初中及高中数学竞赛试题及答案

数学竞赛训练题三

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．已知数列{an }满足3a n+1+an =4(n≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|Sn -n-6|

1

125

的最小整数n 是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

2．设O 是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式

111

（ ） ++

PQ PR PS

B ．有最小值而无最大值

D ．是一个与面QPS 无关的常数

2005

A ．有最大值而无最小值 C ．既有最大值又有最小值，两者不等

3．给定数列{xn }，x 1=1，且x n+1=

3x n +13-x n

，则

∑x

n =1

n

=（ ）

A ．1 B ．-1

C ．2+

D ．-2+

4．已知=(cos

22

π, sinπ), =-, =+，若△OAB 是以O 为直角顶点的等33

B ．

腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）

A ．1

1

2

C ．2 D ．

3 2

x 2y 2

5．过椭圆C ：，延长+=1上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足）

32

PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范

围为（ ）

A ．(0,

3] 3

B ．(

3, ] 32

C ．[

3

, 1) 3

D ．(

3, 1) 2

6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b≠1)，且log

b

C sin B ，都是方程A sin A

x=logb (4x-4)的根，则△ABC （ ）

A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．若log 4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________. 8．如果：（1）a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4} （2）a≠b, b≠c, c≠d, d≠a （3）a 是a, b, c, d中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________.

9．设n 是正整数，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k

元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于

10．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________. 11．我们注意到6!=8×9×10，试求能使n! 表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n 为__________. 12．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

三、解答题（每小题20分，共60分） 13．已知a, b, c∈R +，且满足

14．已知半径为1的定圆⊙P 的圆心P 到定直线l 的距离为2，Q 是l 上一动点，⊙Q 与⊙P 相外切，⊙Q 交l 于M 、N 两点，对于任意直径MN ，平面上恒有一定点A ，使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。

15．已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,

（1）当b>0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明：a≤2；

（2）当b>1时，证明：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2； （3）当0

kabc

≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k 的最小值。

a +b +c

、

数学竞赛训练题三答案

一、选择题

1．由递推式得：3(an+1-1)=-(an -1) ，则{an -1}是以8为首项，公比为-

1

的等比数列，3

1

8[1-(-) n ]

1113∴S n -n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an -1)==6-6×(-) n ，∴|Sn -n-6|=6×() n

1331251+3

3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。

2．设正三棱锥P-ABC 中，各侧棱两两夹角为α，PC 与面PAB 所成角为β，则V S-PQR =

111S △PQR ·h=(PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O 到各面的距离为d ，则332

V S-PQR =VO-PQR +VO-PRS +VO-PQS ,

1111d 1d 1d 1S △PQR ·d=S △PRS ·d+S △PRS ·d+S △PQS ·d=⋅PQ·PRsinα+⋅PS·PRsinα+⋅PQ·PS·3333323232

sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即故选D 。

111sin β

=常数。++=

PQ PR PS d

，令x =tanα，∴x =tan(α+π), ∴x =x, x=1，x =2+3, x=-2-3, 3．x n+1=n n n+1n n+6n 123

61-x n

3

x n +

2005

x 4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1，……，∴有

∑x

n =1

n

=x 1=1。故选A 。

⎧⎪(a +b )(a -b ) =0

4．设向量=(x, y)，则⎨，

⎪⎩|+|=|-|

⎧113

) ⋅(-x -, -y +=022⎪(x -, y +⎧31⎪⎪x +y =12222

即⎨，即⎨. ∴b =(, ) 或

22⎪⎪(x -1) 2+(y +) 2=(x +1) 2+(y -) 2⎩x =3y

⎪2222⎩

(-

311

, ) ，∴S △AOB =|a +b ||a -b |=1。 222

5．设P(x1, y1) ，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，

3(1+λ) -x ⎧HP -1⎪x 1=所以，所以由定比分点公式，可得：⎨，代入椭圆方程，得Q =λ

PQ 1+λ⎪⎩y 1=y 3λ2-22[x -3(1+λ)]2y 2

=-∈[, 1) 。故选点轨迹为，所以离心率e=+=122

323λ3λ23λ

C 。 6．由log

x=logb (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，

所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin 3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin 2A=二、填空题

11

，而sinA>0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。 42

⎧x +2y >0

⎧x >2|y |⎪

⇒⎨27．。⎨x -2y >0 2

⎪(x +2y )(x -2y ) =4⎩x -4y =4⎩

由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y 的最小值，令x-y=u，代入x 2-4y 2=4，有3y 2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y 的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。

8．46个。abcd 中恰有2个不同数字时，能组成C 4=6个不同的数。abcd 中恰有3个不同数字时，能组成C 3C 2C 2+C 2C 2=16个不同数。abcd 中恰有4个不同数字时，能组成A 4=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

9． 解考虑M 的n+2元子集P={n-l，n ，n+1，…，2n}．

P 中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3． 将M 的元配为n 对，B i =(i，2n+1-i)，1≤i≤n．

对M 的任一n+3元子集A ，必有三对B i 1, B i 2, B i 3同属于 A(i1、i 2、i 3两两不同) ．

又将M 的元配为n-1对，C i (i，2n-i) ，1≤i≤n-1．

对M 的任一n+3元子集A ，必有一对C i 4同属于A ，

这一对C i 4必与B i 1, B i 2, B i 3中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为

1

1

1

1

1

2

4

2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+3 10-121+1t +1t +1

, 。①若t 2-4>0，即t2，则由2>x(|x|≤1)恒成立，得2>1, 22t -4t -4

t+1>t2-4, t 2-t-5

1-211+211-211+21

，从而

2222

t 2-4=0，则t=2符合题意。③若t 2-4

t +1t +1

t+1>-t2+4; t2+t-3>0，解得：t

-1--1+-1+或t>，从而

t 的取值范围是：

-121+1

11．23．。

12．1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y 为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y ，f(y)>0，因此y ∈N *时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t ，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0， 即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0

相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。 三、解答题

13．解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2ab ) 2+(22ac +22bc ) 2=

(a +b ) 2+(a +b +4c ) 2

⋅(a +b +c ) 4ab+8ac+8bc+16c。所以

abc

22

1a b c ) ⋅(5) =100。 ≥8(52a 2b 2c 224

当a=b=2c>0时等号成立。故k 的最小值为100。

14．以l 为x 轴，点P 到l 的垂线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，设Q 的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q 的半径为r ，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x +2=1+r。所以

2

2

r +2r -3, ∴tan ∠MAN=

2

k AN -k AM 1+k AN ⋅k AM

o -r o -h

-

=

o -h o -h 1+⋅

x +r -h x -r -k

=

2rh 2rh 2rh

==

(x -k ) 2-r 2+h 2(±r 2+2r -3) 2-r 2-h 2h 2+k 2-3+2r 2k r 2+2r -3

，令

2m=h2+k2-3，tan ∠MAN=

2

1

，所以n

m+r k

r 2+2r -3=nhr，

∴m+(1-nh)r=±k r +2r -3，两边平方，得：m 2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r 2=k2r 2+2k2r-3k 2，因为

⎧m 2=-3k 2(1) ⎪2

对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以⎨2m (1-nh ) =2k (2) ，由（1）（2）式，得m=0, k=0，

⎪22(1-nh ) =k (3) ⎩

由（3）式，得n=

11

。由2m=h2+k2-3得h=±3，所以tan ∠MAN=。所以∠MAN=60°h n

或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。

a 2a 2a 2a

15．（1）证：依题设，对任意x ∈R ，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-) +，∴f()=≤1，

4b 2b 2b 4b

∵a>0, b>0, ∴a≤2b 。

（2）证：（必要性），对任意x ∈[0, 1]，|f(x)|≤1⇒-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，

∴a≥b-1。对任意x ∈[0, 1]，|f(x)|≤1⇒f(x)≤1，因为b>1，可推出f(

1)≤1。即1-≤1，

∴a≤2b ，所以b-1≤a≤2b 。

（充分性）：因b>1, a≥b-1，对任意x ∈[0, 1]，可以推出：ax-bx 2≥b(x-x 2)-x≥-x

≥-1，即：ax-bx 2≥-1；因为b>1，a≤2，对任意x ∈[0, 1]，可推出ax-bx 2≤2-bx 2≤1，即ax-bx 2≤1，∴-1≤f(x)≤1。

综上，当b>1时，对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b 。 （3）解：因为a>0, 0

f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1；

f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a-b≤1，即a≤b+1； a≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x-bx 2≤1，即f(x)≤1。

所以，当a>0, 0

数学竞赛训练题四答案

一、选择题

1．设函数f (x ) =x +6x +8, 如果f (bx +c ) =4x +16x +15, 那么c -2b 的值等于（ ）

A ．3 B ．7 C ．-3 D ．-7

解：取x =-2, 有f (c -2b ) =16-16⨯2+15=-1，而当x +6x +8=-1时有x =-3，所以c -2b =-3，故选C.

2．已知P 为四面体S-ABC 的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ）

2

2

2

A ．圆或椭圆 B ．椭圆或双曲线 C ．双曲线或抛物线 D ．抛物线或椭圆 解：把问题转化成动点P 到S 的距离与它到边BC 的距离比值问题，容易的出答案D 3．给定数列{xn }，x 1=1，且x n+1=

3x n +13-x n

2005

，则

∑x

n =1

n

=（ ）

A ，1 B ．-1

C ．2+

D ．-2+3

π，解：x n+1=令x n =tanαn ，∴x n+1=tan(αn +), ∴x n+6=xn , x1=1，x 2=2+, x3=-2-3, 61-x n

3

x n +

2005

x 4=-1, x5=-2+3, x6=2-3, x7=1，……，∴有

∑x

n =1

n

=x 1=1。故选A 。

11⎧x +, x ∈[0, ) ⎪224．已知f (x ) =⎨，定义f n (x ) =f (f n -1(x )), 其中f 1(x ) =f (x ) ，则

1⎪2(1-x ), x ∈[, 1]2⎩

1

f 2007() 等于（ ）

51342A ． B ． C ． D ．

5555

解

：

计

算

[1**********]117f 1() =, f 2() =, f 3() =, f 4() =, f 5() =, f 6() =, f 7() = [**************]10

11111

可知f n () 是最小正周期为６的函数。即得f n +6() =f n () ，所以f 2007() =f 3() ＝

55555

4

，故选C. 5

x 2y 2

5．已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F, 右准线为l , 一直线交双曲线两支于

a b

P 、Q 两点，交l 于R, 则 （ ）

A ．∠PFR >∠QFR B ． ∠PFR

解：分别做P P '⊥l , Q Q '⊥l , 垂足分别为P ', Q ', 由相似三角形的性质，得

PF QF PR PF PR QR

=e =, 则=. 故FR 平分=，又有双曲线的第二定义，得

P P 'Q Q 'RQ QF P P 'Q Q '

∠PFQ . 所以选C.

6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b≠1) ，且log

b

C sin B ，都是方程A sin A

x=logb (4x-4)的根，则△ABC （ ）

B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形

A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 C ．是等腰直角三角形

b

解：由log

x=logb (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因

A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin 3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A=

11

，而sinA>0，∴sinA=。因此42

A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。

二、填空题

7．若log 4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.

⎧x +2y >0

⎧x >2|y |⎪

⇒⎨2答案：。⎨x -2y >0 2

⎪(x +2y )(x -2y ) =4⎩x -4y =4⎩

由对称性只考虑y ≥0，因为x>0，∴只须求x-y 的最小值，令x-y=u，代入x 2-4y 2=4，有3y 2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y 的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3) ≥0。 8．如果：（1）a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4} （2）a ≠b, b≠c, c≠d, d≠a （3）a 是a, b, c, d中的最小数 那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________. 答案：46个。abcd 中恰有2个不同数字时，能组成C 4=6个不同的数。abcd 中恰有3个不同数字时，能组成C 3C 2C 2+C 2C 2=16个不同数。abcd 中恰有4个不同数字时，能组成A 4=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

9．设t =() +() +() , 则关于x 的方程(t -1)(t -2)(t -3) =0的所有实数解之和为

答案：4解：令

4

1

1

1

1

1

2

1

2

x

23

x

56

x

125345

f （x ) =() x +() x +() x , 变形为f (x ) =() x +() x +() x , 可

236666

以发现函数f (x ) 是R 上的减函数。又因为f (3) =1, f (1) =2, f (0) =3，从而关于x 的方程(t -1)(t -2)(t -3) =0的解分别为0、1、3，

10．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________. 答案：

-121+1t +1

, 。解：①若t 2-4>0，即t2，则由2>x(|x|≤1) 恒成立，22t -4

得

1-211+211-21t +122

t-4, t -t-s1

222t 2-4

2

1+21t +1

。②若t 2-4=0，则t=2符合题意。③若t 2-4

-1--1+t +122

，t+1>-t+4; t +t-3>0，解得：t，从而

22t 2-4

1) 恒成立，得

-1+-121+1

222

11．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 解

：

设

直

角

三

角

形

的

三

边

为

a,b,

a 2+b 2

, 则有

11

ab =a+b+a 2+b 2, ∴ab -a -b =a 2+b 2, 两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0,

22

∴(a-4)(b-4)=

8, a,b 都是正整数，∴a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个。

12．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

答案：1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y 为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y ，f(y)>0，因此y ∈N *时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t ，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

下面证明：当整数t ≤-4时，f(t)>0，因t ≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0， 即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0

相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t ≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。 三、解答题：

13．已知a, b, c∈R +，且满足

kabc

≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k 的最小值。

a +b +c

解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2ab ) 2+(22ac +22bc ) 2=

(a +b ) 2+(a +b +4c ) 2

⋅(a +b +c ) 4ab+8ac+8bc+16cab 。所以

abc

22

1a b c ) ⋅(5) =100。 ≥8(522242a b c 2

当a=b=2c>0时等号成立。故k 的最小值为100。

14．已知半径为1的定圆⊙P 的圆心P 到定直线l 的距离为2，Q 是l 上一动点，⊙Q 与⊙P 相外切，⊙Q 交l 于M 、N 两点，对于任意直径MN ，平面上恒有一定点A ，使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。

解：以l 为x 轴，点P 到l 的垂线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，设Q 的坐标为(x, 0)，点A(k, λ) ，⊙Q 的半径为r ，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x +2=1+r。所以x=

2

2

±r +2r -3, ∴tan ∠MAN=

2

k AN -k AM 1+k AN ⋅k AM

o -r o -h

-

=x +r -h x -r -h

o -h o -h 1+⋅

x +r -h x -r -k

=

2rh 2rh 2rh

==

(x -k ) 2-r 2+h 2(±r 2+2r -3) 2-r 2-h 2h 2+k 2-3+2r 2k r 2+2r -3

，令2m=h2+k2-3，tan ∠MAN=

2

1

，所以m+r k n

r 2+2r -3=nhr，∴

m+(1-nh)r=±k r +2r -3，两边平方，得：m 2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r 2=k2r 2+2k2r-3k 2，因为对

⎧m 2=-3k 2(1) ⎪2

于任意实数r ≥1，上式恒成立，所以⎨2m (1-nh ) =2k (2) ，由（1）（2）式，得m=0, k=0，

⎪22(1-nh ) =k (3) ⎩

11

由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan ∠MAN==h=±3。所以∠

h n

MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。

⎧a n +1, 当n 为偶数时，

⎪⎪2

15． 数列{a n }定义如下：a 1=1，且当n ≥2时，a n =⎨1

, 当n 为奇数时．⎪⎪⎩a n -1

已知a n =

30

，求正整数n ． 19

解 由题设易知，a n >0, n =1, 2, ．又由a 1=1，可得，当n 为偶数时，a n >1；当n (>1) 是奇数时，a n =

1

由a n =

301130n

>1，所以n 为偶数，于是a n =-1=

19191922

于是依次可得：

a n =

2-1

19n

>1， -1是偶数， 112

a n -2=

4

198n -2-1=

a n -2=

4-1

11n -6

>1，是偶数， 84

a n -6=8113n -6是奇数， -1=

8n -14是偶数， >1，38a n -6=

8-1

85n -14是偶数， a n -14=-1=>1，331616

a n -14=

3252n -14是奇数， -1=

a n -14=

32-13n -46>1，是偶数， 232a n -46=6431n -46-1=

a n -46=2>1，64-1n -110是偶数， 64

a n -110=2-1=1， 128

所以， n -110=1，解得，n ＝238． 128