圆锥曲线解题要点

圆锥曲线解题要点

圆锥曲线是高中数学的难点和重点内容，同学们做题常常不得要领，请阅读此文，认真体会，是否对你有一定帮助。

一、定义法解题： 第一定义解题的应用:

例1、已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支

分析：由定义知道，可能为双曲线；很容易选D，仔细观察后，由于2a=2c;只能是一条射线。第一定义中要重视“括号”内的限制条件 故本题答案为C

x2y2

1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A,B，例2、已知F1,F2是椭圆

169

若AB5，则|AF1||BF2|

A.3 B.8 C.13 D.16

分析：由定义知道，AF1+AF2=2a；再根据AB5很容易选A

x2y2x2

y21的公共焦点为F1,F2，P是两曲线1和双曲线例3、设椭圆

362

的一个公共点，则cosF1PF2的值等于 1113A. B. C. D. 4395分析：设PF1为x,PF2为y，由椭圆、双曲线的定义知道，x+y=2倍根号6;x-y=2倍根号3；再根据三角形F1PF2中的边角关系，由余弦定理和 xy、x2+y2的整体代入，可得答案为B

x2

y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足例4、设F1,F2为双曲线4

F1PF2900，则F1PF2的面积是

C.2 D. 2

此题答案为A.1

x2y2

1上的点，F1、F2 是两个焦点，则PF1PF2的最大值例5、P是椭圆94

与最小值之差是______. 此题答案为5

A.1 B.

例6、定点F1(3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( )

A．PF1PF24 B．PF1PF26

C．PF 1.（C）； 1PF210D．PF12PF2

2

12

例7

8表示的曲线是（双曲线的左支）

第二定义解题的应用:

例1

A.

3x4y6

的离心率为

10

11

B. C.2 D.无法确定 102

分析：由定义知道，对上式稍加变型，右边是点到直线的距离公式，把10分解

1

为2与5的积，就得到点到定点的距离与此点到定直线的距离为，此题答案

2

1为B.

2

例2、若椭圆

x

2

4



y

2

3

1内有一点P

1,1，F

为右焦点，椭圆上的点M使得

│MP│+2│MF│的值最小，则点M为

33A.(

B. C.(1,) D.(1,)

2233

分析：由定义知道2│MF│即是M点到右准线的距离，此题转化为P点到右准线的距离。很容易得到答案

B.(

3

x2

例3、已知点Q(22,0)及抛物线y上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是

4

___（2）

二、联立方程组，相减求斜率；代入构建一元二次方程，利用△值或韦达定理解决有关问题。

例一、双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过



ABOB成等差数右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知OA

列，且BF与FA同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OAmd，ABm，OBmd 由勾股定理可得：(md)2m2(md)2 得：d

1bAB4

m，tanAOF，tanAOBtan2AOF 4aOA3

b

4，解得b1,

则离心率e 由倍角公式2

a232b

1a

2

ax2y2

（Ⅱ）过F直线方程为y(xc),与双曲线方程221联立

bab

将a

2b，c

代入，化简有

152xx21

0 24b

41x2解得b3 将数值代入，有4x2y2

1。 故所求的双曲线方程为

369

例二、如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为 直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p

）时，AB求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D

2

在抛物线x2py(p＞0)上，其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证明：由题意

设

2

x12x2

A(x1,),B(x2,),x1＜x2,M(x0,2p).

2p2p

xx2

由x2py得y，则y,

p2p

2

所以kMA

x1x

,kMB2. pp

x1

(xx0), p

x2

(xx0). p

因此直线MA的方程为y2p

直线MB的方程为y2p

x12x所以2p1(x1x0),

2pp

2x2x

2p2(x2x0). 2pp

①

②

2

x1x2

x1x2x0, 由①、②得

22

x1x2

因此 x0，即2x0x1x2.

2

所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时， 将其代入①、②并整理得：

x124x14p20,

2

x24x24p20,

所以 x1、x2是方程x24x4p20的两根，

因此x1x24,x1x24p2,

2

x2x12



2p2px1x2x0, x2x12pp

又kAB

所以kAB

2. p

由弦长公式得

AB

又AB

所以p=1或p=2，

因此所求抛物线方程为x22y或x24y.

（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2),

xxxyy2y3

), 则CD的中点坐标为Q(123,1

22

设直线AB的方程为yy1

x0

(xx1), p

x1x2y1y2

,)也在直线AB上， 22

由点Q在直线AB上，并注意到点( 代入得y3

x0

x3. p

2

若D（x3,y3）在抛物线上，则x32py32x0x3,

因此 x3=0或x3=2x0.

2

2x0

即D(0，0)或D(2x0,).

p

（1）当x0=0时，则x1x22x00，此时，点M(0,-2p)适合题意.

2

x12x2

2

x12x22p

,

2x04px0

2

x12x2

（2）当x00，对于D(0，0)，此时C(2x0,),kCD

2p

又kAB

x0

,AB⊥CD， p

22

x0x12x2x12x21, 2

p4px04p

所以kABkCD

2

即x12x24p2,矛盾.

22

2x0x12x2

对于D(2x0,),因为C(2x0,),此时直线CD平行于y轴，

p2p

又kAB

x0

0, p

所以 直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾， 所以x00时，不存在符合题意的M点.

综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意

例三、已知抛物线C：y2x2，直线ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；



（Ⅱ）是否存在实数k使NANB0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设A(x1，把ykx22x12)，B(x2，2x22)，代入y2x2得2x2kx20， 由韦达定理得x1x2

k

，x1x21， 2

． 

kk2x1x2k

，N点的坐标为xNxM2448

k2k

设抛物线在点N处的切线l的方程为ymx，

84

mkk2

0， 将y2x代入上式得2xmx48

2

2

直线l与抛物线C相切，

mkk2

m8m22mkk2(mk)20，mk．

84

2

即l∥AB．



（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB0，则NANB，又M是AB的中点，

|MN|

1

|AB|． 2

111

由（Ⅰ）知yM(y1y2)(kx12kx22)[k(x1x2)4]

222

k21k2

42．

224

k2k2k216

MNx轴，|MN||yMyN|2．

488|x1x2| 又|AB|

16．

k216，解得k2．

8

即存在k2，使NANB0．

2

解法二：（Ⅰ）如图，设A(x1，2x12)，B(x2，2x2)，把ykx2代入y2x2得

k

2x2kx20．由韦达定理得x1x2，x1x21．

2kk2x1x2k

，N点的坐标为xNxM2448

2

．y2x，y4x， 

抛物线在点N处的切线l的斜率为4

k

k，l∥AB． 4



（Ⅱ）假设存在实数k，使NANB0．

kk2kk222

由（Ⅰ）知NAx1，2x1，NBx2，2x2，则

4848kk2k22k2

NANBx1x22x12x2

4488

kk2k22k2

x1x24x1x2

441616

kkkk

x1x214x1x2

4444

kk2k2x1x2x1x214x1x2k(x1x2)

4164

kkk2kk2

114(1)k

421624

k23

13k2

164

0，

3k2

10，3k20，解得k2．

416



即存在k2，使NANB0．

例四、已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F13,0，一条渐近线的方程是5x2y0．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以kk0为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且

81，求k的取值范围． 2

本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．

线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

x2y2

（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为221（a0,b0）．由题设得

aba2b292

x2y2a4

1． ，解得2，所以双曲线方程为b45b5

2a

（Ⅱ）解：设直

线l的方程为ykxm（k0）．点M(x1,y1)，N(x2,y2)

的坐标满足方程

ykxm



组x2y2

154

x2(kxm)2

1，整理得(54k2)x28kmx4m2200．将①式代入②式，得

45

此方程有两个一等实根，于是

54k20

，且

(8km)24(54k2)(4m220)0．整理得m254k20． ③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足

x1x24km5m

ykxm，． 00

254k254k2

5m14km

(x)． 从而线段MN的垂直平分线方程为y22

54kk54kx0

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(

9km9m

,0)(0,)．由题设可得，

54k254k2

19km9m81(54k2)22

||||．整理得m，k0． 22254k54k2|k|

(54k2)2将上式代入③式得54k20，整理得(4k25)(4k2|k|5)0，

|k|

k0．

解得0|k|

5或|k|．

455

所以k

的取值范围是(,)((,)．

44

例五、在直角坐标系xOy中，点P

到两点(0

，(0的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程；



（Ⅱ）若OAOB，求k的值；



（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有|OA|>|OB|．

本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力

解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C

是以(0，(0为焦点，长半轴为2

的椭圆．它的短半轴b1，

y2

1． ·故曲线C的方程为x························································· 3分 4

2

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足

2y2

1，x

4

ykx1.

消去y并整理得(k24)x22kx30， 故x1x2

2k3

xx． ···················································· 5分 12

k24k24



若OAOB，即x1x2y1y20．

而y1y2k2x1x2k(x1x2)1，

33k22k2

10， 于是x1x2y1y22

k4k24k24

1

化简得4k210，所以k． ······················································ 8分

2

22

22y2) （Ⅲ）OAOBx12y12(x2

22

(x12x2)4(1x121x2)

3(x1x2)(x1x2) 

6k(x1x2)

．

k24

3

知x20，从而x1x20．又k0， 2

k4

因为A在第一象限，故x10．由x1x2

22

故OAOB0，

即在题设条件下，恒有OAOB． ·················································· 12分

例六、已知l1、l2是过点P(-2,0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2 (I)求l1的斜率k1的取值范围；

(II)若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程

解：(I)依题设，l1、l2的斜率都存在，因为l1过点P(-2,0)且与双曲线有两个交点，故方程组

yk1(x2)(k10)

y2x21

(1)

(1分)

有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得

222(k11)x222k1x2k110

(2)

若k21-1=0,则方程组①只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故k21-1≠0即|k1|≠1方程②的判别式为

22222

1(22k1)4(k11)(2k11)4(3k11)

设的斜率为k2，因为l2过点P(-2,0)且与双曲线有两个交点，故方程组

yk2(x2)(k20)

y2x21

(3)

有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得

222

(k221)x22k2x2k2102同理有k2210,24(3k21)

(4)

又因为l1⊥l2,所以有k1·k2=-1. 4分 于是,l1、l2与双曲线各有两个交点，等价于

23k1102

3k210

k1k21|k1|1

解得

3k1(6分)3|k1|1

k1(3,1)(1,

33

)(,1)(1,)(7分)333

(Ⅱ)设A1(x1y1),B1(x2y2)1.由方程②知

22

22k12k11

x1x2,xx,1222

k11k11

∴│A1B1│2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

2

(1k1)(x1x2)222

(1k1)(3k11)4(5)2

(k11)2

(9分)

2

22

(1k1)(3k1)

|A2B2|42

2(1k)1同理，由方程④可求得，|A2B2|,整理得⑥

由|A1B1|=5|A2B2|,得|A1B1|2=5|A2B2|2

将⑤、⑥代入上式得

2222

4(1k1)(3k11)4(1k1)(3k1)

5222

(k11)2(1k1)

解得k12

2

(x2)22

取k12时,l1:y2(x2),l2:y(x2)(12分)

2 取k12时,l1:y2(x2),l2:y

三、充分利用平面几何知识、三角形知识，简化解题过程。

x2y2xy

112416128例一、已知椭圆，直线l:,P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，

又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2.当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.

解：由题设知点Q不在原点.设P,R,Q的坐标分别为(xp,yp),(xR,yR),(x,y),其中x,y不同时为零.

设OP与x轴正方向的夹角为α,则有 xp=│OP│cosα,yp=│OP│sinα; xR=│OR│cosα,yR=│OR│sinα; x=│OQ│cosα,y=│OQ│sinα; 由上式及题设条件|OQ|·|OP|=|OR|2，得

|OP|xx(1)p|OQ||OP|ypy(2)|OQ|

2|OP|2xx(3)R|OQ||OP|2y2y(4)R|OQ|

由点P在直线l上,点R在椭圆上,得方程组

将①,②,③,④代入⑤,⑥,整理得点Q的轨迹方程为

(x1)2(y1)2

1(其中x、y不同时为零) 5523

xpyp112822xyRR12416

(5)(6)

与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点.

x2y2

例二、设椭圆C:221(ab

0)过点M

，且着焦点为F1( ab

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交与两不同点A,B时，在线段AB上



取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上

解 (1)由题意：

c22

x2y22122

1 221 ，解得a4,b2，所求椭圆方程为

ab42222cab

(2)方法一

设点Q、A、B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)。

APAQ

由题设知AP,PB,AQ,QB均不为零，记,则0且1

PBQB



又A，P，B，Q四点共线，从而APPB,AQQB

x1x2yy2

， 11 11xx2yy2

x1， y1

11

从而

于是 4

x122x22y122y22

4x，（1） y，（2）

1212

又点A、B在椭圆C上，即

22

x122y124,(3) x22y24,(4)

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得4s2y4

即点Q(x,y)总在定直线2xy20上 方法二



设点Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由题设，PA,PB,AQ,QB均不为零。

PAPB且 

AQQB



又 P,A,Q,B四点共线，可设PAAQ,PBBQ(0,1),于是

4x1y

,y1 （1） 114x1y

,y2 x2 （2） 11

x1

由于A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程

x22y24,

整理得

(x22y24)24(2xy2)140 （3） (x22y24)24(2xy2)140 (4)

xy2) 0(4)－(3) 得 8(2∵0,∴2xy20

即点Q(x,y)总在定直线2xy20上

附圆锥曲线部分填空选择题：

一． 选择题：

x2y2

1.（福建卷11)又曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P

ab

为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为B

A.(1,3)

B.1,3

C.(3,+)

D.3,

2.（海南卷11）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距

离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ） A. （

1

，－1） 4

B. （

1

，1） 4

C. （1，2） D. （1，－2）

3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①a1c1a2c2; ②a1c1a2c2; ③c1a2a1c2; ④其中正确式子的序号是B

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

3ax2y2

4.（湖南卷8）若双曲线221（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点

2ab

c1c

＜2. a1a2

的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )

A.(1,2)

B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)



A

B



5.（江西卷7）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C

1 D

． A．(0,1) B．(0,] C

．2CD

6.（辽宁卷10）已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A

．

2

B．3 C

D．

9

2

x2y2

7.（全国二9）设a1，则双曲线2（ B ） 1的离心率e的取值范围是

a(a1)2A

．2)

B

．

C．(2，5)

D

．(2

5

，焦点在X轴上且长轴长为26.若曲线13

C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A

8.（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为

x2y2x2y2

（A）221 (B)221

13543x2y2x2y2

(C)221 (D)221

131234x2y2

9.（陕西卷8）双曲线221（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，

ab

过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ） A

B

C

D

10.（四川卷12）已知抛物线C:y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C

上且AK，则AFK的面积为( B )

（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32

x2y2

11.（天津卷（7）设椭圆221（m0，n0）的右焦点与抛物线y28x

mn

的焦点相同，离心率为

1

，则此椭圆的方程为B 2

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 （D）1 1 （B）1 （C）（A）

[**************]2x2y2

12.（浙江卷7）若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为3：

ab

2,则双曲线的离心率是D

（A）3 （B）5 （C） （D） 13.（浙江卷10）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运

动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是B

（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线

x2y2

14.（重庆卷(8)已知双曲线221（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞

ab

0),离心率e

,则双曲线方程为C

x2y2

（A）2－2=1

a4ax2y2

(C)221

4bb

x2y2

(B)221

a5a

x2y2

(D)221

5bb

二． 填空题：

x2y2

1的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双1.（海南卷14）过双曲线

916

曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______

32 15

x2y2

2.（湖南卷12）已知椭圆221（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心

ab

率e

1则直线FM的斜率等于 . 过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，

2x2y2

3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆221( ab0)的焦距为2，

ab

a2

以O为圆心，a为半径的圆，过点,0作圆的两切线互相垂直，则离心率

c

e

．

2

4.（江西卷15）过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则

AF

1

 ．

3FB

5.（全国一14）已知抛物线yax21的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标

轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．2 6.（全国一15）在△ABC中，ABBC，cosB

7

．若以A，B为焦点的椭18

3

圆经过点C，则该椭圆的离心率e ．

8

7.（全国二15）已知F是抛物线C：y24x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设FAFB，则FA与FB的比值等于

．3x2y2

1的两个焦点，过F1的直线交椭圆8.（浙江卷12）已知F1、F2为椭圆

259

于A、B两点若F2AF2B12，则AB=______________。8