2013新课标1卷高考数学理科试题及答案

2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）

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第Ⅰ卷

一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合A =x |x -2x >0, B =x |

D.A ⊆B

(

)

{

2

}

{2. 若复数z 满足(3-4i ) z =|4+3i |，则z 的虚部为 A . -4 B . -

4

5

C . 4 D .

4 5

3. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该

地区小学. 初中. 高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A . 简单随机抽样 B . 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D.系统抽样

x 2y 24. 已知双曲线C ：2-2=1（a >0, b >

0C 的渐近线方程为

a b A. y =±

111

x B. y =±x C. y =±x D. y =±x

243

5. 运行如下程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出s 属于

A. [-3, 4] B . [-5,2] C. [-4,3] D. [-2,5]

6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，

当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 (

)

A .

500π

cm 3 3

B .

866π1372π2048π

cm 3 C. cm 3 D. cm 3 333

7. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n , S m -1=-2, S m =0, S m +1=3，则m = ( )

A . 3 B . 4 C.5 D.6

8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A ．16+8π B ．8+8π C ．16+16π D ．8+16π 9. 设m 为正整数，(x +y )

2m

展开式的二项式系数的最大值为a ，(x +y )

2m +1

展开式的二项式系数的最大值

为b ，若13a =7b ，则m = ( ) A . 5 B.6 C.7 D.8

x 2y 2

10. 已知椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A , B 两点。若AB 的

a b

中点坐标为(1,-1) ，则E 的方程为 ( )

x 2y 2

+=1 A .

4536

x 2y 2

+=1 B .

3627

x 2y 2

+=1 C.

2718x 2y 2

+=1 D.

189

⎧-x 2+2x , x ≤0

11. 已知函数f (x ) =⎨，若|f (x ) |≥ax ，则a 的取值范围是

⎩ln(x +1), x >0

A ．(-∞,0] B ．(-∞,1] C ．[-2,1] D ．[-2,0]

12. 设∆A n B n C n 的三边长分别为a n , b n , c n ，∆A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,

，若b 1>c 1, b 1+c 1=2a 1，

a n +1=a n , b n +1=

c n +a n b +a n

, c n +1=n ，则( ) 22

A . {S n }为递减数列 B . {S n }为递增数列

C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列 D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t) b ，若b ·c =0，则t =_____. 14. 若数列{a n }的前n 项和为S n ＝

21

a n +，则数列{a n }的通项公式是a n =______. 33

15. 设当x =θ时，函数f (x ) =sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______

16. 若函数f (x ) =(1-x )(x +ax +b ) 的图像关于直线x =-2对称，则f (x ) 的最大值是______. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2

2

17. （本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°

1

(1)若PB=2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P

BA

18. （本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;

（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。

19. （本小题满分12分）

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立

（1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。 20.(本小题满分12分) 已知圆M :(x +1) +y =1, 圆N :(x -1) +y =9, 动圆P 与M 外切并且与

2

2

2

2

圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）l 是与圆P , 圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.

21. （本小题满分共12分）已知函数f (x ) ＝x +ax +b ，g (x ) ＝e (cx +d ) ，若曲线y =f (x ) 和曲线

2

x

y =g (x ) 都过点P(0，2) ，且在点P 处有相同的切线y =4x +2

（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x ) ≤kg (x ) ，求k 的取值范围。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。 （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=

，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。

23. （本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为⎨

⎧x =4+5cos t

(t 为参数），

⎩y =5+5sin t

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ。 （Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x ) =|2x -1|+|2x +a |, g (x ) =x +3. （Ⅰ）当a =2时，求不等式f (x ) ＜g (x ) 的解集；

（Ⅱ）设a ＞-1, 且当x ∈[-

a 1

，) 时，f (x ) ≤g (x ) , 求a 的取值范围. 22

参考答案

一、选择题

1．【解析】A=(-∞,0) ∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.

|4+3i |4342．【解析】由题知z ==+i ，故z 的虚部为，故选D.

3-

4i 555

3．【解析】因该地区小学. 初中. 高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.

5c 2a 2+b 2b 1b 21c 1

±C 4．【解析】

由题知，=即=2=，∴=，∴=，∴的渐近线方程为y =±x ，22

4a a 2a a 4a 2

故选C .

5．【解析】有题意知，当t ∈[-1,1) 时，s =3t ∴输出s 属于[-3,4]，故选A .

∈[-3,3) ，当t ∈[1,3]时，s =4t -t 2∈[3,4]，

6．【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则

4π⨯53500π

=cm 3，故选A. R =(R -2) +4，解得R=5，∴球的体积为

33

2

2

2

7．【解析】有题意知S m =

m (a 1+a m )

=0，∴a 1=－a m =－（S m -S m -1）=－2，

2

a m +1= S m +1-S m =3，∴公差d =a m +1-a m =1，∴3=a m +1=－2+m ，∴m =5，故选C.

8．【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为

1

π⨯22⨯4+4⨯2⨯2 =16+8π，故选A . 2

m

m +1

m

m +1

9．【解析】由题知a =C 2m ，b =C 2m +1，∴13C 2m =7C 2m +1，即

解得m =6，故选B.

10．【解析】设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，则x 1+x 2=2，y 1+

22x 12y 12x 2y 2

+=1 ① 2+2=1 ② a 2b 2a b

13⨯(2m )! 7⨯(2m +1)!

=， (m +1)! m ! m ! m !

y 2=－2，

①－②得

(x 1+x 2)(x 1-x 2) (y 1+y 2)(y 1-y 2)

+=0， 22

a b

0+11b 2(x 1+x 2) b 2b 21y 1-y 222222

∴k AB ==-2=2，又k AB ==，∴2=，又9=c =a -b ，解得b =9，a =18，

a (y 1+y 2) a 3-12a 2x 1-x 2x 2y 2+=1，故选D. ∴椭圆方程为

189

⎧x 2-2x , x ≤0⎧x ≤0⎧x >0

11．【解析】∵|f (x ) |=⎨，∴由|f (x ) |≥ax 得，⎨2且⎨，

ln(x +1) ≥ax ln(x +1), x >0x -2x ≥ax ⎩⎩⎩

由⎨

⎧x ≤0⎩x -2x ≥ax

2

可得a ≥x -2，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，

当a =1时，易证ln(x +1)

x 对x >0恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D.

11

c =b ∙[t a +(1-t ) b ]=t a ∙b +(1-t ) b 2=t +1-t =1-t =0，解得t =2.

22

14．【解析】当n =1时，a 1=S 1=

21

a 1+，解得a 1=1， 33

当n ≥2时，a n =S n

212212

-S n -1=a n +－(a n -1+)=a n -a n -1，即a n =-2a n -1，

333333

n -1

∴{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴a n =(-2)

.

15．【解析】∵f (x ) =sin x -

2cos x x x ) 令cos ϕ

sin ϕ=，则f (x

) x cos ϕ+

sin ϕcos x ) x +ϕ) ，

当x +ϕ=2k π+

π

2

, k ∈z ，即x =2k π+

π

2

-ϕ, k ∈z 时，f (x ) 取最大值，此时θ=2k π+

π

2

-ϕ, k ∈z ，∴

cos θ=cos(2k π+

16．【解析】由0=0=

π

2

-ϕ) =sin ϕ

=. f (x ) 图像关于直线x =－2对称，则

f (-1) =f (-3) =[1-(-3) 2][(-3) 2-3a +b ]，

f (1)=f (-5) =[1-(-5) 2][(-5) 2-5a +b ]，解得a =8，b =15，

2

∴f (x ) =(1-x

)(x 2+8x +15) ，

2

∴f '(x ) =-2x (x +8x +15) +(1-x 2)(2x +8) =-4(x 3+6x 2+7x -2)

x +2

=-4(x +2)(x +2+当x ∈(－∞

, -2当x ∈

(-2-

) ∪(－

2, -2时，f '(x ) ＞0，

－2) ∪

(-2+∞) 时，f '(x ) ＜0，

-22）单调递减，在（－2

，-2+∴f (x

) 在（－∞，-2

在

（-2+

+∞）单调递减，故当x

=-2-和x

=-2

f (-2-

=f (-2+=16.

17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=

60o ，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得

117； PA

2=3+-2cos30o =，∴

424

（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA

sin α

，化简得，=o

sin(30-

α)

α=4sin α，

∴tan α

tan ∠

PBA . 18．【解析】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，A 1B ，A 1E ，

∵AB=AA 1，∠BAA 1=60，∴∆BAA 1是正三角形，

∴A 1E ⊥AB ， ∵CA=CB， ∴CE ⊥AB ， ∵CE ⋂A 1E =E，∴AB ⊥面CEA 1， ∴AB ⊥AC 1； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，EA 1⊥AB ，

又∵面ABC ⊥面ABB 1A 1，面ABC ∩面ABB 1A 1=AB，

∴EC ⊥面

ABB 1A 1，∴EC ⊥EA 1，

∴EA ，EC ，EA 1两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向，|EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O -xyz ， 有题设知A(1,0,0),A

1(0,

,0),C(0,0,),B(－1,0,0), 则BC =（1,0

，）, BB 1=AA 1=(－

), AC 1=(0,

……9分

设n =(x , y , z ) 是平面CBB 1C 1的法向量，

⎧⎧⎪n ∙BC =0⎪x =0

则⎨，即⎨，可取n =

，1，-1）， ⎪⎪⎩n

∙BB 1=0⎩x =0

∴cos n , A 1C =

n ∙

A 1C

|n ||A 1C |……12分 ∴直线A 1C 与平面BB 1

C 1C

所成角的正弦值为

19．【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B, 第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ，第二次取出的1件产品是优质品为事件D ，这批产品通过检验为事件E ，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB 与CD 互斥， ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C 4(（Ⅱ）X 的可能取值为400,500,800，并且 P(X=400)=1-C 4(∴X 的分布列为

3

3

121141413

) ⨯⨯() +() ⨯=. …6分 2222264

[1**********]13

) ⨯-() =，P(X=500)=，P(X=800)=C 4() ⨯=， 2221616224

……10分 EX=400×

20．【解析】由已知得圆M 的圆心为M （-1，0）, 半径r 1=1，圆N 的圆心为N (1,0),

半径r 2=3. 设动圆P 的圆心为P （x ，

1111

+500×+800×=506.25 ……12分 16164

y ），半径为R.

-R ) =r 1+r 2=4，

(左顶点除外) ，其方程为

（Ⅰ）∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=(R +r 1) +(r 2

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，场半轴长为2x 2y 2

+=1(x ≠-2) . 43

（Ⅱ）对于曲线

C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|-|PN|=2R -2≤2，∴R ≤2, 当且仅当圆P 的圆心为（2，0）时，R=2. ∴当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2) 当l 的倾斜角为90时，则l 与

00

2

+y 2=4，

y 轴重合，可得|AB|=|QP |R

=，可求得Q

（-4，0），

|QM |r 1

当l 的倾斜角不为

90时，由r 1≠R 知l 不平行x 轴，设l 与x 轴的交点为Q

，则

∴设l ：y =k (x +

4)

，由l 于圆M =1，解得k =x 2y 2

=1(x ≠-2) 并整理得7x 2+8x -8=0，解得x 1,2当k 时，将y =x 代入+

43

∴x 1-x 2|=

18. 7

当k =

18时，由图形的对称性可知|AB|=， 718

或

|AB|=. 7

综上，|AB|=

21．【解析】（Ⅰ）由已知得而

f (0)=2, g (0)=2, f '(0)=4, g '(0)=4，

f '(x ) =2x +b ，g '(x ) =e x (cx +d +c ) ，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分

f (x ) =x 2+4x +2，g (x ) =2e x (x +1) ，

， f (x ) =2ke x (x +1) -x 2-4x -2（x ≥-2）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

设函数F (x ) =kg (x ) -

F '(x ) =2ke x (x +2) -2x -4=2(x +2)(ke x -1) ，

有题设可得F (0)≥0，即k ≥1， 令F '(x ) =0得，x 1=-ln k ，x 2=－2， （1）若1≤k 在

(-2, x 1) 单调递减，在(x 1, +∞) 单调递增，故F (x ) 在x =x 1取最小值F (x 1) ，而

F (x 1) =2x 1+2-x 12-4x 1-2=-x 1(x 1+2) ≥0，

∴当x ≥－2时，F (x ) ≥0，即f (x ) ≤kg (x ) 恒成立， (2)若k

=e 2，则F '(x ) =2e 2(x +2)(e x -e 2) ，

∴当x ≥－2时，F '(x ) ≥0，∴F (x ) 在(－2,+∞) 单调递增，而F (-2) =0， ∴当x ≥－2时，F (x ) ≥0，即f (x ) ≤kg (x ) 恒成立， (3)若k

>e 2，则F (-2) =-2ke -2+2=-2e -2(k -e 2) ＜0，

∴当x ≥－2时，f (x ) ≤kg (x ) 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,e ]. 22．【解析】（Ⅰ）连结DE ，交BC 与点

G.

2

由弦切角定理得，∠ABF=∠BCE ，∵∠ABE=∠CBE ，∴∠CBE=∠BCE ，BE=CE， 又∵DB ⊥BE ，∴DE 是直径，∠DCE=90，由勾股定理可得DB=DC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠CDE=∠BDE ，BD=DC，故DG 是BC 的中垂线，∴

. 设DE 中点为O ，连结BO ，则∠BOG=60，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30，

o o

∴CF ⊥BF ， ∴Rt △BCF

. 23. 【解析】将⎨

⎧x =4+5cos t 22

消去参数t ，化为普通方程(x -4) +(y -5) =25，

⎩y =5+5sin t

⎧x =ρcos θ22

即C 1：x +y -8x -10y +16=0，将⎨代入x +y -8x -10y +16=0得，

⎩y =ρsin θ

2

2

ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0，

∴C 1的极坐标方程为ρ

2

-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0；

2

（Ⅱ）C 2的普通方程为x

+y 2-2y =0，

22⎧⎧x =1⎧x =0ππ⎪x +y -8x -10y +16=0由⎨解得⎨或⎨，∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为

），(2,) .

22

42⎪⎩y =1⎩y =2⎩x +y -2y =0

24．【解析】当a =-2时，不等式f (x ) ＜g (x ) 化为|2x -1|+|2x -2|-x -3

1⎧

-5x , x

1⎪

设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，y =⎨-x -2, ≤x ≤1，

2⎪

⎪3x -6, x >1⎪⎩

其图像如图所示

从图像可知，当且仅当x ∈(0,2) 时，y ＜0，∴原不等式解集是{x |0

x

（Ⅱ）当x ∈[-

a 1

，) 时，f (x ) =1+a ，不等式f (x ) ≤g (x ) 化为1+a ≤x +3， 22

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∴x ≥a -2对x ∈[-4a 1a ，) 都成立，故-≥a -2，即a ≤， 3222

4]. 3∴a 的取值范围为（-1，

11