历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分，共20分）

y

(x +y ) ln(1+)

x d y =____________，其中区域D 由直线x +y =1与两1．计算⎰⎰D

-x -y

坐标轴所围成三角形区域.

解:令x +y =u , x =v ，则x =v , y =u -v ，d x d y =det 1

⎝

⎛0

1⎫⎪d u d v =d u d v ， ⎪-1⎭

y

(x +y ) ln(1+)

u ln u -u ln v x d y =

⎰⎰D -x -y ⎰⎰D -u u d v

u u ln u u u

d v -ln v d v ) d u ⎰⎰000

-u -u

2

1u ln u u (u ln u -u ) =⎰-d u 0

-u -u

=⎰(

1

=⎰

令t =-u ，则u =1-t

2

1

u 2

d u （*） -u

d u =-2t dt ，u 2=1-2t 2+t 4，u (1-u ) =t 2(1-t )(1+t ) ，

(*)=-2⎰(1-2t 2+t 4) d t

1

1

=2⎰

10

16⎡2315⎤

(1-2t 2+t 4) d t =2⎢t -t +t ⎥=

5⎦015⎣3

2．设f (x ) 是连续函数，且满足f (x ) =3x 2-

解:令A =

⎰

20

f (x ) d x -2, 则f (x ) =____________.

⎰

20

f (x ) d x ，则f (x ) =3x 2-A -2，

A =

⎰

20

(3x 2-A -2) d x =8-2(A +2) =4-2A ,

4102

。因此f (x ) =3x -。 33

解得A =

x 2

+y 2-2平行平面2x +2y -z =0的切平面方程是__________. 3．曲面z =2

x 2

+y 2-2在解:因平面2x +2y -z =0的法向量为(2, 2, -1) ，而曲面z =2

(x 0, y 0)

处的法向量为

(z x (x 0, y 0), z y (x 0, y 0), -1)

，故

(z x (x 0, y 0), z y (x 0, y 0), -1) 与(2, 2, -1) 平行，因此，由z x =x ，z y =2y 知2=z x (x 0, y 0) =x 0, 2=z y (x 0, y 0) =2y 0，

即x 0=2, y 0=1，又z (x 0, y 0) =z (2, 1) =5，于是曲面2x +2y -z =0在

(x 0, y 0, z (x 0, y 0)) 处的切平面方程是2(x -2) +2(y -1) -(z -5) =0，即曲面

x 2z =+y 2-2平行平面

2

2x +2y -z =0的切平面方程是2x +2y -z -1=0。

4．设函数y =y (x ) 由方程xe

f (y )

=e y ln 29确定，其中f 具有二阶导数，且f '≠1，则

d 2y

=________________. 2

d x

解:方程xe

f (y )

=e y ln 29的两边对x 求导，得

e f (y ) +x f '(y ) y 'e f (y ) =e y y 'ln 29

因e ln 29=xe

y

f (y )

，故

11+f '(y ) y '=y '，即y '=，因此 x x (1-f '(y ))

d 2y 1f ''(y ) y ''' =y =-+222

''d x x (1-f (y )) x [1-f (y )]

f ''(y ) 1f ''(y ) -[1-f '(y )]2

=2-=

x [1-f '(y )]3x 2(1-f '(y )) x 2[1-f '(y )]3

e x +e 2x + +e nx x

二、（5分）求极限lim () ，其中n 是给定的正整数.

x →0n

解:因

e

e x +e 2x + +e nx x e x +e 2x + +e nx -n x

lim () =lim (1+) x →0x →0n n

故

e e

e x +e 2x + +e nx -n e A =lim

x →0n x

x 2x nx

e +e + +e -n =e lim x →0nx

e x +2e 2x + +ne nx 1+2+ +n n +1

=e lim =e =e

x →0n n 2

因此

e x +e 2x + +e nx x

lim () =e A =e x →0n

三、（15分）设函数f (x ) 连续，g (x ) =并讨论g '(x ) 在x =0处的连续性.

e

n +1

e 2

⎰

10

f (xt ) d t ，且lim

x →0

f (x )

=A ，A 为常数，求g '(x ) x

解:由lim

x →0

f (x ) f (x )

=A 和函数f (x ) 连续知，f (0) =lim f (x ) =lim x lim =0

x →0x →0x →0x x

因g (x ) =

⎰

10

f (xt ) d t ，故g (0) =⎰f (0) d t =f (0) =0，

1

因此，当x ≠0时，g (x ) =

1x

f (u ) d u ，故 ⎰0x

⎰lim g (x ) =lim

x →0

x →0

x 0

f (u ) d u x

=lim

x →0

f (x )

=f (0) =0 1

当x ≠0时，

g '(x ) =-

1x 2

⎰

x 0

f (u ) d u +

f (x )

， x

x 1x

f (t ) d t f (t ) d t ⎰0⎰f (x ) A g (x ) -g (0) 0=lim = g '(0) =lim =lim =lim

x →02x x →0x →0x →02x x x 2

1x f (x ) f (x ) 1x A A

'lim g (x ) =lim [-2⎰f (u ) d u +]=lim -lim 2⎰f (u ) d u =A -=

0x →0x →0x →0x →0x x 0x x 22

这表明g '(x ) 在x =0处连续.

四、（15分）已知平面区域D ={(x , y ) |0≤x ≤π, 0≤y ≤π}，L 为D 的正向边界，试证：

（1）xe

L

L

sin y

d y -ye -sin x d x =xe -sin y d y -ye sin x d x ；

L

（2）xe sin y d y -ye -sin y d x ≥2.

证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）xe sin y d y -ye -sin x d x =

5

2

L

⎡∂∂sin y -sin x ⎤(xe ) -(-ye ) ⎥d x d y ⎢∂x ⎰⎰∂y ⎦D ⎣

=⎰⎰(e sin y +e -sin x ) d x d y

D

-sin y sin x

xe d y -ye d x L

⎡∂⎤∂

=⎰⎰⎢(xe -sin y ) -(-ye sin x ) ⎥d x d y

∂x ∂y ⎦D ⎣

=⎰⎰(e -sin y +e sin x ) d x d y

D

而D 关于x 和y 是对称的，即知

⎰⎰(e

D

sin y

+e -sin x ) d x d y =⎰⎰(e -sin y +e sin x ) d x d y

D

因此

sin y -sin x -sin y sin x

xe d y -ye d x =xe d y -ye d x L

L

（2）因

t 2t 4

e +e =2(1+++ ) ≥2(1+t 2)

2! 4!

t

-t

故

e sin x +e -sin x ≥2+sin 2x =2+

由

1-cos 2x 5-cos 2x

= 22

sin y -sin y sin y -sin x -sin y sin x

xe d y -ye d x =(e +e ) d x d y =(e +e ) d x d y ⎰⎰⎰⎰L

D

D

知

sin y -sin y

xe d y -ye d x =L

11sin y -sin x

(e +e ) d x d y +(e -sin y +e sin x ) d x d y ⎰⎰⎰⎰2D 2D

=

11sin y -sin y

(e +e ) d x d y +(e -sin x +e sin x ) d x d y =⎰⎰(e -sin x +e sin x ) d x d y ⎰⎰⎰⎰2D 2D

D

π

-sin x 0

=π⎰(e

+e

sin x

) d x ≥π⎰

π

5-cos 2x 5

d x =π2 22

即 xe sin y d y -ye -sin y d x ≥2

L

52

五、（10分）已知y 1=xe x +e 2x ，y 2=xe x +e -x ，y 3=xe x +e 2x -e -x 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设y 1=xe x +e 2x ，y 2=xe x +e -x ，y 3=xe x +e 2x -e -x 是二阶常系数线性非齐次微分方程

y ''+b y '+cy =f (x )

的三个解，则y 2-y 1=e -x -e 2x 和y 3-y 1=e -x 都是二阶常系数线性齐次微分方程

y ''+b y '+cy =0

的解，因此y ''+b y '+cy =0的特征多项式是(λ-2)(λ+1) =0，而y ''+b y '+cy =0的特征多项式是

λ2+b λ+c =0

''-y 1'-2y 1=f (x ) 和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y ''-y '-2y =0，由y 1'=e x +xe x +2e 2x ，y 1''=2e x +xe x +4e 2x y 1

''-y 1'-2y 1=xe x +2e x +4e 2x -(xe x +e x +2e 2x ) -2(xe x +e 2x ) 知，f (x ) =y 1

=(1-2x ) e x

二阶常系数线性非齐次微分方程为

y ''-y '-2y =e x -2xe x

2六、（10分）设抛物线y =ax +bx +2ln c 过原点. 当0≤x ≤1时, y ≥0, 又已知该抛物线

与x 轴及直线x =1所围图形的面积为转体的体积最小.

1

. 试确定a , b , c , 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋3

解因抛物线y =ax 2+bx +2ln c 过原点，故c =1，于是

112b ⎤a b ⎡a

=⎰(ax +bx ) dt =⎢x 3+x 2⎥=+ 302⎦032⎣3

即

1

b =

2

(1-a ) 3

1

1

而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积

V (a ) =π⎰(ax 2+bx ) 2dt =π⎰(ax 2+

214

2

(1-a ) x ) 2dt 3

114432

=πa ⎰x dt +πa (1-a ) ⎰x dt +π(1-a ) ⎰x 2dt

00039

114=πa 2+πa (1-a ) +π(1-a ) 2 5327

即

114

V (a ) =πa 2+πa (1-a ) +π(1-a ) 2

5327

令

V '(a ) =

得

218πa +π(1-2a ) -π(1-a ) =0， 5327

54a +45-90a -40+40a =0

即

4a +5=0

因此

53

a =-, b =, c =1.

42

'(x ) =u n (x ) +x n -1e x (n =1, 2, ) , 且u n (1) =七、（15分）已知u n (x ) 满足u n

级数

e

, 求函数项n

∑u

n =1

∞

n

(x ) 之和.

解

'(x ) =u n (x ) +x n -1e x ， u n

即

y '-y =x n -1e x

由一阶线性非齐次微分方程公式知

y =e x (C +⎰x n -1d x )

即

x n

y =e (C +)

n

x

因此

x n

u n (x ) =e (C +)

n

e 1

由=u n (1) =e (C +) 知，C =0， n n

x

于是

x n e x u n (x ) =

n

下面求级数的和：

令

x n e x

S (x ) =∑u n (x ) =∑n n =1n =1

∞

∞

则

∞x n e x e x n -1x

S '(x ) =∑(x e +) =S (x ) +∑x e =S (x ) +

n 1-x n =1n =1

∞

n -1x

即

e x

S '(x ) -S (x ) =

1-x

由一阶线性非齐次微分方程公式知

S (x ) =e x (C +⎰

1

x ) 1-x

令x =0，得0=S (0) =C ，因此级数

∑u

n =1

∞

n

(x ) 的和

S (x ) =-e x ln(1-x )

八、（10分）求x →1时, 与

2

-

∑x n 等价的无穷大量.

n =0

2

∞

2

解令f (t ) =x t ，则因当0

f (t ) =x =e

+∞0

t 2

-t 2ln

1

x

在(0,+∞) 上严格单调减。因此

∞

∞

⎰

f (t )d t =∑⎰

n =0

∞

n +1

n

f (t )d t ≤∑f (n ) ≤f (0)+∑⎰

n =0

n =1

n

n -1

f (t )d t =1+⎰

+∞

f (t )d t

即

⎰

又

∞

+∞0

f (t )d t ≤∑f (n ) ≤1+⎰

n =0∞

∞

+∞0

f (t )d t ，

∑f (n ) =∑x n ，

n =0

n =0

2

11

-

lim =lim =1 x →11-x x →1-1

ln

⎰

+∞0

f (t ) d t =⎰x d t =⎰e

∞

+∞

t 2

+∞

-t 2ln

1

x

d t =

1ln

1⎰x

+∞0

e -t d t =

2

1ln

12x

，

所以，当x →1时, 与∑x n 等价的无穷大量是

-

2

n =0

1π

。

21-x

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

一、（25分，每小题5分） （1）设x n =(1+a )(1+a 2) (1+a 2), 其中|a |

n →∞

n

（2）求lim e -x 1+

x →∞

⎛

⎝1⎫

⎪。 x ⎭

x 2

（3）设s >0，求I =

⎰

∞

e -sx x n dx (n =1,2, ) 。

∂2g ∂2g ⎛1⎫

（4）设函数f (t

) 有二阶连续导数，r =g (x , y ) =f ⎪，求2+2。

∂x ∂y ⎝r ⎭

（5）求直线l 1:⎨

⎧x -y =0x -2y -1z -3

==与直线l 2:的距离。 4-2-1⎩z =0

n

n

解：（1）x n =(1+a )(1+a 2) (1+a 2) =x n =(1-a )(1+a )(1+a 2) (1+a 2) /(1-a ) =(1-a 2)(1+a 2) (1+a 2) /(1-a ) = =(1-a 2) /(1-a )

n

n +1

∴lim x n =lim(1-a 2) /(1-a ) =1/(1-a )

n →∞

n →∞

n +1

11

ln e -x (1+) x x 2ln(1+) -x 1⎛⎫x x (2) lim e -x 1+⎪=lim e =lim e

x →∞x →∞x →∞

⎝x ⎭

2

x 2

令x=1/t,则

(ln(1+t ) -t )

原式=lim e

t →0

∞

t

=lim e

t →0n

1/(1+t ) -1

2t

=lim e

t →0

-

12(1+t )

=e

-

12

1∞n -sx 1n -sx ∞∞-sx n

I n =⎰e x dx =(-) ⎰x de =(-)[x e |0-⎰e dx ]=

00s 0s

（3）

∞n n n (n -1) n ! n ! -sx n -1e x dx =I =I = =I =n -1n -20

s ⎰0s s 2s n s n +1

-sx

二、（15分）设函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上具有二阶导数，并且

f ''(x ) >0, lim f '(x )=α>0, lim f '(x ) =β

x →+∞

x →-∞

证明：方程f (x ) =0在(-∞, +∞) 恰有两个实根。

解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需

在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开：

f '' (ξ) 2

f (x ) =f (0)+f (0)x +x

2

'

因为二阶倒数大于0，所以

x →+∞

lim f (x ) =+∞，lim f (x ) =-∞

x →-∞

证明完成。

⎧x =2t +t 2

三、（15分）设函数y =f (x ) 由参数方程⎨(t >-1) 所确定，其中ψ(t ) 具有二阶

⎩y =ψ(t )

导数，曲线y =ψ(t ) 与y =

⎰

t 2

1

e -u du +

2

3

在t =1出相切，求函数ψ(t ) 。 2e

t 2d 2y 3-u 2

解：（这儿少了一个条件2=）由y =ψ(t ) 与y =⎰e du +在t =1出相切得

12e dx

ψ(1)=

32'

，ψ(1)= 2e e

dy dy /dt ψ' (t ) == dx dx /dt 2+2t

d 2y d (dy /dx ) d (dy /dx ) /dt ψ'' (t )(2+2t ) -2ψ' (t )

==。。。 ==23

dx dx dx /d t (2+2t )

上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设a n >0, S n =

+∞

∑a , 证明：

k k =1

n

（1）当α>1时，级数

a n

收敛； ∑αS n =1n

（2）当α≤1且s n →∞(n →∞) 时，级数解：

（1）a n >0, s n 单调递增 当

∑S α发散。

n =1

n

+∞

a n

∑a n 收敛时，

n =1∞

∞

a n a n a n a n

，而收敛，所以收敛；

s n αs 1αs 1αs n α

当

∑a

n =1

n

发散时，lim s n =∞

n →∞

s n dx s n dx a n s n -s n -1

==

s n dx a n a 1∞s n dx a 1

所以，∑α

s n -1x αs 1x s s s 1n =1n n =21

∞

而

⎰

s n

s 1

s n 1-α-s 11-αa 1s 11-αdx a 1

=+lim =α+=k ，收敛于k 。 x αs 1αn →∞1-αs 1α-1

所以，

a n

收敛。 ∑αs n =1n

n →∞

∞

（2） lim s n =∞

所以

∑a

n =1

∞

n

发散，所以存在k 1，使得

k 1

∑a

n =2

k 1

n

≥a 1

a n k 1a n a n ∑1

于是，∑α≥∑≥2≥

s k 122s n 2s n

k 1

依此类推，可得存在1

k N

a 1a n 1

使得∑α≥成立，所以∑n ≥N ⋅α

s 2s 21k i n n

k i +1

当n →∞时，N →∞，所以

a n

发散 ∑α

n =1s n

2

2

2

∞

五、（15分）设l 是过原点、方向为(α, β, γ) ，（其中α+β+γ=1) 的直线，均匀椭球

x 2y 2z 2

+2+2≤1，其中（0（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(α, β, γ) 的最大值和最小值。 解：

（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离

d 2=(1-α2) x 2+(1-β2) y 2+(1-γ2) z 2-2αβxy -2βγyz -2γαzx

⎰⎰⎰xydV =⎰⎰⎰yzdV =⎰⎰⎰zxdV =0

Ω

Ω

Ω