无穷级数00

无穷级数

用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式，逼近比

较复杂的函数，最为简单的逼近途径就是通过加法，即通过加法运算来决定逼近 无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。可用无穷级数方法求和的包括：数项级数、函数项级数（又包括幂级数、傅氏级数；复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。

实用幂级数

记号编辑

若有一个无穷数列

此数列构成下列表达式

称以上表达式为无穷级数（infinite series），简称级数，记为

其中第 项

叫做级数的一般项或通项。 一般而言，我们有

定义编辑

如假定有一个无穷数列：

其前n 项的和为：

由此得出表示部分和的无穷数列：

其中

。

给定数列

：

不会是任意的，它被

唯一决定：

反之，任意设数列

代表某数列的各部分和，这样也唯一决定了原数列。 当n 无限增加时，若

的极限存在并等於s ，就称

是收敛的无穷级数，并记作

。如果极限不存在，这个数列就是发散的。若

的话，亦记作

。负无穷大的情况同理。 性质编辑

1. 级数收敛的一个必要条件是它的通项以0为极限。

2. 若有一个无穷级数 ：每一项乘以一个常数a ，则其和等于as 。即 3. 收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数： 和 ，则

4. 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其收敛性，如： 和 这两个级数的收敛性是一样的，但极限值不一定相等。

5.

收敛级数加括号后形成的新级数也收敛，并且其和就是原级数的和。（注：加括号后收敛的级数，原级数不一定收敛，比如 。若加括号后的级数发散，原级数必发散。）

6. 如果任意有限个无穷级数都是收敛的，那么它们任意的线性组合也必定是收敛的。注意对于都是发散的级数，则不存在类似的结论。

无穷级数 幂级数编辑

一个任意项级数，如果由它的各项的绝对值所得到的级数收敛，则原来的级数也收敛，如果发散，则原来的级数不一定也发散，如果反而是收敛，则称这种级数为条件收敛的。实际上，条件收敛的级数，可以通过变换级数各项的顺序而使得这个级数收敛于任意实数，也能发散至无穷大。 收敛半径和收敛区间

级数的每一项也可以是函数，这种级数称为函数项级数。

这里我们讨论一种特定的函数项级数，即由如下形式的幂函数组成的级数，称为幂级数。

也可以直接写成。幂级数的敛散性具有很好的特征，即所谓阿贝尔定理：如果幂级数在点x=k处收敛，那么它在区间内的每一点处都绝对收敛；反之，如果幂级数在点x=k 处发散，那么对于不属于的所有x 都发散。上面的定理使得幂函数的收敛域只能是一个开区间，称为幂级数的收敛区间。收敛区间的长度的一半称为收敛半径。应用对于正项级数的比值判别法和根值判别法的极限形式，可以求出幂级数的收敛半径。 设对于幂级数

的系数，有

，其中

为有限数值或者是无穷大。进一步使

，利用根值审敛法，就有如下结果： ⑴ 如果

，则在

时，幂级数绝对收敛，而

时，幂级数发散。因此，此时幂级数的收敛半径为 。

⑵ 如果

，则对于任意的x ，幂级数都是绝对收敛的。因为此时

，小于1

无穷级数

。这时可以认为幂级数的收敛半径为无穷大。 ⑶ 如果

为无穷大，则幂级数只在x=0处收敛，而取任意非零的数值时，级数都是发散的，因此可以认为幂级数的收敛半径为0。 对於形如

的幂级数，类似地，也可以根据根值判别法的极限形式，得到相同的结论。求出幂级数的收敛半径以后，

无穷级数

即可得到相应的收敛区间和收敛区域。 幂级数的微分、积分、连续性

对于一个幂级数，如果它的收敛半径大于0，那么在它的收敛区域内，就得到了一个确定的以

无穷级数

这个收敛区域为定义域的函数，为这个幂级数的和函数，自然，对于这个和函数也应该能够应用微积分的方法加以研究。 首先是对和函数的求导： 如果幂级数

的收敛半径r 大于0，则它的和函数S （x ）在(-r，r) 上必定可积，并且导函

无穷级数 数为

。和函数的可微区间是开区间，因为即使和函数在这个区间的端点可能有定义，这个定理也不能保证和函数在端点处具有可微性。

和函数还具有连续性：如果幂级数的收敛半径r 大于0，则它的和函数S （x ）在其定义域上连

无穷级数

续。对于连续性，定理强调的是在它的定义域上，也就是包括有定义的端点。连续性也就意味着可以对幂级数逐项求极限。 展开式编辑 幂级数 泰勒公式：

无穷级数 实用幂级数

无穷级数

无穷级数

傅立叶级数编辑 三角级数

（傅立叶级数、三角级数）

无穷级数

无穷级数

洛朗级数

洛朗级数（Laurent series）复变函数内解析函数的洛朗展开。

泰勒级数是洛朗级数的特殊形式。 发散性质编辑

首先我们只是考虑级数的敛散性的问题，也就是存在性问题，而不是

无穷级数

如何求极限的问题。关于无穷级数的敛散性，有如下的基本性质：

1．任意改变一个级数的任意有限个项的值，都不影响这个级数的敛散性。 原因很显然，只要对一个级数所作的改变是有限的，就不能使得这个级数，由趋向于无穷而变得趋向于有限，也不能使得这个级数由趋向于有限而变得趋向于无穷，或者是由根本不存在任何极限，而变得出现极限。 判别法编辑

正项级数及其敛散性

如果一个无穷级数的每一项都大于或等于0，则这个级数就是所谓的正项级数。 正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的： 正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。

有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。 比较

比较审敛法： ⑴一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都小于或等于一个已知收敛的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定收敛。

⑵反之，一个正项级数，如果从某个有限的项以后，所有的项都大于或等于一个已知发散的级数的相应项，那么这个正项级数也肯定发散。

如果说逐项的比较还有些麻烦的话，可以采用如下的极限形式：对于正项级数 和 ，如果 ，即它们的通项的比趋向于一个非0的有限值，那么这两个级数具有相同的敛散性。 积分

对于正项级数如果存在一个单调下降连续函数f （x ），有

，那么级数

与广义积分

具有相同的敛散性。 比值

达朗贝尔判别法：设正项级数从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且如果有

，a 是某个实数，那么这个级数收敛。反之，如果从一个确定的项以后，每一项都严格大于0，并且有

，则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：若

，则级数发散；若

，则级数收敛。如果

，则本判别法无法进行判断。 根值

根值审敛法：对于正项级数，如果从某一个确定的项开始，都有

，则级数收敛，反之，如果从任何给定的项之后，都存在一项满足

，则级数发散。同样这种比较也可以采用极限形式：设正项级数从一个确定的项以后，

，则级数绝对收敛。若

，则级数发散。若非以上两者，则本判别法无法进行判断。 绝对收敛

实际上针对正项级数的敛散性判别法的有效范围还可以扩大，也就是说，还可以用于判断更多的级数是收敛的。这是通过引入绝对收敛的概念而得到的。 如果我们把一个任意项的级数的每一项都取绝对值，那么就得到了一个正项级数，如果这个正项级数是收敛的，那么这个任意项级数就被称为是绝对收敛的。

给出绝对收敛这么一类任意项级数的好处，就在于： 一个级数如果是绝对收敛的，那么也就一定是收敛的。

绝对收敛级数不仅具有可以应用针对正项级数的敛散性的判别法的特性，还具有如下的性质：

如果把任意项级数的所有正项都保持不变，而所有负项都更换为0，那么就得到一个正项级数 ；如果把它的所有负项都改变符号，而正项都更换为0，则得到另一个正项级数 ，然后就得到一个任意项级数的绝对收敛的充要条件，为正项级数与都收敛。从这个性质能够得到一个推论，即：如果任意项级数绝对收敛，就有。

作为加法交换律的一个推广，对于正项级数，如果任意改变它的各项的相加顺序，不会改变它的敛散性，同样，对于绝对收敛级数也有这样的性质。 不只是对于加法的交换律，对于绝对收敛级数的乘积也有性质： 如果两个任意项级数都绝对收敛，那么它们的各项的乘积，按照任意方法排列而得到的级数同样绝对收敛，并且和为两个任意项级数的和的乘积。 交错级数

考虑一种特别的级数形式，即相邻两项的符号相反，称为交错级数。交错级数具有一个简单的性质： 如果

为一个单调递减数列，并且以0为极限，那么通过改变这个数列相邻两项的符号而构造的两个交错级数都收敛。 这种级数称为莱布尼兹级数。 词条图册更多图册 ◆

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