转化与化归思想

转化与化归思想

时间：2011-05-18 11:39:43 来源： 作者：

虞红燕

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化, 进而得到解决的一种方法. 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等. 各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.

1.

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.

（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题， 通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.

（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解.

2.

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式. 常见的转化方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.

（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.

（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.

（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.

（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.

（6）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.

（7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.

（8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.

（9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.

（10）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把 原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集 UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.

3.

（1）把什么问题进行转化，即化归对象.

（2）化归到何处去，即化归目标.

（3）如何进行化归，即化归方法.

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.

解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难. 通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的

目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.

2. 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化. 除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的. 从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程. 化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程. 数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.

3. 转化有等价转化和非等价转化. 等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等

价性，或对所得结论进行必要的验证.

4. 化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律.

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

数学转换思想与化归思想的怎样区别。

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；

函数与方程函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解，有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的，

1. 转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.

数学中一切问题的解决(当然包括解题) 都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现. 各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段. 所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.

2. 转化包括等价转化和非等价转化

等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改.

3. 转化与化归的原则

将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.

4. 转化与化归的基本类型

（1）正与反、一般与特殊的转化；

（2）常量与变量的转化；

（3）数与形的转化；

（4）数学各分支之间的转化；

（5）相等与不相等之间的转化；

（6）实际问题与数学模型的转化.

两者还是有一些细微差别的

化归是“转化归结”的简称，是转化的一种，将一个未解决的问题通过转化归结为一个已经被解决的问题（通常是教材已经讨论过其一般解法的典型问题、基本问题或者研究之前已经解决的问题），它比一般的转化更强调转化的目标。

转化强调的是变换问题，与化归相比，目标相对模糊一点。

数形结合是代数问题与几何问题之间的相互转化，转化后的问题未必直接就是一个已经被解决的问题，还需要进一步地转化（当然最后问题的解决肯定是通过一系列的转化归结为一个或者若干个已经解决的问题）

方程思想是将问题化归为方程问题一种解题思想，可以看成一种比较典型的化归。

举一对例子，在数列求和中，典型的错位相减法是将一个不是等比数列求和问题化归为已经有公式可套的等比数列求和问题，是一种比较典型的化归；而裂项法是把求和问题转化为一串可以正负消的项，这种方法说成化归就比较勉

强了。

另外，化归由于其转化的目标性，一般不是双向的，而转化还可以是双向的。例如，解析几何的基本思想就是将几何问题化归为代数方程问题。但是，解析几何成功地建立了代数与几何之间的联系后，利用转化思想我们也可以通过这种联系用几何的方法来简化代数的计算，图形法求函数值域就是一例，将求函数值域问题转化为几何问题后，一般这类问题并不是“教材已经讨论过其一般解法的典型问题、基本问题”，其问题解决的主要关键点在于能否找到所求量的几何模型，以及这一几何模型的简单性和直观性。

一般地，在代数问题中化归思想比较普遍，而在经典几何证明问题中，转化用得更多些。

一点个人体会：用化归思想解决问题的思路一般有比较强的“算法”味道，而转化思想解决问题的思路技巧性更强一些。

当然，截然分清两者是很难的，机械地分清两者也没有多大意义，两者基本上是同一个东西，只是侧重点有一些细微的差异而已。

谢谢田版的指导！

我也模模糊糊的感觉二者是有区别的，这是肯定的，要不然也就没必要总是如影随形了，但具体区别说不上来，看了田版的回复，有点清楚了，数列求和那个例子很恰当，这样理解的话，转化，是无处不在的，不管转化得到何种结果，只要你对原问题进行了某种变形，都可以说是进行了“转化”，而化归则不然，一定是“非典型问题”化为了“典型问题”（即模式是现成的，已知的），才称得上是“化归”，对不对？我不觉得是玩文字游戏，因为很多打着数学解题思想的文章都在混淆或回避，忽视二者的区别，回头想想，可能就算混淆了也没啥恶劣影响，对学生来说，是转化还是化归，有啥区别？能解决问题就行了呗，呵呵

上面的理解非常的清楚，有理有据，佩服！

化归与转化的思想是最重要的数学思想之一！

对了，是思想而不是方法！在别的贴子中有提过关于思想与方法的区别，这里不多述。

化归本身是数学的专有名词（其它地方一般不用，字典中也应该查不到。），重点在“归”字上。归在字典中查应该有十来种含义，但是在这里只表示“属于”的含义。也就是说，在我们解决某一问题时，我们首先应该看一看它是属于哪一类题目。比如我们在解应用题的时候，首先应该判断它是哪一数学知识范围内的。它是代数的还是几何的？是函数的还是数列的或是三角的？这个过程就是化归的一个过程。即我们先确定它是属于哪一类的。再比如我们在具体的解某题时，对于已知条件与未知条件的分析之后，我们就应该确定这个题目属于我们学到的哪一知识领域的。当然，最近几年出题者把热点放在了知识交汇处。对于一个题目来说，它可能属于好几个知识点所涉及的内容。最典型的就是“观看蒙娜丽莎画像”一题。其中即有美术欣赏，又有数学的黄金分割。在解题的时候表面上是三角，其实又用到了几何，函数等知识。而从观看的角度又用到了物理学中的光学。从学科的角度或是从数学学科的知识的角度欣赏这道题都非常有“味”。那么，这个题目是属于什么范围的呢？我们把它化归

为什么学科？什么知识点呢？说的多了，不过只想说明一个问题，那就是化归的思想核心是“归”，就是我们确定它属于那里？是哪里的知识，是哪里的我们熟悉的内容（包括你尝到的已经有的所有的已知的）。然后选择适当的方法解决它。

转化可以是一种方法，但是在这里它是一种思想。

转化本身就是有方向的，无方向的转化是发散思维的一种，但最终还是有方向的。科学家做大量的实验，用各种各样的转化方法，一开始就有明确的方向。但是，也有无意的。比如不锈钢的出现就是一个偶然的发现。在实验中没能成功，但是在实验后的垃圾中发现了不锈钢。从而再加之有效的研究就成功了。但象这样的事是偶然的，而不是必然的。我们在解题的时候，是把已知的未知的都拿出来，找到它们之间的联系，完成它们的转化才大功告成。而这里面的转化都是有方向的。只是有时候我们的转化没能成功或是走了弯路，但是可以确定的是我们是有方向的。不论是把它化为等比，还是把它裂项，我们都清楚这样做可以完成，因为我们以前有完成的经验。

一般来说，转化总是把不熟悉的转化为熟悉的（比如不等式恒成立问题可以转化为求函数的最值问题），把复杂的转化为简单的（比如在分析应用题的时候我们用画简图的方法），把不同的转化为相似的或相同的（比如三角函数中我们把不同的角不同的名进行转化），„„这些，我们在教学的时候都会遇到。

综上所述：（1）化归与转化不是方法而是思想；（2）化归是这们找到我们研究的问题是属于哪一类型，属于哪一个知识范围。转化是我们找到解题的思路之后所进行的有目的的一项工作。

以上属于本人对该思想的理解，如有不当之处请指正。

我对化归的理解与上帝的老师有点不同

介绍化归有一个比较经典的故事，“烧开水问题的解决”。好象是一位数学家提出的：

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”

对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。” 提问者进一步问：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”

这时，一般人大概会说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”

而这位数学家却说：只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：“只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了”。

大家可以先对这个故事谈谈自己的体会

化归是把未解决问题转化归结到已经解决的问题上去，而转化一般是把较难解决的问题转化为相对比较容易解决的问题上去。转化成功并不意味着问题肯定得到解决（对解题者而言，容易与困难的判断往往是一种凭直觉的“合情推理”），而化归成功就意味着问题的解决，但并不一定是解法的优化。思想、策略、方法、技巧是同一种东西在不同抽象层次上的不同表现。心理学以前通称为“程序性知识”，后来又把它们分为“策略性知识”与“程序性知识”，粗略地讲，“思想、策略”可以归为前者，“方法、技巧”。

学习了！化归是转化的一种，化归与转化不是并列的是包涵的关系！？思想与方法是同一种东西在不同抽象层次上的不同表现。是啊，终归有所不同，不是全等啊，这样我很欣慰。但愿我们的讨论能对这些数学思想方法有更深的理解。就象分类与讨论的思想方法一样，多代的数学人都是这样说的。但是现在我们称之为：分类与整合的思想！为什么呢？就是我们的研究发展了原有的思想。因为我们发现，分类之后必须整合，原来的没有说整合，有点不全面，所以在02年的时候就改了。这就是研究的结果，研究能够发展。教研活动是我们发展的永远的主题。学习了