光波的干涉习题及答案-大学本科

一、光波的干涉习题

1. 在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n 的透明介质中从A 沿某路径传播

到B ，若A 、B 两点相位差为3π，则此路径AB 的光程为（）

(A) 1.5λ． (B) 1.5 λ/ n． (C) 1.5λ n ． (D) 3λ．

A

⎛n 2l 2n 1l 1⎫⎛l 2l 1⎫ ⎪∆φ=2π -=2π λλ⎪ λ-λ⎪⎪=2πδ/λ0 1⎭0⎭⎝2⎝02. 2、在双缝干涉实验中，光的波长为600 nm (1 nm ＝10－9 m) ，双缝间距为2

mm ，双缝与屏的间距为300 cm．在屏上形成的干涉图样的明条纹间距为（）

(A) 0.45 mm (B) 0.9 mm (C) 1.2 mm (D) 3.1 mm

B

3. 3、在迈克耳孙干涉仪的一支光路中，放入一片折射率为n 的透明介质薄膜后，

测出两束光的光程差的改变量为一个波长λ，则薄膜的厚度是

(A) λ / 2．(B) λ / (2n ) ． (C) λ / n ． (D) λ

2n -1． [ ]

D

4. 两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面

的平玻璃以棱边为轴，沿逆时针方向作微小转动，则干涉条纹的（）

(A) 间隔变小，并向棱边方向平移 (B) 间隔变大，并向远离棱边方向平移

(C) 间隔不变，向棱边方向平移 (D) 间隔变小，并向远离棱边方向平移

A

5. 在折射率为n =1. 68的平板玻璃表面涂一层折射率为n '=1. 38的MgF 2透明薄

膜，可以减少玻璃表面的反射光。若用波长λ=500nm 的单色光垂直入射，

为了尽量减少反射，则MgF 2薄膜的最小厚度是

（A ）181. 2nm ； (B)78. 1nm ；（C ）90. 6nm ；（D ）156. 3nm

B

δ=2e n 2-n 1sin i +222λ2=(2m +1) λ

2m =0, 1, 2

2

6. 两块折射率相同的标准玻璃之间形成一个劈尖。用波长λ的单色光垂直入射，

产生等厚干涉条纹。假如我们将上面的玻璃向上抬起改变劈尖角，则劈尖角

增大时相邻明纹间距比原来

（A ）增大 （B ）减小 （C ） 不变 （D ）无法判断 2n e =(2m +1) 2

B

7. 两个点光源单独作用时，在场点P 的形成的场强分别为I 0和9I 0。当两个点

光源发生干涉时，在P 点附近的反衬度为 。

0.6

8. 9、（5分）在杨氏双缝干涉实验中，光源波长约为0.6μm，双缝间距d=0.5mm，

接收屏距双缝1m 远，缝光源距双缝2m 远。则条纹间距为___mm，考虑到

光场的空间相干性，缝光源许可宽度应小于__mm。

1.2mm ； 0.6mm 。

λl b =c d

9. 一块波带片只有第1、3、5、7、9个奇数带露出，其余都被挡住，则轴上场

点的光强是自由传播的___倍；若改用与之互补的波带片，则轴上场点的光

强又是自由传播的___倍。

100，81。

10. 在双缝干涉实验中，两缝间距离为d ，双缝与屏幕之间的距离为D (D >>d ) ．波

长为λ 的平行单色光垂直照射到双缝上．屏幕上干涉条纹中相邻暗纹之间的

距离是

(A) 2λD / d ． (B) λd / D ． (C) dD /λ ． (D) λD /d ．

D

11. 产生干涉的必要条件（相干条件）有：

（1）__频率相等 ；（2分）

（2）__位相差恒定_________ _；（2分）

（3）__平行的振动分量___ _。（1分）

二、计算题

1、双缝干涉实验装置如图所示，双缝与屏之间的距离D ＝120 cm ，两缝之间的

距离d ＝0.50 mm，用波长λ＝500 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直照射双缝．

(1) 求原点O (零级明条纹所在处) 上方的第五级明条纹的坐标x ．

(2) 如果用厚度l ＝1.0×10-2 mm ， 折射率n ＝1.58的透 明薄膜复盖在图中的S 1

缝后面，求上述第五级明条纹的坐标x '．

解：(1) ∵ dx / D ≈ k λ

x ≈Dk λ / d = (1200×5×500×10-6 / 0.50)mm= 6.0 mm

(2) 从几何关系，近似有

r 2－r 1≈ d x '/D

有透明薄膜时，两相干光线的光程差

δ = r 2 – ( r 1 –l +nl )

= r 2 – r 1 –(n -1) l

=d x '/D -(n -1)l

对零级明条纹上方的第k 级明纹有

δ=k λ 零级上方的第五级明条纹坐标

x '=D [(n -1)l +k λ]/d

=1200[(1.58－1) ×0.01±5×5×10-4] / 0.50mm =19.9 mm

2、用波长为λ1的单色光照射空气劈形膜，从反射光干涉条纹中观察到劈形膜装

置的A 点处是暗条纹．若连续改变入射光波长，直到波长变为λ2 (λ2＞λ1) 时，A

点再次变为暗条纹．求：A 点的空气薄膜厚度．

解：设Ａ点处空气薄膜的厚度为ｅ，则有

11 2e +λ1=(2k +1) λ1, 即2e =k λ1 22

改变波长后有 2e =(k -1) λ2

k λ1=k λ2-λ2, k =λ2/(λ2-λ1)

11∴ e =k λ1=λ1λ2/(λ2-λ1) 22

3、一薄玻璃片，厚度为0.4μm ，折射率为1.50，用白光垂直照射，问在可见光

范围内，哪些波长的光在反射中加强？哪些波长的光在透射中加强？（见光波长

的范围400nm ～760nm ）

解：这是一个等倾干涉并且入射角i ＝0的问题。

（1）反射光：上表面反射有半波损失，下表面则无半波损失。上下表面反∴

射光加强的条件为：

2

4ne λ=2k +12ne -λ=k λ, k =0、1、2、3.....

由计算可知，当k ＝2时，λ＝480nm 。

（2）透射光，一透射光直接透过玻璃片；另一透射光先由下表面反射，再

由上表面反射而透过下表面，两次反射均无半波损失。两束透射光加强的条件为：

2ne =k λ, k ＝1、2、3.....

2ne λ=k

由计算可知，当k ＝2时，λ＝600nm ，当k ＝3时，λ＝400nm 。

4、杨氏干涉装置中的S 点光源发出波长为λ=0. 6μm的单色光，间距为

d =0. 4mm 的双缝S 1和S 2对称分布于光轴两侧，衍射屏与观察屏的距离为

D =100cm ，一个焦距为f =10cm 的薄透镜L 置于衍射屏和观察屏之间，若薄透

镜与衍射屏的距离分别为（1）A =8cm 和（2）A =10cm ，在傍轴条件下分别求

观察屏∑上这两种情况的干涉条纹的形状和间距？

解：（1）将对称分布的两个次波源S 1和S 2对薄透镜成像，最终的干涉条纹是两个相应虚

像点在观察屏∑上形成的杨氏干涉条纹。由于： 111s ' +=，s ' =-40；V =-=5， s ' 810s

d ' =0. 04⨯5=0. 2cm ，

D ' =100-8+40=132cm d ' x =m λ，因此，干涉条纹应当为垂直x 轴的直满足相干加强的光程差公式为：(∆L ) =D '

线条纹。 条纹间距为：∆x =D ' 132λ=⨯6000A 0=0. 396mm ≈0. 4mm 。 d ' 0. 2

（2）由于衍射屏位于薄透镜的焦平面上，因此，对称分布的两个次波源在后场形成的是两

束倾角相等的平行光的干涉。满足相干加强的光程差公式为：(∆L ) =2x sin θ=m λ 因此，干涉条纹是垂直x 轴的直线条纹。平行光的倾角为：sin θ=0. 02=2⨯10-3 10

6000A 0

==0. 15mm 条纹间距为：∆x =2sin θ2⨯2⨯10-3λ

5、（20分）、用波长λ＝500nm 的单色光垂直照射在由两块玻璃板（一端刚好接触成为劈棱）构成的空气劈形膜上．劈尖角θ＝2×10-4rad ．如果劈形膜内充满折射率为n ＝1.40的液体，求：从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离。

解：设第五个明纹处膜厚为e ，则有

2ne ＋λ / 2＝5 λ

设该处至劈棱的距离为l ，则有近似关系

e ＝l θ，（5分）

由上两式得

2nl θ＝9 λ / 2，l ＝9λ / 4n θ

充入液体前第五个明纹位置

l 1＝9 λ / 4θ

充入液体后第五个明纹位置

l 2＝9 λ / 4n θ

充入液体前后第五个明纹移动的距离

∆l ＝l 1 – l 2＝9 λ ( 1 - 1 / n ) / 4θ ＝1.61 mm

6、在折射率n ＝1.50的玻璃上，镀上n '＝1.35的透明介质薄膜．入射光波垂直于介质膜表面照射，观察反射光的干涉，发现对λ1＝600 nm 的光波干涉相消，对λ2＝700 nm 的光波干涉相长．且在600 nm 到700 nm 之间没有别的波长是最大限度相消或相长的情形．求：所镀介质膜的厚度．(1 nm = 10-9 m)

解：设介质薄膜的厚度为e ，上、下表面反射均为由光疏介质到光密介质，故不

计附加程差当光垂直入射i = 0时，依公式有：

1对λ1： 2n 'e =(2k +1)λ1 ① 2

按题意还应有： 对λ2： 2n 'e =k λ2 ②

由① ②解得： k =2λ2-λ1将k 、λ2、n '代入②式得

k λe =2＝7.78×10-4 mm

2n 'λ1=3

7、用波长为λ1的单色光垂直照射牛顿环装置时，测得中央暗斑外第1和第4暗环半径之差为l 1，而用未知单色光垂直照射时，测得第1和第4暗环半径之差为l 2，求：未知单色光的波长λ2． 解：由牛顿环暗环半径公式：r k =kR λ，

根据题意可得 l 1=4R λ1-R λ1=R λ1

l 2=4R λ2-R λ2=R λ2

22λ2/λ1=l 2/l 12 λ2=l 2λ1/l 12

8、两个偏振方向正交放置的偏振片，以光强为I0的自然单色光照射，若在

其中插入另一块偏振片，求：

(1) 若透过的光强为I0 /8，插入的偏振片方位角

(2) 若透过的光强为0，插入的偏振片方位角

(3) 能否找到合适的方位，使透过的光强为I0 /2

(4) 若在其中插入一块1/4波片，其光轴与第一块偏振片的偏振方向成30°

角，出射光的强度为多少

解:

(1) 设插入的偏振片与第一块偏振片偏振方向的夹角为θ，则与第二块的夹

角为90°-θ

1自然光透过第一块偏振片后的光强为 I 0 2

1根据马吕斯定律透过插入偏振片后的光强为I 0cos 2θ 2

则从第二块偏振片出射的光强为

11I =I 0cos 2θcos 2(900-θ)=I 0cos 2θsin 2θ22

整理得

1I =I 0sin 22θ8 1若I =I 0则θ=450，即插入的偏振片与两个偏振片均成450角 8

θ=0或π2插入的偏振片偏振方向与其中的一(2) 令I=0，得sin 2θ=0即

块平行

11(3) 令I =I 0，得sin 22θ说明出射光强不可能为I 0 22

(4) 通过第一片偏振片P1的光振幅为A1，则射入1/4波片的寻常光和非常光振幅分别为

P 1

1A o 1=A 1sin α=A 12A e 1=A 1cos α=A 12

在第二片偏振片通光轴上的分量为u

A o 2=A o 1cos α=A 14A e 2=A e 1sin α=A 14

通过1/4玻片后，o 光和e 光有p i/2的相位差，另外通过第二片偏振片P2

后, 产生附加相位差p i

π则出射的o 光和e 光总的相位差为+π 2

通过第二片偏振片通光轴上的o 光和e 光相干，合成光强为

⎛π⎫222A 2=A o +A +2A A cos +π⎪2e 202e 2⎝2⎭

2A 2=整理得 32A 18

1I 02

3I 016 由马吕斯定律可知 A 12=则出射光强为 2I =A 2=

9、用普通的点光源照明时，波前上各次波源的相位是否稳定? 它们之间的相位差是否稳定? 它们是否相干? 在这种情况下我们能看到稳定的衍射图样吗?

答：由于普通光源发光波列的断续性和各波列间位相的无规性，点光源波前上各次波源的相位必然是高频跳变和不稳定的。但是各个次波源之间的相位差只由光程差决定，是稳定的。因此，点光源波前上各次波源是相干的，用点光源照明衍射屏时是可以看到稳定衍射花样的。

10、扬氏实验中如果光源含有两种振幅相同的波长，形成的干涉条纹的分布规律、可见度、条纹间距及一个周期内明暗变化的次数如何？设遮光屏上两个孔之间的距离为d ，显示平面到遮光屏的距离为a ，且有d1、答：

解：在扬氏干涉实验中，每个波长引起的光强分布分别为

2πd I 1(x ) =2I 0(1+c o x ) λ1a

2πd I 2(x ) =2I 0(1+c o x ) λ2a （1）

总干涉光强为二者迭加（形成的拍）：

d d ⎤⎡ I =I 1(x ) +I 2(x ) =4I 0⎢1+c o s ∆(k x ) ⋅c o s k x ) ⎥ （2） 2a a ⎦⎣

式中k i =2πλi , i =1, 2，k =(k 1+k 2) 2（载波），∆k =k 1-k 2（包络）

(k （包络）条纹可见度为： v =c o s ∆d x ) （3）是x 的函数 2a

d δx =2π， 2a

4πa 移项得：δx = （4） ∆k d

d 2π2π=（载波的）条纹间距：由（2）知k =ω=， a T ∆x

2πa 移项得 ∆x = （5） k d （包络的）周期：由（2）知 ∆k

一个包络周期中含有的载波数为：N =δx

∆x =2k (λ1+λ2) =∆k (λ2-λ1)

由上式有 ∆λ=λ2-λ1=(λ1+λ2) N （6）

11、单色点光源S 发出的光透过遮光屏上距离为d 的两个孔S1、S2 后形成的球面波在距离遮光屏a 的xy 平面上的一点P(x,y)处会合，P 点到S1、S2 的距 离分别是s1、s2, S到S1、S2的距离相等，d

2、

解：（1）在P 点两球面波合成的复振幅为

U =A exp(jks 1) +A exp(jks 2)

式中 s 1=a 2+y 2+(x +d /2) 2

s 2=a 2+y 2+(x -d /2) 2

P 点光强为 I =U *U =2A 2(1+cos k ∆s ) ， 其中 ∆s =s 1-s 2

d 上式近似为 I =2A 2[1+cos(k d x )]=2A 2[1+cos(2πd x )] a λa

表明位相差仅与x 有关，故可见等间距的干涉条纹。

（2）对任意放置的观测屏，干涉条纹的分布取决于光程差相同的点的轨迹。由

（1）知光程差为

∆s =s 1-s 2=z 2+y 2+(x +d /2) 2-z 2+y 2+(x -d /2) 2

将等式移项两边平方后再化简得

x 2y 2+z 2

-=1 222(∆s /2) (d /2) -(∆s /2)

当∆s =m λ，m =0, ±1, ±2... 时有干涉条纹极大值，其方程为

x 2y 2+z 2

-=1 为旋转双曲面。 222(m λ/2) (d /2) -(m λ/2)

12、两振幅相同、初位相均为0、振动方向相同且波矢均在xz 平面内的平面波分别以θ 和-θ角向z=0平面入射并在其上相遇，求解并讨论其光强分布及条纹间隔情况。

6、

解：在z=0平面上两个平面波可分别表示为

U 1=A exp[jkx sin θ]exp(j ωt )

U 2=A exp[jkx sin(-θ)]exp(j ωt ) =A exp[-jkx sin θ]exp(j ωt )

合振动为

U =U 1+U 2=A [exp(jkx sin θ) +exp(-jkx sin θ)]exp(j ωt )

光强分布为

I =U *U =A 2[exp(jkx sin θ) +exp(-jkx sin θ)][exp(-jkx sin θ) +exp(jkx sin θ)]=2A +2A cos(2kx sin θ) =2A [1+cos(2kx sin θ)]=4A cos (kx sin θ) 讨论：

222222 当cos 2(kx sin θ) =1，或kx sin θ=n π n =0, ±1, ±2... 时光强最大为4A ，相应的x =n πn πλn λ== n =0, ±1, ±2... k sin θ2πsin θ2sin θ

当cos 2(kx sin θ) =0，或kx s i n θ=(2n +1) π/2 ，n =0, ±1, ±2... 时光强最

小为0，相应的x =(2n +1) π(2n +1) πλ(2n +1) λ== n =0, ±1, ±2... 2k sin θ4πsin θ4sin θ

相邻明纹（或暗纹）间隔为∆x =

λ2sin ϑ增大条纹间隔变小，条纹分布变得密集。 ， 表明在0到π/2范围内随入射角θ