空间直角坐标系与空间两点的距离公式

空间直角坐标系与空间两点的距离公式

空间直角坐标系

为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z 表示.

轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点.

如何理解空间直角坐标系？

1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；

2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；

3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；

4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.

空间点的坐标

1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；

2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；

3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；

这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.

已知数组(x，y，z)，如何作出该点？

对于任意三个实数的有序数组(x，y，z)：

（1）在坐标轴上分别作出点Px，Py，Pz，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z；

（2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，这三个平面的交点就是所求的点.

空间点的坐标

1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；

2．坐标平面上点的坐标的特征：

xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数

yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其

中y、z为任意实数；

xOz平面（通过x 轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；

3．坐标轴上点的特征：

x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；

y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；

z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。

卦限

在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；

在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；

在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；

八个卦限中点的坐标符号分别为：

I：（ + ，+ ，+ ）；II：（ － ，+ ，+ ）；III：（ － ，－ ，+ ）； IV：（ + ，－ ，+ ）；V：（ + ，+ ，－ ）；VI：（ － ，+ ，－ ）； VII：（ － ，－ ，－ ）；VIII：（ + ，－ ，－ ）；

空间两点间的距离公式

空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) 的距离公式

是d(A,B)=，

特别地，点A(x，y，z)

到原点的距离公式为d(O,A)=.

题型1．确定空间任一点的坐标

例1．正方体的棱长为2，求各顶点的坐标.

解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下A(0，0，0)，

B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，

0，2)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，

题型2．空间中点的对称问题

例2．在空间直角坐标系中，写出点P(x，y，z)的对称点

的坐标

（1）关于x轴的对称点是P1

（2）关于y轴的对称点是P2

（3）关于z轴的对称点是P3

（4）关于原点的对称点是P4

（5）关于xOy坐标平面的对称点是P5

（6）关于yOz坐标平面的对称点是P6

（7）关于xOz坐标平面的对称点是P7

解：（1）P1(x，－y，－z)；（2）P2(－x，y，－z)；（3）P3(－x，－y，z)；

（4）P4(－x，－y，－z)；（5）P5(x，y，－z)；（6）P6(－x，y，z)；

（7）P7(x，－y，z)；

题型3．求两点间的距离

到原点的距离是 2 （A

（B）1 （C

（D

134123（2） A(,,),B(-,,)两点间的距离是3456310

【研析】（1）点P

到原点的距离是|OP|==1，选B. （2

）由两点间的距离公式得|AB|==.

1．有下列叙述：

①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是（0，b，0）；

②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可以写成（0，b，c）； ③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为（0，0，c）；

④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标可写为（a，0，c）.

其中正确的叙述的个数是（ C ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是（ B ）

7114 （A）(,1,-2) （B）(,2,3) （C）(－12，3，5) （D）(,,2) 2233

3．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于（ B ）

（A

（B

（C

） （D

4．到定点(1，0，0)的距离小于或等于1的点的集合是（ A ）

（A）{(x，y，z)| (x－1)2+y2+z2≤1} （B）{(x，y，z)| (x－1)2+y2+z2=1}

（C）{(x，y，z)| x2+y2+z2≤2} （D）{(x，y，z)| x2+y2+z2≤1}

5．Rt△ABC中，∠BAC=90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x6．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离相等，则x、y、z满足的例3．（1）点

P

关系式是 . (2x+2y－2z－3=0)

7．证明：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的△ABC是等腰三角形

例4． 已知长方体ABCD－A1B1C1D2的边长为AB=14，AD=6，AA1=10，

（1）以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；

（2）以C点为原点，以射线BC、CD、CC1的方向分别为Ox、Oy、Oz轴的正方向，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；

【探究】根据题目要求画出图形，建立空间直角坐标系后写

出各顶点的坐标。

解：（1）如图1，A(0，0，0)，B(14，0，0)，C(14，6，0)，

D(0，6，0)，A1(0，0，10)，B1(14，0，10)，C1(14，6，10)，

D1(0，6，10)，

（2）如图2，A(－6，14，0)，B(－6，0，0)，C(0，0，0)，

D(0，14，0)，A1(－6，14，10)，B1(－6，0，10)，C1(0，0，10)，

D1(0，14，10)，

例5．在坐标平面xOy上求一点P，使点P到A(3，1，5)与B(3，

5，2)的距离相等’

解：设P(x，y，0)，∵ |PA|=|PB|，

∴ (x－3)2+(y－1)2+25=(x－3)2+(y－5)2+4 ，整理得，－2y+26=－10y+29，

33∴ 8y=3，即y=, ∴点P的坐标为(x，，0). 88

例6．如图，在空间直角坐标系中，BC=4，原点O是BC

1的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在平面yOz上，22

且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（1）求AD的长度；

（2）求∠DAC的余弦值的大小’

解：（1）由题意得B(0，－2，0)，C(0，2，0)，设D(0，

y，z)，∵ 在Rt△BDC中，∠DCB=30°，

∴ BD=2，CD=23， ∴ (y+2)2+z2=4，(y－2)2+z2=12，

∴ y=－1，z=3，∴ D(0，－1，)，|AD

（2） 在△ACD中，由（1）知AD=，又AC

=CD=2，

=

∴ cos∠DAC

，即∠DAC

的余弦值等于-。 =4