模块综合检测

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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若f (x ) ＝3x 2－x ＋1，g (x ) ＝2x 2＋x －1，则f (x ) 与g (x ) 的大小关系为( ) A ．f (x )>g (x ) C ．f (x )

B ．f (x ) ＝g (x ) D ．随x 值变化而变化

解析：选A 因为f (x ) －g (x ) ＝(3x 2－x ＋1) －(2x 2＋x －1) ＝x 2－2x ＋2＝(x －1) 2＋1>0，所以f (x )>g (x ) ．

2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b 3，B ＝60°，那么角A 等于( )

A ．135° C ．45°

解析：选C ∴sin A ＝

B ．90° D ．30°

a b ， sin A sin B

a sin B 2sin 60°2

. b 23

又a

A. 161C. 10

解析：选C a 2＝

14

a ，则给出的数列{a n }的第4项是( ) 3a n ＋1

1 B.

171 D.

25

a 11

＝ 3a 1＋13＋14

17

a a 11a 3＝＝，a 4＝＝7103a 2＋133a 3＋13＋1＋147

4．若关于x 的不等式x 2－3ax ＋2>0的解集为(－∞，1) ∪(m ，＋∞) ，则a ＋m ＝( ) A ．－1 C ．2

B ．1 D ．3

解析：选D 由题意，知1，m 是方程x 2－3ax ＋2＝0的两个根，则由根与系数的关系，

⎧⎧⎪1＋m ＝3a ，⎪a ＝1，

得⎨解得⎨所以a ＋m ＝3，故选D. ⎪⎪1×m ＝2，m ＝2，⎩⎩

5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y ) 的最大值为( ) A ．16 C ．9

B ．25 D ．36

(1＋x )＋(1＋y )2⎡2＋(x ＋y )2⎛2＋8⎫2

解析：选B (1＋x )(1＋y ) ≤⎡22⎣＝⎣＝⎝2⎭＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y ) 取最大值25，故选B.

6．已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 C ．43

B ．42 D ．45

解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ， 则2a 1＋3d ＝13，∴d ＝3，

故a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×2＋12×3＝42.

1

7．钝角三角形ABC 的面积是，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )

2A ．5 C ．2

B. 5 D ．1

1112

解析：选B ∵S △ABC ＝·BC sin B ＝×12sin B ＝∴sin B ＝，∴B ＝45°或

2222135°，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×－∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意．故选B.

1

8．已知S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，S 3＝3a 1＋2a 2，且a 2－a 4，a 5成等差数

2列，则a 1＝( )

A ．2 14

1 B. 2 D ．4

⎛⎝2⎫

＝5，2⎭

解析：选C 设数列{a n }的公比为q (q >0)，则由S 3＝3a 1＋2a 2可得q 2－q －2＝0，解得q 111

＝2或q ＝－1(舍去) ，又a 2－，a 4，a 5成等差数列，所以2a 4＝a 2－＋a 5，即a 2＝2221

a 14

9．在△ABC 中，AC 7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) 3 23＋6

2

33 B.

2 D.

3＋39

4

解析：选B 由余弦定理得AB 2＋4－2·AB ×2×cos 60°＝7，解得AB ＝3或AB ＝－1131(舍去) ，设BC 边上的高为x ，由三角形面积关系得BC ·x ＝AB ·BC ·sin 60°，解得x ＝，

222故选B.

10．某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，那么这两家工厂工作的时间分别为( )

A ．16,8 C ．17,7

B ．15,9 D ．14,10

解析：选A 设A 工厂工作x 小时，B 工厂工作y 小时，总工作时数为z ，则目标函数x ＋3y ≥40，⎧⎪

为z ＝x ＋y ，约束条件为⎨2x ＋y ≥40，

⎪⎩x ≥0，y ≥0

作出可行域如图所示，由图知当直线l ：y ＝－x ＋z

⎧⎪x ＋3y ＝40，

过Q 点时，z 最小，解方程组⎨得Q (16,8)，故A 厂工作16小时，B 厂工作8

⎪2x ＋y ＝40，⎩

小时，可使所费的总工作时数最少．

11．若log 4(3x ＋4b ) ＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋23 C ．6＋43

B ．7＋3 D ．7＋3

11

解析：选D 由log 4(3a ＋4b ) ＝log ab ，log 2(3a ＋4b ) 2(ab ) ，所以3a ＋4b ＝ab ，

2234

即＝1. b a

3a 4b 3a 4b ＋所以a ＋b ＝(a ＋b ) ⎛＝＋＋7≥43＋7，当且仅当⎝b a b a b a a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.

x －y ≥0，⎧⎪

12．已知x ，y 满足约束条件⎨x ＋y ≤2，

⎪⎩y ≥0. A ．3 C ．－2

若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )

B ．2 D ．－3

解析：选B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)

13．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．

解析：因为实数x ，y 满足xy ＝1，所以x 2＋2y 2≥2x ·2y ＝2(xy )＝22，并且仅当x 2＝2y 2且xy ＝1，即x 2＝2y 2＝2时等号成立，故x 2＋2y 2的最小值为2.

答案：2

14．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．

解析：由于三边长构成公差为4的等差数列， 故可设三边长分别为x －4，x ，x ＋4.

由一个内角为120°，知其必是最长边x ＋4所对的角． 由余弦定理得，(x ＋4) 2＝x 2＋(x －4) 2－2x (x －4)·cos 120°， ∴2x 2－20x ＝0，∴x ＝0(舍去) 或x ＝10， 1

∴S △ABC ＝×(10－4) ×10×sin 120°＝153.

2答案：3

15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.

1111

∵S n ≠0，∴1，即－1.

S n S n ＋1S n ＋1S n

⎧⎫11

又1，∴⎨S ⎬是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴S ＝－1＋(n －1) ×(－1) S 1⎩n ⎭n

1

＝－n ，∴S n ＝－n .

1

答案n 16．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；11

④a b ≥2，对满足条件的a ，b 恒成立的是________．(填序号)

a ＋b 2

解析：因为ab ≤＝1，所以①正确；因为a b ) 2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤2

2(a ＋b )211a ＋b 2

＋a ＋b ＝4，故②不正确；a ＋b ≥2，所以③正确；a ＋b ＝ab ab ≥2，所以④

2

2

2

正确．

答案：①③④

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分) 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .

解：(1)设{a n }的首项为a 1，公差为d ，

⎧⎧⎪a 1＋9d ＝30，⎪a 1＝12，⎨则解得⎨ ⎪⎪⎩a 1＋19d ＝50. ⎩d ＝2.

∴通项a n ＝a 1＋(n －1) d ＝10＋2n .

n (n －1)n (n －1)(2)由S n ＝na 1＋＝242，得12n ＋2＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍

22去) ．故n ＝11.

18．(12分) 已知f (x ) ＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )

(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x ) ＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围． 解：(1)因为f (x ) ＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )

所以0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根， b c

由根与系数的关系，知－＝50，

22所以b ＝－10，c ＝0，所以f (x ) ＝2x 2－10x .

(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x ) ＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立．

设g (x ) ＝2x 2－10x ＋t －2，

则由二次函数的图象可知g (x ) ＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，

所以g (x ) max ＝g (－1) ＝10＋t ，所以10＋t ≤0，即t ≤－10，所以t 的取值范围为(－∞，－10]．

19．(12分) 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎨a

1⎫

⎬的前n 项和．

⎩2n －1a 2n ＋1⎭

⎧

解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋

n (n －1)

d . 2

⎧⎪3a 1＋3d ＝0，

由已知可得⎨解得a 1＝1，d ＝－1.

⎪5a 1＋10d ＝－5. ⎩

故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知

11

＝

a 2n －1a 2n ＋1(3－2n )(1－2n )

111

＝2n －32n －1， 2⎝⎭从而数列⎨a

1⎫1

⎬的前n 2⎩2n －1a 2n ＋1⎭

⎧

111111

－＋„＋－－11132n －32n －1

)

＝

n

1－2n

20．(12分) 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点A ，B 两地相距100 m，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚

2

s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测17

得最高点H 的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340 m/s)

解：由题意，设AC ＝x m， 则BC ＝x －

2

340＝(x －40)m ， 17

在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2·BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40) 2＝1002＋x 2－100x ，解得x ＝420.

在△ACH 中，AC ＝420 m，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， CH AC 由正弦定理：＝，

sin ∠CAH sin ∠AHC AC ·sin ∠CAH

可得CH ＝6(m)．

sin ∠AHC 即该仪器的垂直弹射高度CH 为1406 m.

21．(12分) 在△ABC 中，BC ＝6，点D 在BC 边上，且(2AC －AB )cos A ＝BC cos C . (1)求角A 的大小；

(2)若AD 为△ABC 的中线，且AC ＝23，求AD 的长；

(3)若AD 为△ABC 的高，且AD ＝33，求证：△ABC 为等边三角形．

解：(1)由(2AC －AB )cos A ＝BC cos C 及正弦定理，有(2sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 1得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C ) ＝sin B ，所以cos A ＝.

2因为0°

BC AC AC sin A 1

(2)由正弦定理，得sin B ＝BC sin A sin B 2 因为A ＋B

(3)证明：·BC ＝·AC sin A ，且AD ＝33，BC ＝6，sin A ＝所以AB ·AC

222

＝36.

因为BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， 所以AB 2＋AC 2＝72，所以AB ＝AC ＝6＝BC ， 所以△ABC 为等边三角形．

22．(12分) 已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n ＋a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，1211b 2＋n ∈N *) ．

2b n ＋1b n b n ＋2

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

a 3

(2)数列{c n }满足c n ＝c 1＋c 2＋c 3＋„＋c n

b n 41

解：(1)由2S n ＋a n ＝1，得S n ＝(1－a n ) ．

2

1111

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－a n ) (1－a n －1) a n ＋a n －1，

2222a 1

即2a n ＝－a n ＋a n －1，∴＝由题意可知a n －1≠0) ．

a n －13111

∴{a n }S 1＝a 1＝(1－a 1) ，∴a 1＝，

32311⎫n －1⎛1⎫n

∴a n ＝⎛＝⎝3⎭.

3⎝3⎭由

b ＋＝1，2，

b 2b n ＋1n b n ＋2b 1⎧1⎫11

⎨⎬的公差⎫， 得d ＝－＝1⎛d 为等差数列⎝⎭b 2b 1⎩b n ⎭

11

∴b ＝n ，∴b n ＝n n

1⎫n a (2)证明：c n ＝b n ⎛⎝3⎭，设T n ＝c 1＋c 2＋„＋c n ，则

n

1⎫11⎫2＋3×⎛13＋„＋n ×⎛1⎫n ， T n ＝1×⎛＋2×⎝3⎭3⎭⎝3⎝3⎭1⎫2113＋„＋(n －1) ×⎛1⎫n ＋n ×⎛1⎫n ＋1， T n ＝1×⎛＋2×⎝3⎭3⎝3⎭⎝3⎭3

1⎡⎛1⎫n ⎤

1－⎝3⎭⎦⎣31121⎛1⎫2＋⎫n －n ×⎛⎫n 1＝⎛1⎫n ＋1＝1－1由错位相减，得n ＝＋⎝3⎭＋„＋⎛－n ×⎝3⎭⎝3⎭⎝3⎭331221－31⎫n ⎛1⎫n ＋1， ×⎛－n ×⎝3⎭⎝3⎭

331n 1⎛1n ＝3－2n ＋3×13所以T n ＝－×⎛－n ×⎝3444⎝32434