用笔也可算出平方根值[一次公式]

《一次公式》运用解析

赵文奎 QQ:152735974

摘 要：一次公式是一种用笔算或口算求根值的不含复杂运算的公式，它与初二课本所涉及

的求平方根值的公式（二次公式）相比，一次公式更加简单，而二次公式中本身就包含了根式的运算，因此，一次公式终将取代二次公式和《数学用表》中有关平方根的内容，但此公式不能对可开尽的根式进行精确的取值。

关键词：一次公式 求值 前借 后进 平方值

一、公式推导

例式： 6 3 4 7

× 6 3 4 7

4 4 4 2 9

2 5 3 8 8

1 9 0 4 1

3 8 0 8 2

8 ' 4 4 ' 0 9

4 0 ≈ 62 7 ≈

- 3 6

4 2 ≈ 3×6+3×6 = 36

3 ≈ 42÷2×6 - 3 6

6 8 ≈ 4×6+32+4×6=57 4 ≈ (68-32) ÷2×6 - 5 7

1 1 4 ≈ 6×7+3×4+4×3+6×≈ (114-2×3×4) ÷2×6

设：组

分 ABCD … LM 则：A ≈

B ≈ ［（ab-A 2）×10+c]①÷2A

C ≈ ［（①-2A·B ）×10+d-B2]②÷2A

D ≈ ［（②-2A·C ）×10+e-2B·C]③÷2A

E ≈ ［（③-2A·D ）×10+f-(2B·D+C2)]÷2A

F ≈ ［（④-2A·E ）×10+g-(2B·E+2C·D)]÷2A

G ≈ ［（⑤-2A·F ）×10+h-(2B·F+2C·E+D2）]÷2A

Z H O

N

G

我们把上式叫做一次公式的一般式，通常所说的一次公式是指一般式。从上式我们可以看出，一个根值公式从B 位开始均是由四部分组成，我们可以用‘中国’的‘中’字拼音Z 、H 、O 、N 、G 来表示一次公式，即： H+O-N ]÷Z ≈ [ G。

一次公式的另一种形式叫做化简式，化简式是将一般式中的O 部分退一位乘以10，如在求D 值时，将一般式中的e 变为d×10; 求E 值时，将一般式中的f 变为e×10；……

当Z > 9时，则需将Z 前一位重新递增计算，这样的算法叫做后进（B 除外）；当Z

⑥⑤④

综上所述：

一次公式：Z ≈ [ H+O-N ] ÷ G（前借后进）

二．一次公式检验方法

三种： 对于可开尽的根式（即根式的根值明限小数或自然数），其检验可开尽性的方法有以下

1) 将根值n 次方并进行运算检验；

2) 通过代表数知识检验；

3) 如果从Z 位开始以后均为0或可直接开尽，则可通过口算或运用适当的笔算或者

运用计算器进行乘法检验。

*三．n X 的一次公式（化简式）

设：3abc = ABC……

则有：A ≈ abc

B ≈ ［(abc-A3)×10-A·B]①÷[A×(3A+1)]

C ≈ {［(①-A·B×(3A+1)]×10-(A·B-A+2B3) }②÷[A×(3A+1)]

……

abc xyz = ABC……

则有：A ≈ abc

B ≈ ［(abc…-A )×10-(A·B -A) ]n n-2①n-2÷[A×(nA+n-2)]

C ≈ {［(①-A n-2·B×(nA+n-2)]×10-A·B n-2+A-(n-1)Bn }②÷[An-2×(nA+n-2)]

……

注意：①·X 的一次公式只是一种趋向精确的公式，其正确性尚且不明，并且在计算中，

有时存在着‘四舍五入’；

②·上列各字母乘号均用‘·’或‘×’表示，如果没有特殊说明，ab 、abc 、…等字

母组合均代表自然数。

四、相关知识

1．一次公式中的（－2A·X ）×10就是前一位数计算中余下和数乘以10；

2．在一般情况下，一次公式中H n ≥Hn-1，同时我们可以运用这个不等式来给Z 付值，

以此可避免一些‘前借’。

3．在开方时，一次公式也可运用短除法和短减法来表示，如（只写黑体部分）

7511 －49 ……… 72

÷14 74 ……… (56-49)×10+4

70 ……… 14×5 (G·Z) 43 ……… (74-70)×10+3 (H+O)

—25 ……… 52 (N) ……… 40-25 ÷14

14 ……… 14×1 (G·Z) 40 ……… (18-14)×10 (H+O)

－10 ……… 2×5×1 (N) 14 40-10 (H+O-N) ÷

14 ……… 14×1 (G·Z) 160 …… (30-14)×10 (H+O)

－11 …… 2×5×1+1 (N) ÷ 14 149 …… 160-11 (H+O-N)

126 …… 14×9 (G·Z) 230 …… (149-126)×10 (H+O)

n-2n-2n …… 4. 在X 的一次公式中，H =［(①-A ·B ×(nA+n-2)]×10；0=A；N=A·B +(n-1)B；

n-2G=A×(nA+n-2)。

五、知识运用

例1：求69423874的值（精确至整数）。

≈ ABCD.E 解：设69423874

根据一次公式得：A=69≈8

B =［（69-82）×10+4］‚2×8=54‚16≈3

2C =［（54-48）×10+2-3］‚16=53‚16≈3

D =［（53-48）×10+3-2×3×3］‚16=35‚16≈2

E =［（35-32）×10+8-（2×3×3+3）］‚16=17‚16≈1

所以69423874 ≈ 8332.1 ≈ 8332 2

例2：求29864的值（精确到整数位）。

解：设29864 ≈ ABC.D

根据一次公式得：A=1

B =［（2-1）×10+9］÷2=19÷2≈9

C =［（19-18）×10+8-92］÷2 =-63‚2≈ -31

因为B =-31

所以根据‘前借’原则 ，需在B 位上借‘2’，以此使C>0，且B 最大，C 最小。

所以：B=7

C=［（19-14）×10+8-72］÷2=9÷2≈4

D=［（9-8）×10+6-2×7×4］÷2=- 40‚2≈-20

又因为D=-20

所以根据‘前借’原则，需在C 位借‘2’，以此使D>0，且C 最大，D 最小。

所以：C=2

D=［（9-4）×10+6-2×7×2］÷2=28÷2≈9

所以29864≈ 172.9 ≈ 173

例3：综合解法 求2916的值（值为整数）。

解：根据一次公式分组原理可知，2916的值为两位整数。

解法一：运用一次公式求值（化简式） 设2916=AB

则：A=5 B =（29-52）×10÷10=40÷10=4 即2916=54

2916

解法二：运用二次公式求值

5 4

104 416

20×5+4 416

0 即2916=54

解法三：运用因式分解法求值 2 2916

2 3 2222 3 即2916=2×2×3×3×9×9=2×3×9=54

9 所以2916

解法四：运用代表数知识求值

∵［2916］=（2+9+1+6）=18 =9

Ⓓ ∴［2916］= 9或6或3 Ⓓ Ⓓ Ⓓ =54

∵2916值的十位上是29≈5

∴当［2916Ⓓ ］= 9时，2916=54

当［2916］Ⓓ = 6时，2916=51

当［2916］Ⓓ = 3时，2916=57

检验得2916=54

解法五：直接观察法

十位：62 > 29 > 52

个位：6是42=16或62=36中个位上的6，所以2916的值个位可能是4或是6 即：2916=54或是2916=56

经检验得2916=54