六年级奥数.数论.余数问题
余数问题
知识框架
一、 带余除法的定义及性质
1、 定义:
一般地,如果a 是整数,b 是整数(b ≠0), 若有a ÷b =q ……r ,也就是a =b ×q +r ,0≤r <b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:
(1)当r =0时:我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商
(2)当r ≠0时:我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图
这是一堆书,共有a 本,这个a 就可以理解为被除数,现在要求按照b 本一捆打包,那么b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d 本,这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
2、 余数的性质
⑴ 被除数=除数⨯商+余数;除数=(被除数-余数)÷商;商=(被除数-余数)÷除数; ⑵ 余数小于除数.
二、 三大余数定理:
1. 余数的加法定理
a 与b 的和除以c 的余数,等于a , b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
2. 余数的加法定理
a 与b 的差除以c 的余数,等于a , b 分别除以c 的余数之差。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3
-1=2.
当余数的差不够减时时,补上除数再减。
例如:23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4
3. 余数的乘法定理
a 与b 的乘积除以c 的余数,等于a , b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。 例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.
乘方:如果a 与b 除以m 的余数相同,那么a n 与b n 除以m 的余数也相同.
三、 弃九法原理
在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:
例如:检验算式1234+1898+18922+678967+178902=889923
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所 以这种方法被称作“弃九法”。
所以我们总结出弃九法原理:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。
例如:检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的。