着柔美的女性。
西方古典时期建筑以理性、严谨、比例和谐著称，当时很多建筑
都依据一定的数学规律建造，数学与美学的关系也很受重视。其中，
一直为现代人称道的黄金分割与黄金比例就是当时建造神庙立面的
依据。古典时期人们认为美就是和谐，而和谐来源于精确的数学比例，
三大柱式都由精确的模数和尺度控制，成为一种固定的程式。
虽然古希腊对柱式的数学比例有明确的规定，但爱奥尼柱式的两
个卷涡却被后人演绎得千差万别，很少有人知道其确切规范。事实上，
爱奥尼的卷涡可以近似地看作数学上的螺旋线。早在古希腊时期，数
学家科农就发现了阿基米德螺旋线，而后其弟子阿基米德对这种螺旋
线作了较深研究。
阿基米德螺旋线的极坐标公式为r = aθ，又称等距螺旋线，其含
义为螺旋线的每两条相邻臂之间距离相等，为2 πa。该螺旋线过原
点。然而，从图中看出，爱奥尼柱式的螺旋线并不过中心，因此，修
改其方程为r = aθ+b，这样，螺旋线的起点为（0，b），与原点有一
定距离。
观察此
螺旋线
的方程，
可以看出其与笛卡尔坐标系中
直线方程形似，因此可以近似将
其理解为极坐标系中的简单图
形。而极坐标中圆的方程为r=a，
近似于笛卡尔坐标中与x轴平行
的直线，可以将两个图形放在一
起讨论。对于任意一个θ，只要
Δθ不变，Δr就不变，而对于
越来越大的r来说，Δr则越来
越可以忽略，因此可以推断其切
线应越来越逼近圆的切线，换句
话说，θ值越大，图形越向外扩
张，其轮廓越圆。且Δr=aΔθ，
a越小，图形越趋近于圆。验证：
将极坐标公式转化为笛卡尔坐
标，x=aθcosθ,y=aθsinθ,求
导得y’=(cosθ-θsin
θ)/(sinθ+θcosθ),
而圆的
切线斜率为g’=-sinθ/cosθ.由此看出当θ
足够大，y’近似等于g’。
然而有爱奥尼柱头的图片可以看出，爱奥
尼柱头卷涡并不是等距螺线，而是臂间距离由
内而外逐渐变大的螺线。那么，可否用方程表
示这一过程呢？事实上，受到中学物理加速度
公式的启发，我们将阿基米德螺线稍作修改：r
= （a+a’θ）θ+b,其中a’代表径向加速度，这
个式子表示，每转过一个特定角度，径向的速
度都发生改变，且改变量均为a’。右图为螺旋
线r = （1+0.1θ）θ+5的图像。该图像已经较
接近爱奥尼柱式的螺线，然而美中不足的是爱奥尼柱式的螺线在中心没有端点，也就是说，没有起点。那么，有什么螺旋线可以解决这个问题呢？
查资料知，另一种螺旋线对数螺旋线，也叫等角螺旋线，它的两端都没有尽头，也就是说，向外无限趋向于无穷，向内无限趋向于原点。这种螺旋线是由笛卡尔发现，其极坐标方程为r=ae^(θcotα),这种螺旋线的性质为：在同一个方向上每两条相邻臂间的间距成等比数列排列，也就是说，r(θ+2π)/r(θ)=e^（2πcotα）。对于同一个Δθ，不论θ大小为多少，r总是增长一个特定的倍数。这种螺旋线的性质为：曲线上每一点的切线都与这一点和原点的连线成一个固定夹角α。而且，可以将e随意变换为其
他数值t，且t^cotα越大，曲线越开敞。而将θ加减某个图一 数值，新曲线会与旧曲线的另一段重合。因此，曲线的形
状取决于t^cotα.如图一是曲线r=1.15^θ的图像，由图可
以看出虽然曲线没有经过原点，但是有过原点的趋势，而
爱奥尼的卷涡则是在离原点有一定距离时就不再向内延伸。
为模仿这一效果，我们将极半径r加上一个定值，这样这
个定值就成了θ趋于0时r的极限。图二是螺线r=1.15^θ
+0.3的图像，这一图像基本符合爱奥尼卷涡的图形了。
图二