压力作用下六方钛电子结构和弹性性质的第一性原理计算 - 副本
第３１卷第４期
２００９年８月
＝一＝＝＝＝＝篁＝＝＝＝毒；＝＝；＝＝＝牟＝昌＝＝罩昌；＝＝＝＝＝＝＝一
ｉ峡大学学报（自然科学版）
Ｖ０１．３１Ｎｏ．４Ａｕｇ．２００９
ＪｏｆＣｈｉｎａＴｈｒｅｅＧｏｒｇｅｓＵｎｉｖ．（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）
压力作用下六方钛电子结构和弹性性质的第一性原理计算
刘其军
刘正堂
冯丽萍
７１００７２）
（西北工业大学材料学院，西安
摘要：通过基于密度泛函理论（ＤＦＴ）框架下广义梯度近似（ＧＧＡ）平面波超软赝势法，计算了六方钛在压力作用下的电子结构和弹性性质．结果表明：随着压力的增加，导致状态密度的展宽和状态密度峰值的减小，同时费米面向高能方向移动；计算所得在０ＧＰａ下的弹性常数与实验结果相符，说明采用广义梯度近似可合理计算六方金属钛的弹性性质，据此还计算了不同压力下的弹性常
数，为六方金属钛的实际应用提供了理论依据．
关键词：六方钛；电子结构；弹性常数；第一性原理
文章编号：１６７２—９４８Ｘ（２００９）０４－００７２—０４
中图分类号：ＴＮ３０４．２文献标识码：Ａ
ＦｉｒｓｔＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄＥｌａｓｔｉｃＣｏｎｓｔａｎｔｓ
ｏｆＨｅｘａｇｏｎａｌＴｉＣｒｙｓｔａｌｕｎｄｅｒＰｒｅｓｓｕｒｅＬｉｕＱｉｊｕｎ
ＬｉｕＺｈｅｎｇｔａｎｇ
ＦｅｎｇＬｉｐｉｎｇ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｅｒｉａｌｓＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖ．，Ｘｉ’ａｎ７１００７２，Ｃｈｉｎａ）
ＡｂｓｔｒａｃｔＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ａｎｄｅｌａｓｔｉｃ
ｃｏｎｓｔａｎｔｓ
ｏｆｈｅｘａｇｏｎａｌＴｉｕｎｄｅｒｐｒｅｓｓｕｒｅｈａｖｅｂｅｅｎｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ
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ｃｒｅａｓｅｓ
ｓｔａｔｅｓ
ｔｈｅｄｅｎｓｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｔｈｅｏｒｙ（ＤＦＴ）．Ｔｈｅ
ｓｔａｔｅｓ
ｉｎｃｒｅａｓｅｓ。ｔｈｅｖａｌｕｅｓｏｆｄｅｎｓｉｔｙｏｆ
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ｐｅａｋｓｄｅ－
ａｎｄｔｈｅＦｅｒｍｉｍｏｖｅｓ
ｔＯ
ｔｈｅｈｉｇｈｅｎｅｒｇｙｓｔａｔｅ．Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｅｌａｓｔｉｃｕｎｄｅｒ０ＧＰａｉｓｉｎｇｏｏｄ
ａｐ—
ａｇｒｅｅｍｅｎｔｗｉｔｈｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａ，ｗｈｉｃｈｉｎｄｉｃａｔｅｓｔｈａｔｕｓｉｎｇＤＦＴｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｇｒａｄｉｅｎｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ
ｐｒｏａｃｈｏｆｆｅｒ
ａ
ｔＯ
ｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｅｌａｓｔｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｉｓｒｅｌｉａｂｌｅ．Ｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｅｌａｓｔｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｐｒｅｓｓｕｒｅｓ
ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｆｏｒｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｈｅｘａｇｏｎａｌＴｉ．
ｈｅｘａｇｏｎａｌＴｉ；
ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
ｅｌａｓｔｉｃ
ｃｏｎｓｔａｎｔｓ；
ｆｉｒｓｔ
ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ
钛具有密度小、比强度高、耐高温、耐腐蚀和良好的生物相容性，是继铁、铝之后崛起的“第三金属”，被广泛用于航空、航天、化工、冶金、电力以及生物工程等领域［】‘４］．从晶体学角度看，金属钛是一种同质异构体，具有两种晶相，密排六方相和体心立方相，也分别称为口相和口相，在８８２．５（土０．５）。Ｃ将发生从密排六方向体心立方的同素异形转变［１］．目前，对金属钛的制备工艺进行了广泛的研究【５。１川，对金属钛的电子结构和弹性性质也进行了相关报道【１２－１４］，但是，在压力
作用下对金属钛的电子结构和弹性常数的分析尚未涉及，而这些对于金属钛及其合金在诸多领域中的应用有着十分重要的意义．因此，本文采用基于密度泛函理论（ＤＦＴ）的平面波超软赝势法计算了六方金属钛在压力作用下的电子结构和弹性常数．
１计算方法和模型
采用Ａｃｃｅｌｒｙｓ公司的ＭａｔｅｒｉａｌｓＳｔｕｄｉｏ中的
收稿日期：２００９—０４．２０
基金项目：航卒科学基金（２００８ＺＦ５３０５８）；教育部博士点基金（２００８０６９９１０３２）；西北工业大学基础研究基金（ＮｗＰＵ～ＦＦＲ－－Ｗ０１８１０８）通讯作者：刘其军（１９８５一）．男．博士研究乍，主要研究方向为功能薄膜材料的理论计算及实验研究．
万方数据
第３ｌ卷第４期刘其军等压力作用下六方钛电子结构和弹性性质的第一性原理计算
７３
ＣＡＳＴＥＰ模块进行计算．此模块基于密度泛函方法的从头算量子力学程序：利用平面波赝势方法，将离子势用赝势替代，电子波函数用平面波基矢组展开，电子一电子相互作用的交换和相关势由局域密度近似（ＬＤＡ）或广义梯度近似（ＧＧＡ）进行校正，它是目前较为准确的电子结构计算的理论方法［１
５。．
由广义胡克定律‘１６－１８］可知，在弹性范围内，由于晶体结构本身的对称性，六方晶体的独立弹性常数为
５个，分别为Ｃ…Ｃ。：、Ｃ叭ｃ３。和Ｃ４。，这些弹性常数可
以通过对优化的原胞施加作用力引起变形而获得．在小变形情况下，弹性应变能Ｕ在平衡点处按泰勒公式展开，同时略去三阶以上的项，则可以得到
Ｕ（￡护Ｕｏ＋（飘ｅ。＋丢（罴ｉ）ｏｅｆｅ，（１）
傀ｆ
二傀ｊ傀
由于在平衡点处应力、应变和应变能均为０，故
Ｕｏ＝ｏ，（掣）。＝ｏ，则公式（１）化简为
ｕ（￡ｉ）＝寺ｃ。￡ｆ￡Ｊ
（２）
式中，ＣⅡ＝（兰）。．通过公式（２），便可知道六方晶
’
ｄ￡ｆｄｅ，
体的应变能与弹性常数的关系为
Ｕ一÷（ｃｌｌ￡｝＋Ｃ１Ｉｅ；＋Ｃ３３￡；）＋Ｃ１２ｅｌｅ２＋
ｃ，。￡ｌ￡３＋ｃｌ。ｅ２￡３＋２［Ｇ。ｅｉ＋Ｃ４。￡｝＋（！生碧）ｅ：］
（３）
由此，便可以利用第一性原理计算原胞在发生变形时的结合能曲线，通过求解结合能曲线在平衡点处的二阶微商求出各独立弹性常数．
在用上述方法计算得到弹性常数后，进而可求算体积模量、剪切模量和杨氏模量．对于六方金属钛而言，其体积模量和剪切模量有两种不同的计算方法，一种是ＲｅｕｓｓＣｌ９３提出的在晶粒边界上的应变连续性来计算，另一种是ＶｏｉｇｔＥｚ０３提出的在晶粒边界上的应力连续性来计算．ＨｉｌｌＥ２１１通过极值原理证明Ｒｅｕｓｓ和Ｖｏｉｇｔ模型的计算结果分别是弹性常数的下限和上限，因此Ｈｉｌｌ模型取Ｒｅｕｓｓ和Ｖｏｉｇｔ模型计算结果的算术平均值
ＢＨＩｌｌ一÷（ＢＲ。。。。＋Ｂｖ啦。）
（４）Ｂ胁。。一［（２ｓｌｌ＋ｓ３。）＋２（ｓ１２＋２Ｓ１３）］＿１
（５）Ｂｖ蛳＝百１１．（２ｃｌｌ＋Ｃ３３）＋音（ｃ１２＋２Ｃ，３）
（６）
ＧＨｉｌ，一÷（ＧＲ。。＋Ｇｖｏ神）
（７）
ＧＲｅｕ。，＝１５１４（２５１ｌ＋ｓ。３）一４（ｓ１２＋２Ｓ１３）＋
万
方数据６（ｓ“＋ｓｌｌ—ｓ１２）］－１
（８）
ＧⅧ舭一素（２ｃＩｌ＋Ｃ３３一ｃ１２—２Ｃ，３）＋
１（２Ｃ４。＋毕）
（９）
式中，Ｓｊ为弹性柔度张量．根据Ｒｅｕｓｓ、Ｖｏｉｇｔ和Ｈｉｌｌ模型计算得到的体积模量和剪切模量可以分别求得杨氏模量
Ｅ一孝惫
㈣，
其中，Ｘ—Ｒｅｕｓｓ、Ｖｏｉｇｔ或者Ｈｉｌｌ．在本文的计算中，交换关联能采用广义梯度近似（ＧＧＡ）中的ＰＷ９１，平面波截断能Ｅ。。取为３５０ｅＶ．自洽精度设为每个原子能量收敛至５．０×１０～ｅＶ，作用在每个原子上的力不超过０．０１ｅＶ／ｎｍ，内应力不大于０．０２ＧＰａ．在模型的结构优化中，采用了ＢＦＧＳ算法，布里渊区积分采用Ｍｏｎｋｈｏｒｓｔ—Ｐａｃｋ的１０×１０×６进行分格．在用超软赝势描述价电子与芯态关系时，钛的结构为［Ａｒ］３ｄ２４ｓ２，价电子取３ｓ２、３ｐ６、３ｄ２和４ｓ２．
２计算结果与讨论
２．１晶体结构和电子结构
六方金属钛的空间群为Ｐ６。／ｒｏｍｅ，对称型为Ｄ＆，如图１所示．为了获得精确的计算结果，首先优化了晶胞的结构，得到了晶格参数ａ一０．２９３
６ｒｉｍ，
ｆ一０．４６３１ａｍ，与文献［１］值ａ一０．２９５
１ｎｍ，ｆ＝
０．４６８４
ａｍ相符，表明所采用的计算方法和模型较合
理．在施加压力后，计算得到六方金属钛的基态品格结构，从在压力作用下六方金属钛总能量随体积变化的关系图（图２）中可以看出，随着压力的增加，六方钛的体积减小，能量升高；计算得到压力在１０
ＧＰａ，
２０ＧＰａ，３０ＧＰａ，４０ＧＰａ和５０
ＧＰａ下的品格常数分别
为口一０．２８５６ａｍ（ｆ一０．４５２０ｎｍ），ａ＝０．２７９５
ｎｌＴｌ
（ｃ＝０．４４３５ｎｍ），ａ＝０．２７４４ｎｍ（ｃ一０．４３６７ｎｍ），ｎ一０．２６９８ｎｍ（ｃ＝０．４３１４ｎｍ）和ａ＝０．２６５７ｒｉｍ（ｆ＝Ｏ．４２７０ａｍ）．
图１六方金属钛的晶体结构
７４三峡大学学报（自然科学版）
２００９年８月
结合力增大；同时，在压力作用下，费米面向高能方向移动，说明金属钛中的电子随着压力的增加活动范围扩大，具有更高的能量，这也解释图２中总能量随体积的变化关系，即随着压力的增加，六方钛的能量增加．
５０５０
Ｖｏｌｕｍｅ（ｎｍ３×ｌ０。’、
５０５Ｏ
图２压力作用下六方金属钛总能量随体积变化的关系
图３在几何结构优化后，０ＧＰａ下六方金属钛沿布里渊区高对称点方向的能带结构，可见，费米能级穿过能带，即费米能级位于不满的能带中，说明了钛的金属性；但与费米能级相交的能带比较窄，由此产生的定域态导致金属钛具有较低的电导率．
４０３０２０１０
５０５０
５０５０５Ｏ
．一≈历签．／≥《三心。
兰竺；
５０
≥
童０
室一１０
盘
一２０－３０－４０－５０－６０
Ｇ
Ａ
≮《／一、
二乒互！
—≮＝＝
羹
≮鼍滔篓三蕊疹乏
歹匙
、——／
————
５０５Ｏ
一６０一５０—４０—３０—２０一１０
Ｅｎｅｒｇｙ／ｅＶ
Ｏ
１０
＝／
≤
２０
图４六方金属钛在压力作用下的分态密度图
２．２弹性常数
利用ＣＡＳＴＥＰ求解了在不同压力下晶胞发生变
Ｈ
Ｋ
Ｇ
Ｍ
Ｌ
Ｈ
形时的结合能曲线，计算了六方金属钛的弹性常数，并与在０ＧＰａ下获得的结果［１２’１７矗幻进行了比较（见表１）．从表１可以看出，在０ＧＰａ下计算得到的结果与文献报道值相吻合，说明计算方法和模型是合理的；根据六方结构晶体的弹性稳定性准则心３３
Ｇ。＞０，ｃ１。＞Ｉ
Ｃ１２
图３六方金属钛在０ＧＰａ下的能带结构图
六方金属钛在压力作用下的分态密度如图４所示，可以看出，金属钛中ｓ、Ｐ和ｄ态电子的分布情况，且随着压力的增加导致状态密度的展宽、状态密度峰值的减小，表明原子间电子的交互作用增强，原子间
表１
Ｉ，Ｃ３３（Ｃ１ｌ＋Ｃ１２）＞２Ｃ２３
（１１）
在不同压力下六方金属钛的弹性常数及与文献报道值‘１２，１７，２２１的比较
ＧＧＡ—ＰＷ９１／ＧＰａ
ＥＡＭＥｌ２３
４０７
Ｐｒｅｖｉｏｕｓｒｌ
７１
参数
０
Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ‘２２３
１０５
２０２７６
４
３０５
５０５
７
／ＧＰａ／ＧＰａ／ＧＰａ
１７６．１８６．８６８．３
ｌ
弹性常数Ｇ
／ＧＰａ
２
珧ｍ
９７
掰ｍ１
１
６
９
３
３
Ｏ●３
ｍ瑚尚ｍ
Ⅲ他帆猢讥蹴蹴啪啪眈
呈｜哦甑ｍ蛾
１８９．１５０．８
％％％＾Ⅶ％
‘
Ⅲ眠眠ｍ化
“∞盯∞蹭
ｍ研诋Ⅲｍ脚ｇｉ＂
７．ｈ蹴啪ｉ耋纵妞Ｌ
∞铊诣站盯
ｍ趼缎７●ｈ
坫够；２的∞
研｜墨ｍ撕６．ｋ氓
娟∞的∞蝎鹅毖∞∞０ｗ
．
ＢＲ
１０６．７０１０６．７３１０６．７２４４．５４４５．８０４５．１２１１７．２９１２０．２１】１８．８２
１５１．５５１５３．０５１５２．３０５０．８０５１．６０５１．２０１３７．０８１３９．１６１３８．１２
１７８．４９１７８．９９１７８．７４５５３６
５８
２０４．１１２０４．２２２０４．１６４Ｏ２８４４４２４２３５１１３．３７１２４．２４１１８．８３
２２６．３７２２６．７８２２６．５６２６ｌ８３５４６
３Ｏ
２５１．９７２５４．４０２５３．１８１２２２ｌ７
９５＾Ｏ５６２
一一
体积模量Ｂ
ＢｙＢＨ
Ｇ
剪切模量Ｇ
ＧｙＧＨ
Ｏ６
５６７１１５０．５２１５７．１８１５３．８６
８２
Ｂ
杨氏模量Ｅ
Ｅｖ
Ｅｎ
７５．６３１０１．１２８８．４６
３７．１４６５．９８５１．６５
一
万方数据
第３ｌ卷第４期刘其军等压力作用下六方钛电子结构和弹性性质的第一性原理计算
７５
可以看出，在不同压力下（Ｏ，１０，２０，３０，４０和５０ＧＰａ）计算得到的弹性常数值均能满足以上３个条件，说明作用压力在小于５０ＧＰａ范围内六方金属钛都是稳定的，是不会发生结构转变的．同时可以看到，
在０到５０ＧＰａ范围内，随着压力的增加，弹性常数
ｃｊＪ具有不同的变化趋势，Ｃ。。先增加后减小，拐点出现在４０～５０ＧＰａ内；Ｃ，：和Ｃ１３线性增加；Ｃ。。是先增加后减小再增加，两个拐点出现在２０～４０ＧＰａ内；Ｇ。是先增加后减小，拐点出现在１０～２０ＧＰａ内，这不仅说明各个方向上原子间的结合强度不同，也说明各方向上的键强对压力的响应程度不同．
体积模量表示材料在静水压力下，压强与体积变化率之间的比例关系，它反映在静水压力下材料被压缩的难易程度，从表中可以看出体积模量随着压力的增加呈线性增加．同时，根据公式（７）～（１０）算得在不同压力下的剪切模量和杨氏模量（见表１），对实验研究及实际应用具有一定的借鉴价值．
３
结论
本文采用基于密度泛函理论（ＤＦＴ）框架下广义梯度近似（ＧＧＡ）平面波超软赝势法，优化了六方金属钛的几何结构参数，计算并分析了在不同压力下六方金属钛的电子结构和弹性常数，计算结果与其他文献值相符，为六方金属Ｔｉ的实际应用提供了理论依据．
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Ｃｏｎｄｅｎｓ．Ｍａｔｔｅｒ，２００２，１４：６９８９－７００５．
［责任编辑周文凯］
压力作用下六方钛电子结构和弹性性质的第一性原理计算
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
刘其军， 刘正堂， 冯丽萍， Liu Qijun， Liu Zhengtang， Feng Liping西北工业大学,材料学院,西安,710072
三峡大学学报（自然科学版）
JOURNAL OF CHINA THREE GORGES UNIVERSITY(NATURAL SCIENCES)2009,31(4)1次
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23. Sin'ko G V;Smirnov N A Ab Initio Calculations of Elastic Constants and Thermodynamic Propertiesof bcc,fcc,and hcp Al Crystals under Pressure 2002
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引证文献(1条)
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引用本文格式：刘其军. 刘正堂. 冯丽萍. Liu Qijun. Liu Zhengtang. Feng Liping 压力作用下六方钛电子结构和弹性性质的第一性原理计算[期刊论文]-三峡大学学报（自然科学版） 2009(4)