2010-2011概率论与随机过程考试试题标准答案A
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西安邮电学院 2010---- 2011 学年第二学期试题（A 卷） 标准答案
课程：概率论与随机过程 类型： A
题号 得分 一 二 三 四
⎧6, x 2
…… …… 2 分 …… …… 2 分
f x ( x) = ∫
八 九 总分
+∞
−∞
f ( x, y )dy
卷
五
专业、年级：通信工程 09 级,信息工程 09 级
六 七
⎧ x 6dy = 6( x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 1 ⎪ = ⎨ ∫x2 ⎪ 0 其它 ⎩
f y ( y) = ∫
+∞ −∞
线
线
…… …… 3 分 …… …… 2 分 …… ……3 分
f ( x, y )dx
一、填空题（每小题 3 分，共 30 分）
⎧ 1 1 15 20 1、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 、FZ ( z ) = ⎨ 2 3 4 5 ；6、29； 、Φ (2.5) + Φ (1.5) − 1 ； 7 −z −z 12 3 26 27 ⎩1 − e − ze , z > 0. 0 ,
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z ≤ 0,
⎧ y 6dx = 6( y − y ), 0 ≤ y ≤ 1 ⎪ = ⎨ ∫y ⎪ 0 其它 ⎩
4、解(1)
x ⎧1 − e −2 ( x −θ ) , x > θ , F ( x) = ∫ f (t )dt = ⎨ −∞ x ≤ θ. 0, ⎩
11 2 1 8、 2 ；9、 ；10、 { , } 24 3 3 λ 二、计算题（共 48 分）
（1）由于 F ( x) 的连续性，有 lim F ( x ) = F (1) = 1, 故 A = 1 ；…… ……3 分 1、解：
x →1
1
…… ……4 分 , X n ) ≤ x}
(2)
Fθˆ ( x) = P{θˆ ≤ x} = P{min( X 1 , X 2 ,
= 1 − P{min( X 1 , X 2 ,
（2）由概率密度函数与分布函数的关系可知
⎧2 x , f ( x) = ⎨ ⎩0,
0 ≤ x ≤ 1,
, X n ) > x} , X n > x}
其它.
2 2
…… ……3 分
订
订
= 1 − P{ X 1 > x, X 2 > x, = 1 − [1 − F ( x)] =⎨
n
（3） P {0.1
2、解： X 的所有可能取值为 1，2，3，4
1 1 3 C 3 × 2 2 + C 32 C 2 + C 3 19 33 37 P{X = 1} = 1 − P{X ≠ 1} = 1 − 3 = ， P{X = 2} = = 64 64 4 43
⎧1 − e −2 n ( x −θ ) , x > θ , x ≤ θ. 0, ⎩
…… ……5 分
P{X = 3} =
C +C +C 7 = 64 ， 4
1 3 2 3 3 3 3
ˆ (3) θ 概率密度为
P{X = 4} =
1 1 = 3 64 4
fθˆ ( x) =
dFθˆ ( x) dx
即有 X 的分布律为
⎧2ne −2 n ( x −θ ) , x > θ , =⎨ x ≤ θ. 0, ⎩
⎛ 1 X ~ ⎜ 37 ⎜ ⎜ ⎝ 64
E ( X ) = ∑ i × P( X = i) =
i =1 4
2 19 64
3 7 64
4 ⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 64 ⎠
…… …… 8 分
+∞ +∞ 1 Eθˆ = ∫ xfθˆ ( x)dx = ∫ 2nxe − 2 n ( x −θ ) dx = θ + ，…… ……5 分 −∞ θ 2n
装
装
25 16
…… ……4 分
说明：1．标准答案务必要正确无误。
2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。
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三、证明题（共 22 分）
n n 2 2 1、证明：令 Yn = ∑ kX k ，则 EYn = n(n + 1) ∑ ka = a. …… …… 2 分 n(n + 1) k =1 k =1
4 DYn = 2 n (n + 1) 2
线 线
4σ 2 ∑ k σ = (n + 1)2 k =1
n 2 2
4σ 2 ⎛k⎞ ∑ ⎜ n ⎟ ≤ n + 1 → 0 …… ……3 分 ⎠ k =1 ⎝
n 2
对任意的
ε >0， P Yn − a > ε ≤ 因此
Yn → a .
p
(
)
DYn
ε2
→0
…… ……3 分
2、证明： （1）对任意的 n 及 t1 , t2 ,
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, tn ≥ 0 ，有：
sin ωt1 ⎤ sin ωt2 ⎥ ⎡ A⎤ ⎥ ⎥ ⎢B⎥ ⎣ ⎦ ⎥ sin ωtn ⎥ ⎦
⎡ X (t1 ) ⎤ ⎡ cos ωt1 ⎢ X (t ) ⎥ ⎢ cos ωt 2 ⎥ 2 ⎢ =⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ X (tn ) ⎥ ⎢cos ωtn ⎣ ⎦ ⎣
订
订
由于 A, B 为相互独立的正态随机变量，故 ( A, B) 为服从 N (0, σ 2 E ) 的二维正态随机变量，而
( X (t1 ), X (t2 ),
, X (tn )) 是二维正态随机变量 ( A, B) 的线性变换，故服从 n 维正态分布，从而
…… ……7 分
{Z (t ),−∞
（2） mX (t ) = E[ X (t )] = 0, t ≥ 0
RX (t , t + τ ) = E[ X (t ) X (t + τ )] = E[( A cos ωt + B sin ωt )( A cos ω (t + τ ) + B sin ω (t + τ ))] = σ 2 cos ωτ
所以此过程是平稳过程
装 装
…… ……7 分
说明：1．标准答案务必要正确无误。
2．将每道大题得分和总分填入得分栏中。