定积分教案
第三章 一元函数积分学
二、 定积分
（一）、 定积分的概念
1、什么叫曲边梯形的面积？
由曲线y =f (x ) ，直线x =a ，x =b 和x 轴所围成的图形，常称为曲边梯形。 2、如何定义、计算曲边梯形的面积？
设y =f (x ) 在[a , b ]上连续，用分点x 0=a , x 1，x 2，x 3……x i -1，x i ……x n -1，x n =b
n ) ，每个小区间的长度为∆x =x i -x i -1，把[a , b ]分成几个小区间[x i -1, x i ](i =1, 2, 3,......
在[x i -1, x i ]上取一点ξi (x i -1
S n =f (ξ1) ∆x 1+f (ξ2) ∆x 2+f (ξ3) ∆x 3……f (ξi ) ∆x i ＋⋯⋯＋f (ξn ) ∆x n
=∑f (ξi ) ∆x i
i =1n
当分点无限增加（记为n →∞），而每一小区间的长度无限缩小（记为∆x →0）时，如
果这个S n 的极限存在，记为A =lim
n →∞
∑
n
f (ξi ) ∆x i ，则这个极限叫做曲边梯形的面积。
i =1
（∆x →0）
（二）、定积分的定义
1、定积分的定义：
设y =f (x ) 在[a , b ]上连续，①用分点x 0=a , x 1
x n -1
n ) ，每个小区间的长度为∆x =x i -x i -1(i =1, 2, 3,.....
n ) ，②在[x i -1, x i ]上取一点ξi (x i -1
n
=∑f (ξi ) ∆x i ③如果对[a , b ]分成n 个小区间[x i -1, x i ]不论怎样分法，点ξi 不论怎样取
i =1
法，当分点无限增加（记为n →∞）而每个小区间的长度无限缩小（记为∆x →0）时，
n
若这个和s n 的极限存在，记为S =lim
n →∞
∑
f (ξi ) ∆x i
i =1
（∆x →0）
④则这个极限值为函数f (x ) 在区间[a ，b ]上的定积分，记作b
⎰f (x ) dx ，即
a b
⎰f (x ) dx =ξa
∆lim
n x →0∑
f (i ) ∆x i
i i
2、定积分的几何意义：
f (x ) 在x 轴上方，在几何上表示由曲线y =f (x ) 与直线x =a ，x =b 及x 轴所围的曲
边梯形的面积。
若
f (x ) 在[a , b ]上变号，则b
⎰
f (x ) dx 表示曲线y =f (x ) 与直线x =a ，x =b 及x 轴所
a
围的曲边梯形的面积的代数和
（在x 轴上方图形面积取正，下方图形面积取负）
b
⎰
a
⎧A ⎪
f (x ) dx =⎨
⎪-A ⎩
f (x ) >0f (x )
b
即：|f (x ) |dx =A
a
⎰
3、几点说明：
⑴、定积分的结果是一个确定的常数（这与不定积 分完全不同），它只与被积函数f (x ) 及积分区间[a，b]有关，而与积分变量的符号无关，即
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (t ) dt
a
b
⑵、在定积分定义中，我们假定a ⎰
b
a
f (x ) dx =-⎰f (x ) dx ，
b
a
⎰
a
a
f (x ) dx =0
⑶、关于函数可积性：设f (x ) 在[a , b ]上连续或f (x ) 在[a , b ]上有定义且有界或只有有限个间断点，则f (x ) 在[a , b ]上定积分y =f (x ) 存在。 ⑷、函数f (x ) 上[a , b ]可导，连续，可积三者之间的关系。 可导⇒连续⇒可积，但反之不一定成立。
（三）、 定积分的基本性质
设f (x ) 和g (x ) 在[a , b ]上连续： 1、2、
⎰
b
a
[f (x ) ±g (x )]dx =
b a
⎰
b
a
f (x ) dx ±⎰g (x ) dx
a
b
⎰
b
a
kf (x ) dx =k ⎰f (x ) dx
3、定积分对区间的可加性，把[a , b ]分成[a , c ]和[c , b ]
⎰
b
a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx
a
c
c b
4、若在[a , b ]上f (x ) ≤g (x ) ，则5、|
⎰
b
a
f (x ) dx ≤⎰g (x ) dx
a
b
⎰
b
a
f (x ) dx |≤⎰|f (x ) |dx
a
b
6、（估值定理）设f (x ) 在[a , b ]上的最大值为M ，最小值为m ，则
m (b -a ) ≤⎰f (x ) dx ≤M (b -a )
a
b
7、若f (x ) 在[a , b ]上连续，则在[a , b ]上至少存在一点ξ，使得
⎰
b
a
f (x ) dx =f (ξ)(b -a )
(a ≤ξ≤b )
（四）、 微积分的基本定理
1、 变上限的定积分： ⑴、积分上限x 为变量时定积分
⎰
x
a
f (t ) dt 称为变上限的定积分。记为
Φ(x ) =⎰f (t ) dt
a
x
积分变上限函数Φ(x ) 的几何意义：右侧直边可以平行移动的曲边梯形的面积。 ⑵、设函数f (x ) 在[a , b ]上连续，则积分上限的函数Φ(x ) =
⎰
x
a
f (t ) dt 具有导数是
Φ'(x ) =f (x )
d x
[⎰cos 2tdt ]=cos 2x 例32－1、
dx a
26d x 3t 2d u t 2du
[⎰e dt ]令x 3=u [⎰e dt ]=Φ'(x ). 3x 2=3x 2e u =3x 2e x 例32－2、
dx 1dx 1dx
⑶、对变下限的定积分：
⎰
(⎰
b
x
f (t ) dt 有[⎰f (t ) dt ]'=[-⎰f (t ) dt ]'=-f (x )
x
b
b x
⑷、对上，下限同时可变的的定积分
b (x )
⎰
b (x )
a (x )
f (t ) dt 有
a (x )
f (t ) dt ) '=f [b (x )].b '(x ) -f [a (x )].a '(x )
x
例32－3、求下列导数：
tan t ⎰11+t 2dt x tan t tan x
'') =解：F (x ) =(⎰
11+t 21+x 2
⑴、F (x ) =⑵、F (x ) =
⎰
x 20
t . ln t 2dt
解：F '(x ) =(③、F (x ) =
⎰
x 2
t . ln t 2dt ) '=2x . x 2ln x 4=2x 3ln x 4
1
⎰x 1-t 3dt 0111
'dt ) =-=解：F '(x ) =(⎰ 333
1-x x -1x 1-t
④、F (x ) =
⎰
0x 3
(x -t 2) sin tdt
0x 3
解： F (x ) =
⎰(x -t ) sin tdt =x ⎰sin tdt -⎰t 2sin tdt
x 3
x 3
2
∴F '(x ) =[x ⎰sin tdt -⎰t sin tdt ]'=⎰sin tdt -x . 3x 2sin x 3+3x 2(x 3) 2sin x 3
x 3
x 3
x 3
00
2
=-cos t |3-x . 3x 2sin x 3+3x 8sin x 3=-1+cos x 3-x . 3x 2sin x 3+3x 8sin x 3
x
2、牛顿-莱布尼茨公式
若F (x ) 是连续函数f (x ) 在区间[a，b]上的一个原函数，则
b ⎰a
f (x ) dx =F (x )
|
b a
=F (b ) -F (a )
这就是著名的牛顿-莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式。
N －L 的几何解释：曲线y =f (x ) 直线x =a 、x =b 及x 轴所围成的图形面积。
x 311
= 例32－4、⎰x dx =|0330
1
2
例32－5、计算由曲线y =sin x 在x =0、x =π之间及x 轴所围成的图形面积A 。 解：A ＝
⎰
π0
sin xdx =-cos x |=-cos π+cos 0=2
1
π
1111πx 2
=[1-]dx =x -arctan x =1-dx 例32－6、⎰ ||2⎰20041+x 001+x
例32－7、
⎰
e 1
1x -(lnx ) 2
dx =⎰
1
d (lnx ) -(lnx ) 2
=arcsin(lnx )
1
e
=arcsin
1π
= 26
（五）、 定积分的换元积分法
定积分的计算
1、定积分的换元积分法：
设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，函数x =ϕ(t ) 在区间[α, β]上单值且有连续导数，当t 从α变到β时，x =ϕ(t ) 在[a , b ]上变化，且有ϕ(α) =a ，ϕ(β) =b ，则有
⎰
b a
f (x ) dx =⎰f [ϕ(t )]ϕ'(t ) dt
α4
β
212t
) dt dx 令t =x ⎰dt =2⎰(1-例32－8、⎰
1+t 1+t 001+0x
1
2
221
=2⎰dt -2⎰dt =2[t |-ln |1+t ||]=2(2-ln 3)
00001+t
2
2
例32－9、
⎰
20
4-x 2dx
解：令x =2sin t dx =2cos t d t
π
π
⎰
201+cos 2t
4-x dx =4⎰2cos tdt =4⎰2dt =2⎰2(1+cos 2t ) dt
0002
2
2
π
π
1π
=2(t +sin 2t ) 2=2. =π
022
例32－10、
⎰
ln 20
e x (1+e x ) 2dx
1
dt
t
x
解：令e =t 则x =ln t ，dx =
⎰
ln 202119
e (1+e ) dx =⎰(1+t ) 2dt =(1+t ) 3|=-=
133331x
x 2
2
ππ
例32－11、证明
⎰
20
sin xdx =⎰cos n xdx 其中n 为非负整数。
n
2
证：当n =0时，等式显然成立 当n >0时令x =
π
2
-t 则dx =-dt
sin x =sin(
π
20
π
2
-t ) =cos t
π
π
n
2
2
于是
⎰sin xdx =-⎰cos tdt =⎰cos tdt =⎰cos n xdx
π
2
n n
例32－12、若f (x ) 在[-a , a ]上连续且为偶函数，则证：已知f (x ) 为偶函数，因此f (-x ) =f (x )
⎰
a -a
f (x ) dx =2⎰f (x ) dx
a
⎰
a -a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx
-a
0a
对于积分
⎰
-a
f (x ) dx 令x =-t 则 dx =
-dt
a 0
a 0
⎰
-a
f (x ) dx =⎰f (-t )(-dt ) =⎰f (-t ) dt =⎰f (t ) dt =⎰f (x ) dx
a
0a
a -a
a
因此
⎰f (x ) dx =2⎰f (x ) dx
同理
若f (x ) 在[-a , a ]上连续且为奇函数，则
⎰
a -a
f (x ) dx =0
证：已知f (x ) 为奇函数，因此f (-x ) =-f (x )
⎰
a -a
f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx
-a
0a
对于积分
⎰
-a
f (x ) dx 令x =-t 则 dx =-dt
a 0
a 0
⎰
-a
f (x ) dx =⎰f (-t )(-dt ) =⎰f (-t ) dt =-⎰f (t ) dt =-⎰f (x ) dx
a
0a
因此
⎰
a -a
f (x ) dx =0
2、奇函数与偶函数在对称区间上的定积分： 例32－13、利用函数的奇偶性计算
⎰
1-1
2-x 2-x
2
dx =⎰
x 2
a
1-1
22-x
2
dx -⎰
1-1
x 2-x
2
dx =2⎰
10
22-x
2
dx
=22arcsin
例32－14、
|
10
=22arcsin
2π2=22. =π 242
1+x
⎰-a 1-x dx
1+x 1-x 1+x 1+x
=l ) -1=-ln =-f (x ) 解： f (x ) =ln f (-x ) =ln
1-x 1+x 1-x 1-x
a 1+x
dx =0 ∴⎰-a ln
1-x
ln
3、定积分的分部积分法：
设u (x ) ，v (x ) 具有连续的导数，则
⎰
b
a
u v 'dx =uv |-⎰v u 'dx
a
a
b b
即：
⎰
b
a
udv =uv |-⎰vdu
a
a
b b
π
例32－15、
π
⎰
20
π
x sin xdx =
π
2
⎰
20
x d (-cos x ) =x (-cos x ) |2+⎰2cos xd (-x 2)
2
2
ππ
=⎰2x . cos xdx =2⎰2x . d (sinx ) =2[x . sin x 2-⎰2sin xdx =π+2cos x 2=π-2
πππ
11
令x =t 1t t t 1t
=2tde =2[te -e dt 例32－16、⎰e dx e 2tdt |⎰⎰⎰0dx =2tdt 0000
1
x
=2e -2e t |=2e -2(e -1) =2
1
ππ
例32－17、计算I n =
π
⎰
2
sin xdx (⎰2cos n xdx ) 其中n =0, 1, 2, 3........
n
π
解：I n =
π
⎰
π
20
sin
n -1
x . sin xdx =⎰sin
20
n -1
xd (-cos x ) =sin
2
n -1
x (-cos x ) |
π0
π20
π
n -1
+⎰2cos xd (sin
0x ) =⎰2(n -1) sin
n -2
x cos x dx =(n -1) ⎰2sin n -2x (1-sin 2x ) dx
π
n -2
=(n -1) ⎰2sin
0x dx -(n -1) ⎰2sin n x dx
n -12n -2
sin xdx 整理后得：⎰2sin xdx =
0n ⎰0
n
ππ
π
记I n -2=
⎰
20
sin n -2xdx
则有递推公式I n =
π
n -1
I n -2 (n ≥2) n
I 0=⎰2dx =
π
2
π20
I 1=⎰2sin xdx =-cos x |＝1
π
π
I 2=⎰2sin 2xdx =
11ππI 0=⨯= 2224222I 1=⨯1= 333
π
I 3=⎰2sin 3xdx =
31π⎧n -1n -3
⨯⨯⨯当n 为偶数⎪⎪n n -2422
I n =⎰2sin n xdx =⎨
0n -1n -342⎪⨯⨯⨯1当n 为奇数
⎪n -253⎩n
π
π
例32－18、
⎰⎰
2
sin 8xdx =cos 5
x dx 2
7531π35π⨯⨯⨯⨯= 86422256
例32－19、解：令
π
x
=t ，则dx =2dt
2
⎰
π
x 4216cos dx =2⎰2cos 5tdt =2⨯⨯⨯1=
025315
5
π
例32－20、计算定积分I =
⎰
a 0
x 2a 2-x 2dx a >0
解：令x =a sin t dx =a cos t d
t ⎰
a 0
π
x
2
a -x dx =⎰2a 2sin 2t . a cos t . a cos tdt
2
2
π2
π2
π2
=a 4⎰sin 2t .(1-sin 2t .) dt =a 4⎰sin 2tdt -a 4⎰sin 4tdt
=a 4
1π31ππ
⋅-a 4⋅⋅⋅=a 4 2242216
π
4
2
2
2
4
π2
2
a 解法二：I =a ⎰sin t . cos tdt =
40
π
a 4π1π=[t 2-sin 4t 2]=a 4
080416
a
sin 2t . dt =⎰0
8
4
π
⎰
20
(1-cos 4t ) dt
例32－21、比较下列定积分的大小： ⑴、
⎰
1
-1
xdx 与⎰x 3cos xdx
-1
1
3
1
（奇） （奇）
⎰xdx ＝⎰x
-1
-1
1
cos xdx ＝0
π
2－
π
⑵、
⎰πsin xdx 与⎰πcos xdx
2－2
2
s d =x 2s i x n 2=2 =0（奇） =2⎰c o x
20
ππ
ππ
2故
⎰πsin xdx
22
2
⑶、
⎰
10
1
-1
x 2dx 与⎰
100
-100
x 5e |x |dx
=2⎰x 2dx （偶） =0（奇）
=
2312
x |=>0 303
④、
⎰
⎰
1
e dx 与⎰e t dt
2
2
x
1
2
x x
当x ∈[0, 1]时x ≥x ，于是e ≥e
1
所以⑤、
e dx ≥⎰e x dx =⎰e t dt
x
1
2
1
2
⎰
⎰
1
x 3dx 与⎰t 2dt
03
2
1
当x ∈[0, 1]时x ≤x
10
所以⑥、
x dx ≤⎰x dx =⎰t 2dt
3
1
2
1
⎰
⎰
2
1
e x dx 与⎰e t dt
1
2
2
2
2
x x
当x ∈[1, 2]时x ≤x ，于是e ≤e
2
所以
1
e dx ≤⎰e x dx =⎰e t dt
1
1
x
2
2
2
2
例32－22、求下列极限
⑴、lim
x →0
⎰
x 0
cos(t 2) dt x
cos(x 2) =lim =1 x →01
⎰⑵、lim
⎰
x →0
sin x
0tan x
t . dt t . dt
=lim
sin x cos x sin x (sinx ) '4
=lim cos x =1 =lim
x →0x →0tan x sec 2x x →0tan x (tanx ) '
⑶、lim
x →0
⎰⎰
x 0
ln(1+t ) dt x
=lim
ln(1+x )
=0
x →01
π
2x
sin tdt
⑷、lim
x →
π
2
x -
π
2
=lim
x →
π
2x
-sin x
=-1 1
例32－23、求f (x ) =解： f '(x ) =
1
⎰0t 2+4t +4dt 在[0, 1]上的最大值和最小值。
11
=>0 x ∈[0, 1]
x 2+4x +4(x +2) 2
故f (x ) 严格单调增加（上升）
111111dt =⎰dt =-= ∴f (x ) 的最大值M =f (1) =⎰2|20t +26t +4t +4(t -2) 00
1
f (x ) 的最小值m =f (0) =⎰
例32－24、计算下列定积分 ①、
1
1
dt =0 2
0t +4t +4
⎧x , x ≤0
f (x ) dx ，其中 f (x ) =⎨⎰-1
⎩sin x , x >0
1
1
1120
解：⎰f (x ) dx =⎰xdx +⎰sin xdx =x |-cos x |
-102-1-10
111
=--cos 1+cos 0=--cos 1+1=-cos 1
222
②、
⎰
30
2x -4dx
⎧4-2x , x ∈[0, 2]解： 2x -4=⎨
2x -4, x ∈[2, 3]⎩
∴⎰
30
2x -4dx =⎰(4-2x ) dx +⎰(2x -4) dx =(4x -x 2) |+(x 2-4x ) |=5
2
23
23
02
③、
⎰
2π0
+cos x dx
2
解： 1+cos x =2cos
x
2
2πx x
2cos dx =2⎰cos dx
220
∴⎰
2π0
+cos x dx =⎰
π
2π0
2
2πx x x πx 2π
=2⎰cos dx +2⎰(-cos ) dx =22sin |-22sin |
22202π0π
=22-22(0-1) =42
例32－25、计算下列定积分 ①、
10
x
⎰
e e
+x
dx
1
dt
t
x
解：设e =t x =ln t dx =
⎰⎰
10
e
e x +x
dx =⎰e . e dx e =t
1
e x
x x
⎰
e 1
e t t
dt t e
=e |=e e -e
1t
10
或者直接求解
10
e
e x +x
dx =⎰e . e dx =⎰e e . de x =e e
1
e x
x
1
x x
|
=e e -e
1+ln 2x
dx ②、⎰x 1
e
e e 1141+ln 2x
dx =⎰(1+ln 2x ) d (lnx ) =[lnx +ln 3x ]|=(1+) -0= 解：⎰1333x 11
e
arctan x
⎰01+x 2dx 1arctan x 1
dx =⎰arctan xd (arctanx ) 解：⎰2
01+x 0
1
③、
1111π2π222
=arctan x |=(arctan1-0) =(2-0) =
0222432
例32－26、计算下列定积分 ①、
⎰
-30
125+3x
dx
解：设25+3x ＝t ，
2t t 2-25
dt 则x = dx =33
⎰
-30
242t 4212t
dx =⎰⋅dt =⎰dt =|=-
3535335t 25+3x
1
4
②、
⎰
80
x 1++x
dx
解：设+x ＝t ，
2
则x =t -1 dx =2t d t
33t 2-12
=2tdt =2(t -1) tdt =2(t dx ⎰11+t ⎰1⎰1-t ) ⎰01++x 8
x
3
1312328
=2(t -t ) |=
1323
③、
⎰
ln 10ln 5
e x -1dx
解：设e x -1＝t ， 则x =ln(1+t 2) dx =
2t
dt 1+t 2
⎰
ln 10ln 5332t 1
e -1dx =⎰t dx =2(1-) dx 2⎰21+t 2=2[t -arctan t ]|2
21+t x
3
=2[(3-arctan 3) -(2-arctan 2)]=2-2arctan 3+2arctan 2
例32－27、计算下列定积分
x 2
①、⎰x . arctan xdx =⎰arctan xd ()
200
1
1
1x 21x 21
=. arctan x |-⎰⋅ 202021+x
11π111π1π1π1
=⨯-⎰(1-) dx =-(x -arctan x ) =-(1-arctan 1) =- |[1**********]21+x
②、
⎰
10
arccos xdx =x . arccos x |+⎰
21
1
10
11d (1-x 2)
dx =-⎰2220-x -x x
=--x
③、
|
=1
e 21
e 2
e 21
⎰
e 21
ln x x
e 21
dx =2⎰ln xd x =2[x . ln x |-⎰
1
x d (lnx )]
=4e -2⎰
④、
e 21
x dx =4e -4x |=4e -4(e -1) =4
1x -x
ln 30
⎰
ln 30
x . e dx =-⎰
x . d (e ) =-(xe
-x
-x ln 3
|
-⎰
ln 30
e -x dx )
=-
ln 3ln 3ln 31ln 32
-e -x |=--(-1) =-+
033333
ππ
-x
2
-x
-x
⑤、
⎰
-
20
e sin xdx =-⎰sin xd (e ) =-[e sin x -⎰e -x . cos xdx ]
2
π
π2
π2
π
=-e
-⎰cos xd (e ) =-e
2
-x
-
π
2
-[cosxe
-x 2
+⎰
π
π
20
e -x sin xdx ]
=-e
π
2
-
π2
π
+1-⎰e -x sin xdx
2
-1
∴⎰e sin xdx =(1-e 2)
20
-x
π
例32－28、设f (x ) 是(-∞, +∞) 上的连续函数，且满足f (x ) =3x -x 解：令
2
⎰
10
f (x ) dx ，求f (x ) 。
⎰
10
f (x ) dx =A
2
则f (x ) =3x -Ax
1211
Ax ) =1-A |0⎰0
220
1222
因此A =1-A ， A =，所以f (x ) =3x -x
233
1
f (x ) dx =⎰(3x 2-Ax ) dx =(x 3-
1
例32－29、计算
⎰
2-1
x +x -x +x
2
2
d x .
2
解
⎰
2-1
x +x
2
d x =⎰
0-1
d x +⎰
x +x
2
d x
-1
2
11122d (1+x ) d (1+x ) -121(1+x 2) 2=⎰+⎰=002212+x +x
2
=
1(1+x 2) +
12
2
12
2-1+5-1=2+5-2．
a 3
2
1a 2
例32－30、证明⎰x f (x ) d x =⎰xf (x ) d x .
020
1-2
t =0; 当x =a 时， 证 令x =t (x >0) , 则x =, d x =t d t ，且当x =0时，
2
2
1
t =a 2. 于是
⎰
a
x f (x ) d x =⎰
32
a 2
1a 21a 21-2
t f (t ) ⋅t d t =⎰tf (t ) d t =⎰xf (x ) d x ．
20202
3
2
1
例32－31、2
⎰
2
-2
4-x 2d x =
2
4π
;
解一 被积函数4-x 是偶函数，则2令x =2sin t (0≤t ≤
2
⎰
2
-2
4-x d x =4⎰
2
2
4-x 2d x ，
π
) ，则4-x 2=2cos t ，d x =2cos t d t ，有 2
π20
π20
4所以2
⎰
1
4-x 2d x =4⎰4cos 2t d t =8⎰(1+cos 2t ) d t =8(t +sin 2t )
2
π20
=4π，
⎰
2
-2
4-x 2d x =4π．
解二 y =
4-x 2是以原点为圆心，以2为半径的上半圆周．
由定积分的几何意义，以2
⎰
2
-2
4-x 2d x 表示半圆面积，则2⎰
2
-2
4-x 2d x 恰为整个圆面积，所
⎰
2
-2
4-x 2d x =π⋅22=4π．
d e x
sin t 2d t . 例32－32、求⎰d x ln x
c e x d e x 222
sin t d t =(sin t d t +sin t d t ) 'x （c 为常数） 解：⎰⎰⎰ln x ln x c d x
ln x
e x
=(-⎰
c
sin t d t ) 'x +(⎰sin t 2d t ) 'x
c
2
=-(⎰
ln x
2x
''sin t d t ) '⋅(lnx ) +(sin t d t ) ⋅(e ) 'x x ln x x ⎰2
e x
c
c
e
sin(lnx ) 2⋅1
x
+sin e 2x ⋅e x
=-