正多边形与圆的一个性质及其证明
07-10
正多边形与其内切圆的一个性质及其证明
正多边形和圆是两种有多条对称轴甚至有无数条对称轴的对称而完美的图形。它们之间有一个奇妙的性质，即正多边形和它的内切圆的周长之比与它们的面积之比相等。证明如下：
如图，AB是正n边形之一边，（n≥3，n是自然数）圆O是其内切圆，点C是圆O在AB边上的切点，也是AB边上的高OC的垂足。
假设圆O的半径为1（1个单位长），根据正n边形与其内切圆的关系可知，∠AOB等于圆周角的1/n，即∠AOB=2/n。
由于OC平分∠AOB，则∠AOC=∠AOB/2=2/n÷2=/n.
根据正切函数的意义得：
AC=OC×tan∠AOC=1×tan/n= tan/n
又AC=BC，则AB=2AC=2×tan/n=2 tan/n.
所以正n边形的周长是：
AB×n=2tan/n×n=2ntan/n.
圆O的周长是1×2×=2。
则正n边形与圆O的周长之比是：
2ntan/n:2= ntan/n:.
又因为OC是△OAB之一边AB上的高，所以△OAB的面积是： AB×OC×1/2=2ntan/n×1×1/2=tan/n。
正n边形的面积是△OAB的n倍，则正n边形的面积是： tan/n×n= ntan/n。
圆O的面积是×12=。
所以正n边形与圆O的面积之比是ntan/n:。
正n边形与其内切圆的周长之比和面积之比都是ntan/n:，所以正n边形与其内切圆的周长之比和面积之比确实相等。但是正多边形与它的外接圆的周长之比和面积之比却不相等，这多少有些令人意外。（证明方法大同小异，这里不再赘述）这也说明事物之间的关系是复杂的，有一致的地方，也有不一致的地方，必须小心谨慎，不能轻易下结论。
2012年7月27日