高中数学必修二_知识点总结
高中数学必修2
第一章 立体几何初步
'
特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,h 为斜高,l 为母线)
S 直棱柱侧面积=ch
S 正棱锥侧面积=
1
ch ' 2
S 正棱台侧面积=
1
(c 1+c 2) h ' 2
S 圆柱侧=2πrh
S 圆柱表=2πr (r +l )
S 圆锥侧面积=πrl S 圆锥表=πr (r +l )
S 圆台侧面积=(r +R ) πl S 圆台表=πr 2+rl +Rl +R 2
()
柱体、锥体、台体的体积公式
V 柱=Sh
1V 锥=Sh
3
1
V 台=(S ' S ) h
3
V 圆柱=Sh =πr 2h
1
V 圆锥=πr 2h
3
11
V 圆台=(S ' S ) h =π(r 2+rR +R 2) h
33
(4)球体的表面积和体积公式:V 球=4πR 3
3
; S 球面=4πR 2
第二章 直线与平面的位置关系
2.1
1 2 三个公理:
(1符号表示为
A ∈L
A
B ∈
α L A ∈α
B ∈α
(2
A B
· C · 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α,
·
使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线
a ∥b =>a∥c c ∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 3 4 注意点:
① a'与b' 所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0,;
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质
简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:
a α
b β
∥α
a ∥b
符号表示:
a β b β
a ∩β∥α a ∥α b ∥α
2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理;
(3简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:
a ∥α
a β∥b α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
符号表示:
α∥β
α∩γ
∥b β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L 与平面α互相垂直,记作L ⊥α,直线L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L 的垂面。如图,直线与平面垂直时, 它们唯一公共点P 叫做垂足。
2
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭β
B
α
2α-l-β或α-AB-β
3
1
(1)直线的倾斜角
定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x 轴平行
或重合时, 我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是
(2)直线的斜率
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k =tan α 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当α∈0 , 90 时,k ≥0; 当α∈90 , 180 时,k
[)
()
②过两点的直线的斜率公式:k =
y 2-y 1
(x 1≠x 2) ( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)
x 2-x 1
注意下面四点:(1)当x 1=x 2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k 与P 1、P 2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
1
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x 1,所以它的方程是x =x 1。
(7)两条直线的交点
l 1:A 1x +B 1y +C 1=0 l 2:A 2x +B 2y +C 2=0相交
A 1x +B 1y +C 1=0
交点坐标即方程组⎧的一组解。 ⎨
⎩A 2x +B 2y +C 2=0
方程组无解
⇔l //l ; 方程组有无数解⇔l 1与l 2重合
x 2, y 2)(8是平面直角坐标系中的两个点,
(9一点P (x 0, y 0)到直线l 1:Ax +By +C =0
(10已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1:Ax +By +C 1=0,
l 2:Ax +By +C 2=0,则l 1与l
2
第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的
半径。
2(1
点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系: 当(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r ,点在圆外 当(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r ,点在圆上 当(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
(2
D E ⎫,半径为r =1D 2+E 2-4F 当D +E -4F >0时,方程表示圆,此时圆心为⎛
-, -⎪
⎝
2
2⎭
222
2
+E 2-4F =0时,表示一个点; 22
当D +E -4F
当D
(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出a ,b ,r ;若利用一般方程,需要求出D ,E ,F ;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线l :Ax +By +C =0,圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2,圆心C (a , b )到l 的距离
2
:①k 不存在,验证是否成立②k k ,得到方程【一定两解】
(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y 0) ,则过此点的切线方程
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。 设圆C 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 2,C 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=R 2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d )之间的大小比较来确定。
当d =R -
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点