迹为零的矩阵的一些性质
第26卷 第4期
2008年10月
沈阳师范大学学报(自然科学版)
Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science )
V ol 126, N o. 4Oct. 2008
文章编号:1673-5862(2008) 04-0409-03
迹为零的矩阵的一些性质
邵逸民
(苏州市职业大学教师教育系, 江苏苏州 215104)
摘 要:利用矩阵迹的性质, 从矩阵相似性、半正定性、两个矩阵乘积、Kronec ker 积、矩阵函数e A 的行列式等角度来刻画迹为零矩阵的一些性质, 条件・根据迹为零矩阵的这些性质并利用矩阵的用, 最后得到迹为零矩阵AB 2BA ・关 键 词:矩阵的迹; 相似矩阵; 中图分类号:O 151. 21A
0 数域P 上n 阶矩阵A =(a ij ) 的迹t r (A ) , 是指A 的主对角线上元素之和:t r (A ) =
i , j =1
6
n
a ij , 迹是
矩阵的一个重要的相似不变量, 即相似矩阵有相同的迹, 是矩阵的一个重要的数量函数・关于迹为零的矩阵, 文献[122]给出了其中某些特殊矩阵的几何特征・本文用矩阵方法讨论了这类矩阵的一些性质, 给出了若干充要条件・文中E 为n 阶单位矩阵, A T 为的转置, A 表示矩阵A 的行列式, A B 表示矩阵A 与B 的Kronec ker 积・
引理1 迹有下列性质:
1) 线性性:对任何n 阶矩阵A 及任何数k , 成立t r (kA ) =kt r (A ) , 对任何n 阶矩阵A 和B , 成立
t r (A +B ) =t r (A ) +t r (B ) ;
2) 交换性:对任何n 阶矩阵A 和B , 成立t r (A B ) =t r (B A ) ・
引理2 若A 为实数矩阵, 则t r (A A T ) =0的充要条件是A =0
引理3 n 阶矩阵A 的n 个特征值之和等于矩阵A 的迹; 其n 个特征值之积等于其行列式值・
1 迹为零矩阵的等价刻画
定理1 A 是n 阶矩阵, t r (A ) =0的充要条件是A 相似于一个主对角线元素均为零的n 阶矩阵・证明 由迹的相似不变性, 充分性显然, 下面证明必要性・可将问题归结为A 是Jordan 型的情形・对矩阵的阶数n 用归纳法当n =1时结论显然成立, 假设对于阶数小于n 的矩阵结论也成立・首先证
0明A 相似于分块矩阵B =, 其中C 是一个n -1阶矩阵, 且t rC =0・
β1) 若A 是对角矩阵, 则可假定A 的主对角线元素全不为零, 否则根据归纳假设, 结论已成立・设A
λ=diag (λ1, λ2, …, λn ) , 因为
t r (A ) =0, 不妨设λ1≠2, 对A 进行如下相似变换:
1
-1
01
λ10
11
01
λ1
ω
=
λ2
ω
λλ2-λ1λ2
ω
λω
,
收稿日期:2008205227
作者简介:邵逸民(1973-) , 男, 安徽安庆人, 苏州市职业大学讲师・
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410
沈阳师范大学学报(自然科学版) 第26卷
1-0
λλ2-λ1
1
λ1
1
λλ2-λ1
1
λλ2-λ1
ω
λ2-λ1λ2
ωωλ0
2-λ1λ1+λ2=λ
ωλ即得到了具有上述形状的矩阵B ・
2) 若A 有阶数大于1的Jordan 块, 可假定A 的每个特征值都不为0・设
λ11
λ1
A 的第一个Jordan 块J 1为:
1
λ1
ωω
1
λ对J 1作如下相似变换:
λ11
10
0λ1
λ11
ω
1
1
012λ1
ωω
1
ω
=
2
-λ1
ω
λ,
λB ・
根据归纳假设, 存在可逆矩阵Q , 使Q -1CQ 是主对角线上元素都等于零的矩阵・令P =则P -1B P =
10
,
, 定理得证・-1
βQ Q 定理2A 是n , 则t r (A ) =0的充要条件是A 为零矩阵・证明 由A 是半正定矩阵, 则存在正交矩阵Q , 使得A =Q T ΛQ , 其中, Λ=diag (λ1, λ2, …, λn ) , Q =(α0(i =1, 2, …, n ) , 由引理3, t rA =λ1, α2, …, αn ) , αi 是A 的属于特征值λi 的特征向量, 且λi ≥1
T T
+λ0・如果t r (A ) =0, 则λ2…+λn ≥1=λ2=…=0, 于是A =Q ΛQ =Q 0Q =0; 反之, 如果A =0, 显
-1
αQ
然有t r (A ) =0, 定理得证・
定理3 设A 、B 都是n 阶半正定矩阵, 则t r (A B ) =0的充要条件是A B 为零矩阵・证明 显然只需证明必要性・存在正交矩阵Q , 使Q T A Q =diag (λ0, i =1, 2, 1, λ2, …, λn ) , λi ≥…, n , 若λ设存在i i ≠0, 不妨设λi =0, i =1, 2, …, n , 结论显然成立・1, …, λr 均非零, λr +1=…=λr =0, 设Q T B Q =(b ij )
n ×n
T T
, i , j =1, 2, …, n 由迹的相似不变性, t r (A B ) =t r (Q A Q ) (Q B Q ) , 于是, t r
T
(A B ) =λ0, 故b ii =0, i =1, 2, …, r , 而半正定矩阵1b 11+…+λr b rr =0, 由Q B Q , b ii ≥
的任一主子式均为非负, 故Q T B Q =
(Q T B Q ) =diag (λ0) 1, …, λr , 0…
00
T T
, 其中C 是n -r 阶矩阵, 于是, Q A B Q =(Q A Q )
00
=0, 从而A B =0, 定理得证・
定理4 设A 是n 阶矩阵, 则对于任意的正整数k ≤n , t r (A k ) =0的充要条件是A 为幂零矩阵・证明 若A 是幂零矩阵, A k 也是幂零矩阵, 则A k 的特征值全为0[4], 由引理3, t r (A k ) =0・反之,
k k k
若t r (A k ) =0对任意的的正整数k ≤n 成立, 设A 的特征值为λ1, λ2, …, λn , 则A 的特征值为λ1, λ2, k k k k [5]
λn =…, λ可知, λn , 于是对任意的的正整数k ≤n , 都有λ1+λ2…+λn =0, 由New ton 公式1=λ2=…
0, 即A 的特征值全为0, 故|λE -A |=λn , 由哈密尔顿—凯莱定理得A n =0, 从而A 是幂零矩阵, 定理
得证・
定理5 设A =(a ij )
m ×m
, B =(b ij )
n ×n
, 则t r (A B ) =0的充要条件是t r (A ) =0或t r (B ) =0・
k =1
证明 由t r (A B ) =a 11t r (B ) +…+a m m t r (B ) =
6
m
a kk t r (B ) =t r (A ) t r (B ) , 易得t r (A B )
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第4期 邵逸民:迹为零的矩阵的一些性质411
=0的充要条件是t r (A ) 和t r (B ) 中至少有一个为零, 定理得证・
2 迹为零的矩阵函数的行列式
定理6 若A 是迹为零的矩阵, 则
n =0
6
∞
的行列式n !
n
n =0
6
∞
n !
n
=1
) =证明 设在复数域上A 的特征值为λ1, λ2, …, λn , 令f (λ
n =0
6
∞
λ
=e , n !
n
则f (A ) 的特征值为f (λ1) , f (λ2) , …, f (λn ) , 由引理3, f (A ) =e 1…e n =e
λ
λ
λ+…+λn
1
=
n =0
6
∞
n !
n
=f (λ1) f (λ2) …f (λn )
=e t r
(A )
=e 0=1, 定理得证・
3 若干应用
众所周知, 对于任意一个n 阶矩阵A , 总可以将A 称矩阵, 而
T
T
2
, 其中
T
2
是对
2
是反对称矩阵, 因此得到:
命题1 任意一个n ・
命题2 ・命题3, 则A 可以表成一个迹为零的矩阵及一个可对角化矩阵之和・由引理1, A , 即t r (A B -B A ) =0, A B -B A 不可能等于或相似于k E (k ≠0) ・若A B B A =A , 则A 不可能是可逆矩阵[6]・从矩阵迹的角度, A B -B A 有如下性质・
定理7 设A , B 都是n 阶矩阵,
1) 如果A B -B A =A , 则对于任意正整数k , 有t r (A k ) =0;
2) 如果A B -B A =C , 且A C =CA , 则对于任意正整数k , 有t r (C k ) =0, 并且C 的特征值全为零・
4 结 语
迹为零的矩阵是一类常见的矩阵・研究结果表明, 迹为零的矩阵在矩阵相似性、矩阵运算等方面都具有一些重要性质, 它的应用可以推广到很多领域, 这些问题可以进一步加以研究・参考文献:
[1][2][3][4][5][6]
赵建中, 杨尚俊. 迹为零非负矩阵的组合结构[J].兰州大学学报:自然科学版, 2006,42(6) :88291. 蒋志明, 吴小军. 迹为零的对称矩阵的指数集[J].同济大学学报, 1992,20(1) :73280. 陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵[M ].北京:清华大学出版社, 2001:47248. 苏育才, 姜翠波, 张跃辉. 矩阵理论[M ].北京:科学出版社, 2006:93.
北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M ].北京:高等教育出版社, 1999:49.戴立辉. 矩阵乘积AB 与BA 的关系及性质[J].闽江学院学报, 2007:28(5) 10213.
Some Properties on the Matrices with Zero T race
S HA O Yi 2m i n
(Suzhou Vocational University , Suzhou 215104, China )
Abstract :By using the characteristics of the matrix trace. We described the properties of the matrices with trace zero in terms
of the simility of matrices , positive semidefinite matrices , the product of two matrices , the power of matrix , Kronecker product , the determinant of e A , etc. Several sufficient and necessary conditions for a matrix to be a matrix with trace zero are put forward. S ome applications in the matrix factorization of these matrices are given based on their properties and Jordan canonical form of them. Two conclusions that the trace of the power of matrix AB 2BA is also equal to zero are presented in the end.
K ey w ords :trace of a matrix ; similarity matrices ; positive semidefinite matrices ; nilpotent matrix
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