高中数学空间几何体综合测试题
高中数学空间几何体综合测试题
第一部分 三视图
一、 选择、填空题
1、 一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为__12___.
正(主) 视图 侧(左) 视图
俯视图
2、一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积是 (A )6
(B )12
正(主) 视图 侧(左) 视图
(C )24 (D )36
3、已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边
三 角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三 俯视图
角形,则此三棱锥的体积等于 (B )
(A
(B
正视图
(C
)4 (D
)3
俯视图
4、一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 (A) 2 (B )
4
3
(C) 1+
1
5、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示(单位:cm ),则这个几何体的体积是( )
53cm 233
C . 2cm 3 D . cm
2
A . 3cm 3 B .
6、已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形,
俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于(B )
(A
)
正视图
(B
) 33 (D
) 33
俯视图
(C
)
7、如图所示,O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点,E 为棱BB 1的中点,则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能是(A) ...
(A) (B) (C)
(D)
8、如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点,则三棱锥
P -ABC 的主视图与左视图的面积的比值为____1_____.
9、一几何体的三视图如左下图所示,则该几何的体积是
体
主视(第10题
俯视
左视
3500
3
10、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示
(单位:cm ),则这个几何体的表面积是( ) A .9πcm 2 B .12πcm 2 C .15πcm 2 D .24πcm 2
第二部分 立体几何
1、对于平面α和异面直线m , n ,下列命题中真命题是
(A )存在平面α,使m ⊥α,n ⊥α(B )存在平面α,使m ⊂α,n ⊂α (C )存在平面α,满足m ⊥α,n //α(D )存在平面α,满足m //α,n //α 2、空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫
做这个点到这个平面的距离.已知平面α,β,γ两两互相垂直,点A ∈α,点A 到
γ的距离都是3,点P 是α上的动点,满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍,β,
则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是(C )
(A ) 3- (B )3-2 (C )6-3 (D )
3、如图,四面体OABC 的三条棱OA , OB , OC 两两垂直,OA =OB =2, OC =3,D 为四面体OABC 外一点. 给出下列命题. ①不存在点D , 使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D , 使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D , 使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D , 使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是
(A )①②(B )②③(C )③(D )③④ 4、给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行; ②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;
③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面;
C
D
O
B
④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面.
其中为真命题的是
(A )①和② (B )②和③ (C )③和④ (D )②和④ 5、空间点到平面的距离如下定义:过空间一点作平面的垂线,该点和垂足之间的距离即为
该点到平面的距离.平面α,β,γ两两互相垂直,点A ∈α,点A 到β,γ的距离都是3,点P 是α上的动点,满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍,则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为
(A )3 (B )3-2 (C )6-3 (D )3-
6、设m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若m ⊂β,α⊥β,则m ⊥α; ② 若α//β,m ⊂α,则m //β;
③ 若n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α,则m ⊥β; ④ 若α⊥γ,β⊥γ,m ⊥α,则m ⊥β. 其中正确命题的序号是(D) (A) ①③ (B) ①②
(C)③④ (D) ②③
7、已知平面α β=l ,m 是α内不同于l 的直线,那么下列命题中 错误的是 D ..
A .若m //β,则m //l B .若m //l ,则m //β C .若m ⊥β,则m ⊥l D .若m ⊥l ,则m ⊥β 8、对于四面体ABCD ,有如下命题 ①棱AB 与CD 所在的直线异面;
②过点A 作四面体ABCD 的高,其垂足是∆BCD 的三条高线的交点; ③若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高,则这两条高所在直线异面; ④分别作三组相对棱的中点连线,所得的三条线段相交于一点, 其中正确的是 (A) ①
(B) ②③
(C ) ①④
(D) ①③
9、设m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若m ⊂β,α⊥β,则m ⊥α;
② 若α//β,m ⊂α,则m //β;
③ 若n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α,则m ⊥β; ④ 若α⊥γ,β⊥γ,m ⊥α,则m ⊥β. 其中正确命题的序号是(D) (A) ①③ (B) ①②
(C) ③④ (D) ②③
10、已知a ,b 是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面, 下列命题中正确的是(C ) (A ) a //b ,b //α,则a //α
(B ) a ,b ⊂α,a //β,b //β,则α//β (C ) a ⊥α,b //α,则a ⊥b
(D ) 当a ⊂α,且b ⊄α时,若b ∥α,则a ∥b
11、已知直线l 、m ,平面α,且m ⊂α,那么“l //m ”是“l //α”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
二、解答题
1、(本小题满分13分)
如图, ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,AF //DE ,DE =3AF ,
BE 与平面ABCD 所成角为600.
(Ⅰ) 求证:AC ⊥平面BDE ; (Ⅱ) 求二面角F -BE -D 的余弦值;
(Ⅲ)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得AM //平面BEF ,并证明你的结论.
(Ⅰ) 证明: 因为DE ⊥平面ABCD ,
所以DE ⊥AC . „„„„„„„„2分 因为ABCD 是正方形, 所以AC ⊥BD ,
从而AC ⊥平面BDE . „„„„„„„„4分 (Ⅱ) 解:因为DA , DC , DE 两两垂直,
所以建立空间直角坐标系D -xyz 如图所示.
F C
因为BE 与平面ABCD 所成角为60,即∠DBE =60,
分
所以
ED
=3. DB
由AD =3可知DE =AF =„„„„„„6分
则A (3,0,0),F ,E ,B (3,3,0),C (0,3,0),
所以BF =(0,-,EF =(3,0,-, „„„„„„7
分
⎧⎧⎪n ⋅BF =0⎪-3y +=0
设平面BEF 的法向量为n =(x , y , z ) ,则⎨ ,即, ⎨
⎪⎪⎩n ⋅EF =0⎩3x -=0
令z =分
则n =4(2, 6)
. „„„„„„„8
因为AC ⊥平面BDE ,所以CA 为平面BDE 的法向量,CA =(3,-3,0) ,
n ⋅CA „„„„„„„9o 分 c 〈n CA 〉===
n CA 所
以
因为二面角为锐角,所以二面角F -BE -D 的余弦值为
. „„„„„„10分 13
(Ⅲ) 解:点M 是线段BD 上一个动点,设M (t , t ,0) .
则AM =(t -3, t ,0) ,
因为AM //平面BEF ,
所以AM ⋅n =0, „„„„„„„11
分
即4(t -3) +2t =0,解得t =2. „„„„„„„12分
此时,点M 坐标为(2,2,0) ,BM =分
2、(本小题满分13分)
如图所示,正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直,∠ADE =90,
1
BD ,符合题意. „„„„„„„133
AF //DE ,DE =DA =2AF =2.
(Ⅰ) 求证:AC ⊥平面BDE ; (Ⅱ) 求证:AC //平面BEF ; (Ⅲ)求四面体BDEF 的体积.
(Ⅰ) 证明:因为平面ABCD ⊥平面ADEF ,∠ADE =90,
F
D
C
A 所以DE ⊥平面ABCD , „„„„„„„2分 所以DE ⊥AC . „„„„„„„3分 因为ABCD 是正方形, 所以AC ⊥BD ,
所以AC ⊥平面BDE . „„„„„„„4分 (Ⅱ) 证明:设AC BD =O ,取BE 中点G ,连结FG , OG ,
//1DE . „„„„„„„„5OG =所以,
2
分
//OG , „„„„„„„„6因为AF //DE ,DE =2AF ,所以AF =
分
AFGO 而四边形是平
FG //AO . „„„„„„„„7分
从因
为
行四边形,
FG ⊂
平面
BEF
,
AO ⊄
平面
BEF , „„„„„„„„8分
所以AO //平面BEF ,即AC //平面BEF . „„„„„„„„9分
(Ⅲ)解:因为平面ABCD ⊥平面ADEF ,AB ⊥AD ,
所
以
AB ⊥
平面
A
. „„„„„„„„11分
因为AF //DE , ∠ADE =90, DE =DA =2AF =2,
所以∆DEF 的面积为分
1
⨯ED ⨯AD =2, „„„„„„„„122
41
S ∆DEF ⨯AB =. „„„„„
33
所以四面体BDEF 的体积=
3、(本小题共14分)
已知四棱锥P -ABCD 的底面是菱形.∠BCD =60,AB =PB =PD =
2,
PC =,AC 与BD 交于O 点,E ,H 分别为PA ,OC 的中点.
(Ⅰ)求证:EC ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:PH ⊥平面ABCD ;
(Ⅲ)求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:因为E ,O 分别为PA ,AC 所以EO ∥PC .
又EO ⊂平面BDE , PC ⊄平面 所以PC ∥平面BDE .
C
(Ⅱ)证明:连结OP , 因为PB =PD ,
所以OP ⊥BD .
在菱形ABCD 中,BD ⊥AC , 又因为OP AC =O , 所以BD ⊥平面PAC . 又PH ⊂平面PAC , 所以BD ⊥PH .
在直角三角形POB 中,OB =1,PB =2,
所以OP =
又PC ,H 为OC 的中点, 所以PH ⊥OC . 又因为BD OC =O 所以PH ⊥平面ABCD .
(Ⅲ)解:过点O 作OZ ∥PH ,所以OZ ⊥平面ABCD .
如图,以O 为原点,OA ,OB ,OZ 所在直线为x , y , z 轴,建立空间直角坐标系.
可得,A ,B
(0,1,0),C (,
P (
33) ,E ) .
24
3所以AB =(,0) ,AP =( ) ,
2 3
CE =) .
4
设n =(x , y , z ) 是平面PAB 的一个法向量,则
⎧+y =0
⎧n ⋅AB =0⎪⎪
,即⎨, ⎨ 3
x +z =0⎪⎪⎩n
⋅AP =0
⎩2
令x =
1,则n =(1. 设直线CE 与平面PAB 所成的角为θ,
4〈n , CE 〉=. 可得sin θ=cos
7
所以直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值为
4、(本小题共13分)
4
. 7
已知四棱锥P -ABCD 的底面是菱形.PB =PD ,E 为PA 的中点. (Ⅰ)求证:PC ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:平面PAC ⊥平面BDE .
(Ⅰ)证明:因为E ,O 分别为PA ,AC 所以EO ∥PC . 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE 所以PC ∥平面BDE .
„„„„„„„„6(Ⅱ)证明:连结OP 因为PB =PD ,
所以OP ⊥BD .
在菱形ABCD 中,BD ⊥AC 因为OP AC =O 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE
C
C
所以平面PAC ⊥平面BDE . „„„„„„„„13分
5、(本小题满分13分)
如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,且AD //BC ,
∠ABC =∠PAD =90︒,侧面PAD ⊥底面ABCD . 若PA =AB =BC =
1
AD . 2
(Ⅰ)求证:CD ⊥平面PAC ;
(Ⅱ)侧棱PA 上是否存在点E ,使得BE //平面PCD ?若存在,指出点E 的位置并证
明,若不存在,请说明理由; (Ⅲ)求二面角A -PD -C 的余弦值. 解法一:
(Ⅰ)因为 ∠PAD =90︒,所以PA ⊥AD .
又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ,且侧面PAD 底面ABCD =AD , 所以PA ⊥底面ABCD . 而CD ⊂底面ABCD , 所以PA ⊥CD .
在底面ABCD 中,因为∠ABC =∠BAD =90︒,AB =BC =
1
AD , 2
所以
AC =CD =
AD , 所以AC ⊥CD . 2
又因为PA AC =A , 所以CD ⊥平面PAC . „„„„„„„„„„„4分 (Ⅱ)在PA 上存在中点E ,使得BE //平面PCD ,
证明如下:设PD 的中点是F , 连结BE ,EF ,FC ,
1
则EF //AD ,且EF =AD .
2
由已知∠ABC =∠BAD =90︒,
1
所以BC //AD . 又BC =AD ,
2
所以BC //EF ,且BC =EF ,
所以四边形BEFC 为平行四边形,所以BE //CF .
因为BE ⊄平面PCD ,CF ⊂平面PCD ,
所以BE //平面PCD . „„„„„8分
(Ⅲ)设G 为AD 中点,连结CG ,
则 CG ⊥AD .
又因为平面ABCD ⊥平面PAD , 所以 CG ⊥平面PAD . 过G 作GH ⊥PD 于H ,
连结CH ,由三垂线定理可知CH ⊥PD .
- 11 -
所以∠GHC 是二面角A -PD -C 的平面角.
设AD =2,则PA =AB =CG =DG =
1, DP =. 在∆PAD 中,
GH DG =
,所以GH =. PA DP CG =
,cos ∠GHC =. GH 所以
tan ∠GHC =
即二面角A -PD -
C „„„„„„„„„„„„13分
解法二:
因为 ∠PAD =90︒, 所以PA ⊥AD .
又因为侧面PAD ⊥底面ABCD , 且侧面PAD 底面ABCD =AD , 所以 PA ⊥底面ABCD . 又因为∠BAD =90︒,
所以AB ,AD ,AP 两两垂直. 分别以AB ,AD ,AP 为x 轴, y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图.
设AD =2,则A (0,0, 0) ,B (1,0, 0) ,C (1,1, 0) ,D (0,2, 0) ,P (0,0, 1) .
(Ⅰ)AP =(0,0, 1) ,AC =(1, 1, 0) ,CD =(-1, 1, 0) ,
所以 AP ⋅CD =0,AC ⋅CD =0,所以AP ⊥CD ,AC ⊥CD .
又因为AP AC =A , 所以CD ⊥平面PAC . „„„„„„„„„„„„4分
11
(Ⅱ)设侧棱PA 的中点是E , 则E (0, 0, ) ,BE =(-1, 0, ) .
22
⎧⎪n ⋅CD =0,
设平面PCD 的一个法向量是n =(x , y , z ) ,则⎨
⎪⎩n ⋅PD =0.
因为CD =(-1, 1, 0),PD =(0, 2,-1) ,
⎧-x +y =0, 所以⎨ 取x =1,则n =(1, 1, 2).
⎩2y -z =0. 1
所以n ⋅BE =(1, 1, 2)⋅(-1, 0, ) =0, 所以n ⊥BE .
2
- 12 -