浅析高等数学不等式的证明
第22卷第3期
V01.22
阿坝师范高等专科学校学报
JOURNALOFABATEACHERSCOLLEGE
2005年9月
Sep.2005
No.3
浅析高等数学不等式的证明
亓玖东,韩登利
(莱芜职业技术学院,山东莱芜271100)
【摘要】在高等数学范畴中,灵活运用函数的单调性、极值、最值、凸性函数、以及中值定理与泰勒公式、赫尔德不等式、施瓦
兹不等式等数学知识,对不等式问题进行分析、构造与转化,是解决不等式的证明问题的常用方法。
【关键词】不等式;高等数学;证题方法【中图分类号】013
【文献标识码】A
【文章编号】1008---4142(2005)03—0039—03
OntheProofofInequationinHigher
QIJiu-dong,HANDeng-li
Mathematics
(LaiwuOccupationalTechnologyInstitute。LaiwuShandong271100。China)
【Abstract】In
use
the
highermathematicscategory,routinemethodstoworkouttheproofof
like
all
inequation
area
flexible
G。mathematicalknowledge
function,medium
value
monotonicityoffunctions,extremumvalues,maximumandmininAunlvalues,
convexity
theorem,TaylorEquation,HolderInequation,SchwarzInequation,andthe
as
analysis,
formationandtransformationofinequationproblems
well.
to
【Keywords】inequation;highermathematics;methods
workout
an
inequation
不等式在数学中占有重要地位。由于其本身的完美性及证明的困难性.使不等式成为各类考试中的热门试题,证明不等式的途径是对原不等式作代数变形.在初等数学中常用的方法大致有放缩法、代换法、归纳法、反证法等。高等数学不等式的证明问题,在历届考研试题中多有体现,其证明方法灵活多样,现选取部分有代表性的考题。针对不同题目特点总结几种高等数学范围内常见的证明方法。举例说明如下:
注由上例可以看出,在证明这样一类不等式时。先是将原不等式移项,使一端变为0,再构造辅助函数F(x),证明F(x)在相应的区间内的最大值或最小值为零,从而移项便得所证。
2、利用曲线的凹凸性证明
若函数y----f(x)表示的曲线在【a,b]t-是向上凸的,且f(a)=f(b),那么对任意x∈a,b)有f(x)>“a),对任意XE(a,b)有f(x)≥f(a);若函数y=“x)表示的曲线在[a,b】上是向上
1、利用函数单调性证明
若函数y=f(x)在a,bj上单调增加,则f(a)≤f(x)≤炳);
若函数y=f(x)在In,b】上单调减少,则f(b)≤f(x)≤f(a)。
例1.试证:当x>0时,(x2-1)lnx≥(x一1)2
凹的,且“a)=邸),那么对任意X∈(a,b)有f(x)<ffa),对任
意X∈(a'b)有f(x)sf(a)。
例2.试证当0<x<1T时,有siniX>x叮rZ
证明:
证明:构造辅助函数F(x)=lnx一茎牛
X十l
因为F,(x)-}一型措产=i兰≯o(po)
所以F’(x)在(0,+∞)内单调增加,而F(1)=0当0<x<l时,F(x)<0当x>l时,F(x)>0
于是(X2-1)F(X)----(X2-1)1nx一(x-1)2-->0X∈(0,+00)即有x>0时,(X2-I)1nx芝(x—1)2得证【收稿日期】2005—05—30
令f(x)=sin丁X—iX,(0<)【<呐有f’(x)=丁l
c。s丁X一},(x)一}sin争<o,(o<x<呐
则函数f(x)对应曲线在(0,zr)内向上凸
由于f(0)趔呐=0,
【作者简介】亓玖东(1963一),男,山东莱芜人,莱芫职业技术学院副教授,研究方向:代数学:
韩登利(1972一),男,山东莱芜人,莱芜职业技术学院讲师,研究方向:应用数学.
阿坝师范高等专科学校学报
2005年
所以・o<x锕时,“x)>o,即8in争>}原式得证・
不妨再来看一个复杂一点儿的例子。
例3.设函数y--f(x)在【a,bit"具有二阶导数且f,(x)>0
例5.05xs
1,p>l,试证击≤xP+(1一x)ps
I.
证明:令f(x)--xn+(1一x)P
贝Ⅱf,(x)=pxP-1+p(1一x)P-1・(一1)=p【xP.1一(1—x)PEl】
试证,f(旦笋)s亡ifbf(x)d)【s}【“a)+㈣】。
证明:由f,(x)>0,x∈(a,b)知,y=f(x)表示的曲线在R
b】上是向上凹的,即曲线的切线在曲线下方,在点
f,(x)=p∞一1)x啤p(p一1)(x—x)一
令f,(x)=o,得x=导
(专L’f(旦争))处的切线方程为:y=f(a+b一)w(丁a+b)(x-孚)
因此有f(x)≥f(丁a+b)+f,(曼争)(x一旦争)两边积分
得
Op>l,㈩=2p(p-1)㈡哆o.・.f∞在x=}处取极小值,f(})-寺
of(o)--f(1)=1
.・.f(x)在[o,1]上最小值为旨,最大值为1
故有百l_s“x)≤1
osxs
胁№≥州学H孚)(x_孚肛
对(旦争卜a)
1,p>l,击5xp+(1一x)ps
1
成立.
注:如果不等式的一端为数而另一端为函数,或者两端为数中间为函数。对此证明不等式便成为直接求这函数的在相应区间上的最大或最小值。
r(旦争)<b'---:』.b删x
设点,A(a,“a)),B(b皿b)),弦AB位于曲线上方
所以,f∞≤“a)+掣(x—a)
于是
4、利用中值定理及泰勒公式证明
中值定理特别是拉格朗日中值定理在不等式的证明中有着重要作用,通过对不等式的结构分析,构造某特定区间上的函数,满足定理的条件,达到证明目的。
例6.求证:n(a—b)b“<an_bn<n(a-b)a“-1(a>b,nEN)证明:原式变形为nb¨<(an-bn),(a—b)<na"-1
考虑中间的式子,是拉格朗日公式的形式,构造函数
f:f(x)dx<』:[f(a)+警掣(x_a)排
:且嵝呲(b—a)
击麒学灿x≤争【f(a)f(b)】
D—a
J
o
(2)
“x)=xn【a,b]C(一∞,+∞)上皆连续可导,且f,(x)=nx“由拉格朗日中值定理
由(1)(2)知fs÷一If(x)dxs}【f(a)肭)】成立.
Z
Ta"-b":n善.n-1其中:J<善<a
nb”1<n善-卜1<ha-卜1即
故
3、利用函数的最值证明
若函数y=f(x)在【a,b]连续,根据最值定理知,函数必在该闭区间上取得最大值和最小值。当函数取得最小值时,对任意的x∈a,b】有f(x)-->m,当函数取得最大值M时,对任意的x∈【a,b】有fix)--<M
nb一<(an-bn),(a-b)<na“
于是n(a—b)b”1<an—b"<n(a-b)a"-1(a<b,n∈N).
另外,在论证涉及到函数导数的不等式时,常常需要利用中值定理和泰勒公式证明之。来看下面的例子:
例7.设f(x)EC2【0,l】;f(0)=“1);if'(x)Is1,xE【o,1】.
例4.设P,q是大于1的常数,且}+上q≥1,证明:对
于任意x>0,有上xp+上≥x.
P
q
试证If『(x)I≤下1,xE[0,1】
证明:写出“o)、“1)在点x∈【O,l】泰勒展开式,有
证:令“x)=lXp+—L--X,贝0f'(x)=xP-1一I,f,(x)=(p=1)x-’2
Dq
令f,(x)=0,得x=l,r(1)=p一1
所以当x=l时,函数取得极小值,即最小值,
“o)=f(x)一f(x)x+去一r,(孝-)x2,孝-E(0,x)f(1)=f取)+f,(x)(1一x)+{一f,(亏2)(1一x)2'善:∈(o,1)
将上两式相减,由f(0)=“1),得
从而,对于任意x>0,f(x)≥f(1)=0即上xp+上≥x.
P
q
f’(x)=下1f,(孝I)x2-02--e(孝2)(1-x)2
又因|f,(x)Isl,xE【0,1】'故得
注:例4中将欲证的不等式换成其等价的形式,从而使问题简化,即是说,在证明一些不等式时,将其进行适当的整理变形是必要的。
Ir,(x)Is争x4争(x一三一)4}s争
第3期
亓玖东。韩登利:浅析高等数学不等式的证明41
5.利用重要不等式证明。
=I
f(x)(sinZkxcos2kx)dx
p,q是大于1的常数,且}+丁1=l,又设f(x),g(x),
fb
=If(x)dx=1
E
a(a'b)。则
l』jf(x)g(x)axIs(一f(x)Ipdx广(J:Ig(x)lqdx)}称
当积分中出现被积函数的方幂或出现积分的方幂时.可考虑施瓦兹不等式。
为连续形式的赫尔德不等式。
例9.求证:ln-q-s』墨=,O<q冬p.
当p=q=2时.上述不等式成为施瓦兹不等式
P
v'pq
Irf(x)g(x)dxs(rt2(x)ax产(J:水)dx)}
证明:当p=q时,不等式显然成立,
施瓦兹不等式是高等数学中的一个重要不等式.当
当p>q时,取f(x)=},g(x)=1
,
,h,
b
,
所求的不等式中含有J。f私)dx,J.f(x)dx)Lbd)x(f.J
由施瓦兹不等式有
x
J.bg(x)
d)【以及能够构造成含此形式的,可考虑用此不等式证明。
例8.在y郴)在a,b】上连续,且f(x)≥o,f
则lIn卫}2≤业,于是In卫s毕,O<q<p.
(r}ax)2s’麒})址・』。Pdx=娅Pqfxdx=l试
、q
f
Pq
q
VPq
J■
另外,利用积分介值定理等也能证明许多不等式,证
这里不再一一赘述。需要指出的是。本文虽然探讨不等(J:r∞s;nhax)~(』.bf(x)c∞kax)2s-
式的证明。而不等式的证明方法灵活多变,并无严格固证:(』:t.(x)sin入xax)2=(』:啊啊s;n入xax)2曼
定的模式可循,对于那些为考研而努力的学生来说,丰富而熟练的数学基础知识是成功解决问题的关键。
J■
lf(x)dx・If(x)sin2kxdx=l
f(x)sinZLxdx
I■
J■
【参考文献】
同理(』?f.(x)c惦hd】【)2
f1】李庆春、高述春.数学分析的内容与方法【M】.青岛:s
f?f(x)eomcbc青岛海洋大学出版社,1997.
(』:lIx)s谳x出川.bf(x)c惦Xxax)2
【2】张天德.高等数学考研辅导【M】.北京:科学出版,
2004.
,b
,b
f3】冯春.关于不等式证明方法的一个注记【J】.高等数
≤I。f(x)sin2kxdx+j.f(x)coskdx
学研究,1998(6).
(上接第24页)心相通,也拥有哈耶克式的智慧和知识集团之间才能保持纳什均衡。
论,他们绝不相信有绝对正确,唯一正确的观念存在,必【注释】
须以演进的理性代替建构论的理性主义。当然,他们是①萨托利认为:多数原则是零和原则,产生零和的结果,
否具有经验上的沟通和联系,目前还没有确实的证据。当我们诉诸这一原则时多数全赢少数全输。
通过多元因子的共同作用,民主的形象越来越清晰,但②民主作为一种政治制度,也有它的缺陷。托克维尔指出
这只是一个永远发展的运动过程。达尔对理性抱有深深在民主制度下,谁也对抗不了多数,多数的无限权威及其快速的疑虑。因而不曾也不敢建构一个完美的形式系统以建坚定地表达意志的方式忽视了少数和个人的权利,这就给暴构民主。民主从达尔开始。从乌托邦的纯粹民主步向了政播下了种子。
经验的协商民主,既具有合理性又具有合法性,或者说【参考文献】
正当性。
【I】【美】达尔.多头政体:参与和反对.谭君久,刘惠荣译【M】.北京:商务印书馆,2003.
从规范“应然”的学理层面上来讲,社会主义民主政【2】【美】达尔.民主理论的前言.顾昕,朱丹译【M】.北京:三治是通过多重人民代表大会制度。即全国人民代表大会联书店.1999.
和地方各级人民代表大会制度。多重集团少数人的博弈【3】【美】萨托利.民主新论.冯克利,阎克文译【Jvq.北京:东
来实现的;多重集团的少数人又是在全国人民间多重的方出版社.1998.
博弈过程中胜出的。社会主义民主在某种意义上讲具有【4】【法】托克维尔.论美国的民主.董果良译【M】.北京:商务
多元主义民主的元素。由于选民的理性,选民必然选举印书馆。1988.
能代表他们利益的“少数人”。多重集团的“少数人”为了【5】f美】布坎南塔洛克同意的计算:立宪民主的经济基
保持权力。不得不最大限度的代表尽可能广范围的人民础.陈光金译【M】.北京:中国社会科学出版社,2000.的利益。这是多重少数人的占优策略,只有这样人民和【6】陈慕泽.数理逻辑教程【M】.上海:上海人民出版社,
多重集团的少数人之间,多重集团的少数人之间,多重
2001
浅析高等数学不等式的证明
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
亓玖东, 韩登利, QI Jiu-dong, HAN Deng-li莱芜职业技术学院,山东,莱芜,271100阿坝师范高等专科学校学报
JOURNAL OF ABA TEACHERS COLLEGE2005,22(3)1次
参考文献(3条)
1. 李庆春. 高述春 数学分析的内容与方法 19972. 张天德 高等数学考研辅导 2004
3. 冯春 关于不等式证明方法的一个注记 1998(06)
相似文献(10条)
1.期刊论文 薛贵庚 高等数学中证明不等式的思想方法 -三门峡职业技术学院学报2007,6(4)
证明不等式在培养学生的创新思维、创新能力等方面具有重要作用.本文对高等数学中常用的证明不等式的思想方法作了归纳总结,并结合具体实例阐述了这些思想方法在证明不等式中的应用.
2.期刊论文 刘照军. 岳超. 聂斌. Liu Zhaojun. Yue Chao. Nie Bin 不等式的缩放是高等数学的灵魂 -中国科技信息2009,""(10)
通过具体例子说明不等式的放大与缩小在极限计算、泰勒公式应用、级数敛散的判定中的重要作用;阐明了高等数学与初等数学的本质区别;涵盖了高等数学学习方法的重要内容.对系统把握高数的抽象性与极强的逻辑性认识有一定帮助;特别是给出了在闲区间上具有单项二阶导数的函数平均值的限的估计新结论.
3.期刊论文 莫庆美. Mo Qiangmei 高等数学中不等式证明题的思路与技巧 -广西梧州师范高等专科学校学报2005,21(1)
本文以高等数学作为工具,寻找证明不等式的几种有效方法,每种方法都具有一定的适用性.通过对不等式证明方法和例子的分析总结,可以掌握其中的要领,加以灵活运用.
4.期刊论文 王伟平 高等数学中的不等式证明 -山东交通学院学报2003,11(2)
不等式的证明方法灵活多样,技巧性和综合性较强.通过典型例题,分析并总结了高等数学中证明不等式的几种主要方法及其适用条件.
5.期刊论文 徐群芳 高等数学中证明不等式的几种方法 -太原教育学院学报2004,22(3)
不等式的证明可以采用不同的方法,每种方法具有一定的适用性,并有一定的规律可循.通过对不等式证明方法和例子的分析和总结,可以掌握其中的要领,灵活运用.
6.期刊论文 刘东南. 黄力. LIU Dong-nan. HUANG Li 谈运用高等数学证明不等式的方法 -湖南冶金职业技术学院学报2008,8(4)
通过实例,探讨了一些运用高等教学证明不等式的方法.
7.期刊论文 高等数学中微积分证明不等式的探讨 -现代商贸工业2009,""(20)
不等式是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一.众所周知不等式的证明在高等数学中起着重要的作用.同时,不等式证明的教学对发展学生的数学思维,培养逻辑思维能力起着非常重要的作用,证明不等式没有固定的模式,方法因题而异,灵活多变,技巧性强.将利用函数的单调性、函数极值及拉格朗日中值定理等证明一些与函数有关的不等式,通过几个例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同中值定理在解决的不等式的区别.
8.期刊论文 章国凤. Zhang Guofeng 均值不等式在高等数学中的应用 -广西教育学院学报2008,""(5)
作为基本不等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作用.本文从重要极限lim/n→∞(1+1/n)n=e的存在性的证明出发,介绍了均值不等式在高等数学的积分、极限等领域的重要作用.
9.期刊论文 叶春辉. YE Chun-hui 运用高等数学知识证明不等式的探讨 -牡丹江教育学院学报2009,""(3)
探讨灵活运用函数的单调性、极值、凸函数、中值定理、柯西一施瓦兹不等式等高等数学知识对不等式问题进行分析、构造与转化,通过实例给出了用高等数学知识证明有关不等式的方法.
10.期刊论文 宫莉 高等数学中证明不等式的方法和技巧 -高等函授学报(自然科学版)2010,23(1)
利用具体实例阐述了高等数学中证明不等式的方法和技巧.
引证文献(1条)
1. 刘国璧 从一个不等式的证明谈发散性思维[期刊论文]-安徽电子信息职业技术学院学报 2007(5)
本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_absfgdzkxxxb200503013.aspx授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:9122ecd6-f078-4d2d-8611-9dca00ba578c
下载时间:2010年8月6日