数学的产生发展与前景略谈

韩雪涛

诚如一切科学的产生一样，数学产生于人类社会的实践，而得益于人类独特的发达的大脑。伴随着生产、生活的需要，模糊的数、形的概念，在原始人头脑中日渐形成了。这个过程恐怕是很漫长的吧。人们先认识了与实体相联系的抽象的数，如提及一、二、五时，他们脑海中浮现出的是与之对照的实物：一个人、二只手、五个手指之类。再往后，与实体相脱离的真正抽象的数才被确定下来。这时最早的数学分支之一“算术”产生了。与此进程平行，人类在实践中也逐渐意识到形的概念。于是几何学知识也日渐积累起来。在我国，早在西周时期，我们的祖先就已获得了许多这方面的感性认识。对著名的勾股定理的认识就可上推到这一时期。但这时，人们对这些知识的认识大都还是感性的、零散的，还没有上升为系统的科学。这一转变完成于古希腊。一方面，代数学鼻祖丢番图的《算术》标志着算术向初等数学的转变，而进一步的转变一直到韦达才真正完成。用字母代替具体数字，字母间的运算代替数字间的运算，这是算术向代数转变所完成的本质的、关键的一步。而这也同时意味着数学在抽象性上又向前迈进了一步。在另一方面，欧几里得的《几何原本》才真正地在数学发展史上树起第一块伟大的丰碑。不知有多少后人曾对着这座富丽堂皇的数学殿堂拱手膜拜，以至于不少哲学家都要把它供奉为绝对正确认识的楷模与典范。于是在非欧几何诞生前，它被带了耀目的“绝对真理”的光环。

到这时，数和形的基本概念在数学园地中已深深扎下了根，而此后数学的进一步发展，就是以数形为主旋律奏响的。

早期的代数、几何，基本上是独立发展的，直到17世纪，法国数学家笛卡尔才在两者之间搭起友谊之桥：解析几何。解析几何用代数方法研究几何问题，一方面使代数、几何密切了联系，相互促进了彼此的发展。另一方面也使人们的耳目为之一新。与此同时，变量的概念被引入了。而正因这变量的引入，运动的观念进入了数学，而这终于导致了数学史上的一次真正的革命：微积分在牛顿、莱布尼兹手中诞生了。微积分一出现，就成为数学家手中无比锐利的工具。伴随它产生了一系列的研究函数的数学分支。常微分方程、偏微分方程是其中最重要的内容。但是，产生于牛顿、莱布尼兹手中的微积分是先天不足。十九世纪在德国数学家的倡导下对其进行了一场批判性的检查运动。经过柯西、维尔斯特拉斯、康托尔等人的努力，终于使其奠定了坚实的基础。而使其在数学中占有了崇高的一席之地。分析、代数、几何三足鼎立，成了数学的三大基础，即旧三基。

自然，与上述进程平行的阶段上，代数与几何的发展并未停滞。事实上，从欧洲文艺复兴以来，它们一直大踏步地前进着。

非欧几何的创立，是几何学上的一次革命。它不仅摘掉了带在欧氏几何颈上的绝对真理的光环，而且对人们的观念造成了极大的冲击。相对论的创立也得益于此。作为欧氏几何更高程度上的延拓，射影几何、位置几何（或称拓扑几何）也先后诞生并获得了极大发展。

代数方面，人们不再满足于字母间的运算，而把兴趣转到对行列式、矩阵、二次型的研究上来。这就完成了初等代数向高等代数的转化。而代数学方面最大的变革却来自天才数学家，被视为数学疯子的伽罗华所创立的群论。当时，过早的抽象落到了聋子的耳朵里，甚至连当时最伟大的数学家柯西、高斯都未能理解他的思想。但他的深邃思想却对现代数学的发展产生了不可估计的影响。他的群论观点，宣布了抽象代数的诞生。而今，抽象代数研究的课题已包括群论、环论、域论、格等，而成为现代数学的新三基之一。

与此同时，旧三基之间互相渗透又产生出一系列分支，如代数几何、微分几何等。

回视数学的发展历史，不难发现如其它科学的发展一样，数学的发展并不呈直线发展，而是近乎于以指数曲线迈进。

数学的萌芽时期，经历了最为漫长、久远的时代，而成果仅是些零散琐碎的算术、几何知识的积累。从公元前5世纪的古希腊时期开始，经东方时期、欧洲文艺复兴时期，数学的发展逐渐步入了快行道。在代数、几何方面都有大幅度长进。但这已经历了两千年之久啊！18世纪，随着分析方法的产生，数学的发展进一步加速了。这一时期，被称为发明时期，其开创领域之广阔，是前无古人的。数学惊人的新的处女地被垦出来了。但这些工作大都是粗糙的、不严密的。19世纪，经过自我反思的批判运动，数学的基础变得更加坚实牢固。上世纪形成的分支趋于成熟，新颖学科又不断涌现，如实变函数、点集拓扑、抽象代数……而该世纪末，康托尔创立的无穷集合论更为现代数学的发展注入了新的活力。1900年，国际数学大会的召开宣布一个新的纪元开始了。历史步伐跨进了20世纪。数学的发展又获得了长足的进展。实变函数、抽象代数、高等几何很快发展成熟。另一门极富综合性的学科“泛函分析”宣告诞生了。它一问世，就获得迅速发展。很快，它就与高等几何、抽象代数一起，构成了现代数学的新三基。到60年代，数学发展又经历了几次大的突破。模糊数学、突变理论、非标准分析先后问世，使数学内容更加精彩纷呈。尤其是模糊数学从问世到现在不足几十年的时间就已渗透入几乎所有的数学分支，大大推动了数学的进一步发展。

与理论数学的发展相对照，20世纪应用数学亦获得长足发展。产生于十八世纪的概率论，要此世纪又产生出新的数理统计，而后者已在极广泛的社会领域内大显身手了。

如果把数学比作一棵大树，那么这棵树并不只是长得更高、伸出更多的枝叉。在另一方面，这棵树还把自己的根扎得更深了。也就是说，数学的发展并未只向广度伸展，同时它还向深度开掘。十九世纪批判运动带给数学的一个极大后果是：对数学基础的研究日益引发数学家们的兴趣。由此导致的好处使数学发展受益匪浅。十九世纪下半叶康托尔创立的集合论，奠定了现代数学的基础。而围绕这一基础引发了一场激烈的争论，这导致了三雄争霸的局面。也说是著名的三大数学流派之争。直觉主义者代表人物布鲁维、形式主义者代表人物希尔伯特、逻辑主义者代表人物罗素，为解决集合论中的悖论各显身手。虽然后来研究证明，只执一端的任何一方的道路都是行不通的，但他们在各自领地内开创的数学成果却极大地丰富了数学的内容，并大大推动了数学的发展。如罗素的逻辑主义理论就对日后电子计算机的发展铺下了一块重要的基石。

数学的发展还不单是内容上的增加，更重要的却是体现在新思想、新观点、新方法的出现上。如解析几何、非欧几何、群论带给数学的都远不只是新的内容，而是新思想、新观点的引入。它们对数学发展的推动力是无可估量的。新方法的引入也具有同等重要的作用。1899年，希尔伯特对欧氏几何进行了一番大的整容，而创立出欧氏几何的希尔伯特体系，这不但使欧氏几何真正严谨化，更重要的是带给数学界以现代意义上的公理化方法。在他的理论中，我们常见的几何图形不再是必须的了，而只降为一种直观模型而已。这样，几何学在抽象程度方面又大大迈进了一步。他提出的公理化方法的三个基本要求：相容性（即无矛盾性）、完备性、独立性，对后来数学的发展具有重要的指导意义。许多分支在公理化方法指导下，变得更加严谨，而且获得了飞速发展。其中一个突出的例子是前苏联数学家柯尔莫戈罗夫创立的公理化概率体系，大大促进了概率论的研究。结构主义的新观点在二十世纪亦成为一大热门。法国一批年轻数学家（即著名的布尔巴基学派）将其引入数学领域，开创结构主义数学，将繁杂无序的众多数学分支全纳入一个完整、严谨的结构体系。结构理论为数学的发展提供了有力的工具。到20世纪60年代，结构主义数学达到了全盛时期，布尔巴基学派也因而声名大振。新方法的引入，促成了数学逻辑体系的严谨，也大大推动了数学的发展。

同时，新工具的出现，在现代数学的进程中也立下了一番汗马功劳。以前，令数学家颇为自得的是：他们无须象物理学家、化学家那样要依赖于实验仪器，他们一支笔、几张纸，加上一个数学家的头脑，就可以在数学园地中纵横驰骋。但在1976年，美国两位数学家却借助于电子计算机，彻底解决了数学史上一直悬而未决的世界难题：四色猜想问题。这事马上轰动了数学界。电子计算机这不速之客的闯入，宣告了数学骑士生涯的终结。无怪乎许多数学家要为自己骑士梦的破灭而哀叹了。而今，电子计算机在数学中已进一步大显身手。它的出现大大加速了应用数学的研究，也使数学家从繁琐的数学计算中解脱出来。而且，应用它证明多类数学问题的工作已在进展之中。可以预料，不久的将来，许多问题的机械论证托付给此“君”就行了，而数学家可以进一步将数学才智用到更富创造性的领地上去。

推动数学发展的动力总起来说，有两个方面。一是来自人类生产、生活的需要，即人类的社会实践活动。从数学史上看，数学的产生来源、归结于此，这是不容置疑的。不管我们现在如何轻视早期的数学萌芽，都不能否认一个基本事实：没有那时的数学萌芽，就根本不会有今日辉煌的数学大厦。它首先促成了初等数学的产生，使数学慢慢走入正轨。而且，更重要的一点在于：它常常是数学新思想、新观点、新方法、新工具、新分支产生的源泉。而这些一旦产生，就会促使数学的面目为之焕然一新。运动观点、微积分工具……的引入，都莫不如是。它们直接来自人类的社会实践活动，却使数学大受其惠。因而我们可以说，人类的社会实践活动是数学发展的根本动力。而且现在随着电子计算机的广泛应用，与实践直接相连的应用数学异军突起，也为现代数学的发展注入了一股新鲜血液。另一推动数学发展的重要动力来自数学自身发展的规律性，即数学的自律性。数学中一旦引入了新概念、新方法等就形成一个比较自足的完整结构，数学家就可以在其中自由驰骋，运用严密的数学逻辑推理，推演出一个个完整的数学体系。在简单的数学基石之上，像变魔术般建起一座座巍峨的数学大厦。这种借助逻辑推理的方法是如此之有效，以至于给人们（包括很多数学家）造成一种错觉：似乎只有这才成了推动数学发展的最重要，甚或是唯一动力。诚然，数学自律性对数学发展的推动力无比巨大，事实上，现代数学的蓬勃发展，就与希尔伯特23问题休戚相关。一个数学问题的解决，推动数学向前迈一个台阶，也绝非耸人听闻之事。但是，片面夸大其作用，使其君临一切却是荒谬的。我们应对上述两种作用作具体之分析。前者，作为根本动力，提供数学进一步发展的前提与基础（相当于矛盾的普遍性）。一般说来，它处于矛盾的次要方面，但是一旦它上升为矛盾的主要方面，则意味着数学的发展达到了一个新的质变飞跃期。（微积分的产生就是一个极好的例证）而后者，作为重要动力，处于矛盾的特殊性位置上。事物的发展通常是稳定的，主要处于量变的积累期，而真正的质变期却是短暂的（虽然它是极重要的），因此，恰恰因此，数学自律性作为矛盾的特殊性才通常坐到了“矛盾主要方面”的交椅上。可以这么想：社会实践活动作为推动力，主要充当了一个做好事不留名的雷锋形象。只是在数学发展中面临突破的质变期时，才在旁边给予极有力的一下扶持。依赖于这一扶持，数学才获得了第一推动力，才在自身发展的轨道上凭借惯性（即数学的自律性）飞速旋转起来。如果我们只是因为助人者做完好事未炫耀，而完全抹杀掉其功绩，就未免太薄情寡意了吧。