第一节不等式的性质例题相应练习
不等式
第一节 不等式的性质
一、 重点难点剖析 1、正确理解不等式的概念:
a-b>0⇔a>b a-b=0⇔a=b a-b
2、不等式的性质包括基本性质和运算性质两部分 (1)基本性质:a>b⇔b>a; a>b,b>c⇔a>c;
a>b⇔a+c>b+c; c>0时,a>b⇔ac>bc; cb⇔ac
(2)运算性质:a>b,c>d⇒a+c>b+d;
a>b,cb-d; a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; a b
a>b>0,c>d>0⇒c >d a>b>0⇒a n >bn (n∈N且n>1); a>b>0⇒a >b (n∈N且n>1).
上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:推出关系“⇒”和等价关系“⇔”,要注意区别.一般地,证明不等式时,进行的
是一系列推出变换;解不等式时,进行的是一系列等价变换.不等式的概念和性质是进行变换、证明不等式和解不等式的依据.
二、 例题讲解:
例1 若a,b 是任意实数,且a>b,则( ).
a b
b ⎛1⎫⎛1⎫
(A )a >b (B a 0 (D ) ⎪
⎝2⎭⎝2⎭
22
例2 已知都是实数,给出下列命题; ①ac 2>bc2⇔a>b ②a > ③(x-a)(x-b)≤0⇔
x -a
≤0 x -b
1
⇔a
④log 20. 2x >1⇔x
其中正确命题的个数是( ).
(A )1 (B )2 (C )3 (D )4
例3 设a,b 是不相等的正数,
A =
2a +b
,G =,H =
112
+a b
,
a 2+b 2
Q =
2
.试比较A 、G 、H 、Q 的大小.
例4 船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等,为什么?
三、 习题
(1)若a>b>c,则一定成立的不等式是( ). (A )a |c |>b|c | (B )ab>ac (C )a-|c |>b-|c | (D )a-|c |
(2)若xax>a2 (C )x 2a2>ax
(3)a,b ∈R ,下列命题中的真命题是( ). (A )若a>b,则|a |>|b | (B )若a>b,则(C )若a>b,则a 3>b3 (D )若
11
a>b,则>1
b
(4)设a,b 是满足ab|a-b | (C )|a-b |
(5)以下四个不等式:✶a11
).
(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 (6)已知ab>c>d>0,且是_____________
(8)已知log a 2y或
11
>同时成立的充要条件是_______________ x y
a c
=, e =a +d , f =b +c , 则b d
e,f 的大小关系
(10)已知a,b 为不等正数,s
2t s (a +b )
, v =则a +b 2ab
u,v 的
(11)已知-1
11, D =1+a 1-a
a +3a +b ,试比较3, a , b , 四个数的大小. a +12