1高考数列压轴题汇总
高考数列压轴题
1、已知函数f (x ) =log 3(ax +b ) 的图象经过点A (2, 1) 和B (5, 2) ,记a n =3f (n ) , n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =
a n
, T n =b 1+b 2+ +b n ,若T n
(3)求使不等式(1+1)(1+1) (1+1) ≥p 2n +1对一切n ∈N *均成立的最大实数p .
a 1a 2a n
2、设数列{a n }的前n 项和为S n ,对一切n ∈N ,点⎛n , S n ⎫都在函数f (x ) =x +
⎪
*
⎝
n ⎭
a n
的图象上. 2x
(Ⅰ)求a 1, a 2, a 3的值,猜想a n 的表达式,并用数学归纳法证明;
(Ⅱ)将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a 1),(a 2,a 3),(a 4,a 5,
a 6),(a 7,a 8,a 9,a 10);(a 11),(a 12,a 13),(a 14,a 15,a 16),(a 17,a 18,a 19,a 20);(a 21),…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺
序构成的数列为{b n },求b 5+b 100的值;
⎧⎫
(Ⅲ)设A n 为数列⎨a n -1⎬的前n 项积,是否存在实数a
,使得不等式A f (a ) -a n +3
2a ⎩a n ⎭
对一切n ∈N 都成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由
*
3、已知点列A n (x n , 0)满足:A 0A n ∙A 1A n +1=a -1,其中n ∈N ,又已知x 0=-1,
x 1=1,a >1.
(1)若x n +1=f (x n )n ∈N *,求f (x )的表达式; (2)已知点B
()
a ,0),记a
n
=BA n (n ∈N *),且a n +1
-1 。
2-a
(3)设(2)中的数列{a n }的前n 项和为S n ,试求:S n
4、已知f (x ) 在(-1,1) 上有定义,f (1) =1且满足x , y ∈(-1,1) 时有f (x ) -f (y ) =f (x -y ),
2
1-xy
若数列{x n }满足 x 1=
2x n 1
。 , x n +1=
21+x n 2
(1)求f (0)的值,并证明f (x ) 在(-1,1) 上为奇函数; (2)探索f (x n +1) 与f (x n ) 的关系式,并求f (x n ) 的表达式; (3)是否存在自然数m ,使得对于任意的n ∈N *,有
1111m -8恒成立?若存在,求出m 的最小值,若不存在,
+++ +
请说明理由。
5、数列{a n }满足a 1=, a n +1=
12
1
. 2-a n
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;
(Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ,证明S n
2
6、已知二次函数f (x ) =x -ax +a (x ∈R ) 同时满足:①不等式f (x ) ≤0的解集有且只有
n +2
) . 2
一个元素;②在定义域内存在0f (x 2) 成立,设数列{a n }的前
n 项和S n =f (n ) .
(1)求函数f (x ) 的表达式;
(2) 设各项均不为0的数列{b n }中,所有满足b i ⋅b i +1
a *
(n ∈N ), 求数列{b n }的变号数; a n
(3)设数列{c n }满足:c n =求出该项,若不存在,说明理由.
1
,试探究数列{c n }是否存在最小项?若存在,∑a ⋅a i =1i i +1
n
7、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n = (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设b n =
a
(a n -1) (a 为常数,且a ≠0, a ≠1). a -1
2S n
+1,若数列{b n }为等比数列,求a 的值; a n
11
,数列{c n }的前n 项和为T n . +
1+a n 1-a n +1
(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设c n =
1
求证:T n >2n -.
3
8、已知f (x ) =-4+
11
数列的前n 项和为,点{a }S P (a , -) 在曲线y =f (x ) 上n n n n
a n +1x 2
(n ∈N *) 且a 1=1, a n >0.
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)数列{b n }的前n 项和为且T n 满足
T n +1T n
设定b 1的值使得数列{b n }=+16n 2-8n -3,22
a n a n +1
是等差数列;
1
(3)求证:S n >4n +1-1, n ∈N *.
2
9、已知函数f (x ) 的定义域为[0, 1],且同时满足:对任意x ∈[0, 1],总有f (x ) ≥2,
f (1) =3; 若x 1≥0,x 2≥0且x 1+x 2≤1,则有f (x 1+x 2) ≥f (x 1) +f (x 2) -2. (1)求f (0) 的值;
(2)试求f (x ) 的最大值;
1
n ∈N *, (3)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=1, S n =-(a n -3)
2
求证:f (a 1) +f (a 2) + +f (a n ) ≤
10、已知函数y =1-
31
. +2n -
22⨯3n -1
1
的图象按向量m =(2,1)平移后便得到函数f (x ) 的图象,数列{a n }满x +2
*
足a n =f (a n -1) (n≥2,n ∈N ). (Ⅰ)若a 1=
13
,数列{b n }满足b n =,求证:数列{b n }是等差数列;
a n -15
(Ⅱ)若a 1=
3
,数列{a n }中是否存在最大项与最小项,若存在,求出最大项与最小项,若5
不存在,说明理由;
(Ⅲ)若1
32
11、设数列{a n }满足:a 1=1,且当n ∈N 时,a n +a n (1-a n +1) +1=a n +1
*
(1) 比较a n 与a n +1的大小,并证明你的结论;
2*
(2) 若b =(1-a n ) 1,其中n ∈N ,证明:0
n 2
a n +1a n
∑b
k =1
n
k
12、已知函数f (x ) =
ax +b
是定义在R 上的奇函数,且当x =1时f (x ) 取最大值1. x 2+c
(1)求出a , b , c 的值并写出f (x ) 的解析式;
(2)若x 1∈(0,1) ,x n+1=f (x n ) ,试比较x n+1与x n 的大小并加以证明; (3)若x 1=
222
1
, x n +1=f (x n ) ,求证(x 1-x 2) +(x 2-x 3) + +(x n -x n +1)