平行四边形.矩形.菱形.正方形 题库二

矩形、菱形、正方形辅导练习题（一）

一、 复习矩形、菱形、正方形有关的性质和判定方法。 二、 例题讲解

例1、如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。

例2、已知如图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AE=2。

求：（1）∠ABC 的度数； （2）对角线AC 、BD 的长； （3）菱形ABCD 的面积。

例3、如图①，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .

(1) 求证：DE －BF = EF．

(2) 当点G 为BC 边中点时, 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．

(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写

出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．

三、 巩固提高 （一）选择题

1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）.

A 、对角线相等 B 、对边相等 C 、对角相等 D 、对角线互相平分 2、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形”中, 正确的个数有（ ） A 、3 个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 3、下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A 、对边平行且相等 B 、对角线互相平分

C 、内角和等于外角和 D 、每一条对角线所在直线都是它的对称轴

4、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )

A 、对角线互相平分的四边形 B 、对角线互相垂直且平分的四边形

C 、对角线相等的四边形 D 、对角线相等且互相垂直的四边形

5、已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是( ) A 、AB=CD B 、AC=BD C 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 D 、当∠ABC=90°时，它是矩形

6、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）。 A ．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直

7、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）。

A 、对角线相等 B、对角线互相垂直平分 C、四条边相等 D、一条对角线平分一组对角

8、下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形

C 、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形 9、下列命题中，假命题是（ ）。

A 、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形

C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

10、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。 A 、AC =BD ，

AB //CD

B 、AD //BC ，∠A =∠C

C 、AO =BO =CO =DO ，AC ⊥BD D 、AO =CO ，BO =DO ，AB =BC 11、矩形的两条对角线所成的钝角是120°，若一条对角线的长为2, 那么矩形的周长为（ ） A、6

B 、5.8

C 、2（1+3 ）

D 、5.2

B

A

12、如图，菱形ABCD 的周长为8, 两邻角的比为2∶1，则对角线的长分别

为（ ） A、4和2

B 、1和23

C 、2和3

D 、23

D

13、如图，矩形ABCD 的对角线AC 的中垂线与AD 、BC 分别交于F 、E, 则四边形AFCE 的形状最准确的判断是（ ）

A、平行四边形 B 、菱形 C 、矩形 D 、正方形

A

F

D

第12

B E

C

第15题

14、如图，设F 为正方形ABCD 的边AD 上一点,CE ⊥CF 交AB 的延长线于E, 若S

第13题

正方形ABCD

第14题

=64，S △CEF =50，

则S △CBE =（ ）

A 、20 B 、24 C 、25 D 、26

15、如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE ⊥BD 于E, 则PE+PF的值为（ ）

12135

A 、5 B 、5 C 、2 D 、2

（二）填空题

16、已知一个菱形的面积为83 ㎝2，且两条对角线的比为1∶3 ，则菱形短的对角线长为_________。

17、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为____________________。

18、在Rt △ABC 中, 斜边AB 上的中线长为3, 则AC 2+BC2+AB2=______________________。

19、菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5∶4，则它的各内角度数为

___________________。

20、如图, 矩形ABCD 中,AE 平分∠BAD 交BC 于E, ∠CAE=15°，则下列结论①△

ODC 是等边三角形；

②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S △AOE =S△COE ，其中正确的结论的序号是___________________。

21、如图, 矩形内有两个相邻的正方形, 面积分别为4和9, 则阴影部分的面积为______________。

A

B

第20题图

第21题图

D

第22题

B

22、点M 为矩形ABCD 的边AD 的中点,P 为BC 上一点, 且PE ⊥MC,PF ⊥MB, 当AB 、AD 满足条件__________时, 四边形PEMF 是矩形。

23、如图,E 是正方形ABCD 内一点, 如果△ABE 为等边三角形, 那么∠DCE=_______________。 （三）解答题 24、已知：如图，在□ABCD 中，O 为边AB 的中点，且∠AOD=∠BOC ．求证：□ABCD 是矩形．

D

A

第23题图

C

C

B

25、已知菱形ABCD 中，AC 与BD 相交O 点，若∠BDC=300, 菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.

矩形的习题精选

一、性质

1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）

D

A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行 2. 在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠3. 已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______

4. 矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ， 对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________

5. 如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE 的长为_____

6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为___

7、已知，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC=。 8、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于

F.

求证：BE=CF.

9. 如图，△ABC 中，∠ACB=900，点D 、E 分别为AC 、AB 的中点，点F 在BC 延长线上，且∠CDF=∠A ，求证：四边形DECF 是平行四边形；

10. 已知:如图，在△ABC 中，∠BAC ≠90°∠ABC=2∠C ，AD ⊥AC ，交BC 或CB 的延长线D 。试说明:DC=2AB.

11、在△ABC 中，∠C=90O，AC=BC，AD=BD，PE ⊥AC 于点E ， PF ⊥BC 于点F 。求证：DE=DF

二、判定

1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（）

A ．测量两条对角线，是否相等 B ．测量两条对角线，是否互相平

分

C ．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角 D ．用曲尺测量对角线，是否互相垂直

2、平行四边形ABCD ，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形

3、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形AFCE 是矩形

4、平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA ⊥PC ，PB ⊥PD ，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD 为矩形

5、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E 、F 、G 、H ，求证：四边形 EFGH 为矩形．

6、如图，△ABC 中，点O 是AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ， (1)求证：OE=OF； (2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形，并证明你的结论。

菱形的习题精选

一、性质

1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD 是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（）

A 、小明、小亮都正确 B 、小明正确，小亮错误 C 、小明错误，小亮正确 D 、小明、小亮都错误 2．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）

（A ）邻角互补（B ）内角和为360° （C ）对角线相等（D ）对角线互相垂直 3．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论不正确的是（）

A. 当AB=BC时，它是菱形； B. 当AC ⊥BD 时，它是菱形； C. 当∠ABC=90°时，它是矩形； D. 当AC=BD时，它是菱形。 4．已知菱形两条对角线的长分别为5cm 和8cm ，则这个菱形的面积是______cm．

5．若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为______ cm2。 6 ．已知：菱形的周长为40cm ，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是。

7、已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm ，则菱形的周长为.

8、如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点 F ，PF=3cm，则P 点到AB 的距离是_____ cm

13、如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_______． 9．已知菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，∠BAD=120° ，求∠ABD 的度数。

10、已知如图，菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AE=2。 求（1）∠ABC 的度数；（2）对角线AC 、BD 的长；（3）菱形ABCD 的面积。

11、已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于E ， DF ∥AB 交AC 于F ． 求证：四边形AEDF 是菱形；

12、如图，边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60度，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是

A

C

B

CD 上的动点，满足AE+CF=a。证明：不论E 、F 怎样移动，△BEF 总是正三角形。 二、判定

1、□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，

（1）若AB=AD，则□ABCD 是形；（2）若AC=BD，则□ABCD 是形； （3）若∠ABC 是直角，则□ABCD 是形；（4）若∠BAO=∠DAO ，则□ABCD 是形。 2、下列条件中，不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）． Ａ、AC ⊥BD ，AC 与BD 互相平分Ｂ、AB=BC=CD=DA

Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD 3、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF 是菱形。

4、如图，在已知平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，与BC 相交于点E ，EF//AB，与AD 相交于点F. 求证:四边形ABEF 是菱形.

5、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，四边形AEFG 是菱形吗?

6、如图，已知在□ABCD 中，AD=2AB，E 、F 在直线AB 上，且AE=AB=BF，说明CE ⊥DF.

四边形复习培优提高练习测试

1．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分„„如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）

（A ）2004 （B ）2005 （C ）2006 （D ）2007

2．如图，ABCD 为正方形，E 是CF 上一点，若DBEF 是菱形，则∠EBC=________。 （A ）15°（B ）22° (C)30° (D)25°

3．如图，若△ABC 的边AB=2，AC=3，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB 、BC 、AC 为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和为________。

4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC(BC ＞AD), ∠D=90°, BC=CD=12, ∠ABE=45°。若AE=10，则CE 的长为________。

5．已知在ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、AD 上。

（1）若AB=10，AB 与CD 间距离为8，AE=BE，BF=FC，求△DEF 的面积； （2）若△ADE 、△BEF 、△CDF 的面积分别为5、3、4，求△DEF 的面积。

6．如图，P 为G 、H 四点，若S

ABCD 内一点，过P 点分别作AB 、CD 的平行线，交平行四边形于E 、F 、

AHPE =3，S

PFCG =5，求S △PBD 。

7．如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ∥BC 。问S △ABE 与S △ACD 相等吗？请说明理由。

8．ABCD 中，有一点P ，使∠APD=∠ADP 。连接AP 、BP 、DP 、CP ，求证∠PAD=∠PCB 。

9．如图，△ABC 的两条高AD 、BE 交于点H ，边BC 、AC 的垂直平分线FO 与GO 相交于点O 。求证：OF=0. 5AH ，OG=0. 5BH 。

10．如图，在ABCD 中，A E ⊥BC 于点E ，E 恰为BC 的中点，tanB=2。 （1）求证：AD=AE；

（2）如图，点P 在线段BE 上，作EF ⊥DP 与点F ，连接AF 。求证：D F －AF=AF ； （3）请你在图中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合时），作EF ⊥直线DP ，垂足为点F ，连接AF 。线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论。

11．如图，在菱形ABCD 与菱形BEFG 中，点A ，B 在同一直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG 、PC ，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG 与PC 的位置关系及PG ：PC 的值。 （1）写出上面问题中PG 与PC 的位置关系及PG ：PC 的值；

（2）将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一直线上，原问题中其他条件不变。你在（1）中得到两个结论，它们是否变化？写出你的猜想并加以证明。 （3）若∠ABC=∠BEF=2а（0°＜а＜90°），将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中其他条件不变，请你直接写出PG ：PC 的值。

12．在

ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分

别为△CEF 、△ABE 的外心． (1)求证： O 、E 、O 1三点共线； (2)求证：若∠ABC = 70

°，

A O 1．B

D

求∠OBD 的度数。 13．如图，EFGH 的顶点分别在矩形ABCD 的四条边上，且H G ∥ AC 。求证：EFGH 的周长为定值。

14．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，点P 在线段AB 上运动，设AP=x，现将纸片还原，使点D 与P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。 （1）当x=0时，折痕EF 的长为；当点与E 与A 重合时，折痕EF 的长为；

（2）请求出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出x=2时练习的边长： （3）令EF 为y ，当点E 在AD ，点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式。当y 取最大值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似；若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由。

2

15．有矩形纸片ABCD ，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合。 （1）如果折痕FG 分别与AD 、AB 交于点F 、G ，AF=

，求DE 的长；

（2）如果折痕FG 分别与CD 、DA 交于点F 、G ，△AED 的外接圆与直线BC 相切，求证折痕FG 的长。

16．在矩形ABCD 中，有一内接菱形PQRS 。P 、Q 、R 、S 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且BP=15，BQ=20，PR=30，QS=40。若矩形ABCD 的周长为一个即约分数，分子为m ，分母为n ，求m+n的值。

17．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），C （0，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转а度得到四边形OAB'C' ，此时直线OA’、直线B’C’分别与直线BC 相交于点P 、Q 。

（1）四边形OABC 的现状是，当а=90°时，BP ：BQ 的值是；

（2）①如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在y 轴正半轴时，求BP ：BQ 的值； ②如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在直线BC 上时，求△OPB' 的面积；

（3）在四边形OA’B’C’旋转过程中，当0＜а°≤180°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP=0.5BQ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

18．若四边形的四条边长a 、b 、c 、d 满足a +b+ c+ d=4abcd。求证：该四边形是菱形。 19．如图，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割为四个小矩形，EF 与GH 交于点P 。

（1）若AG=AE，证明：AP=AH；

（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；

（3）若Rt △GBH 的周长为1，求矩形EPHD 的面积；

（4）若矩形AEGP 的面积为矩形PFCH 面积的一半，求∠FAH 的度数。

4

4

4

4

20．正方形ABCD 中，有一小正方形EFGH 。连接AE 、BF 、CG 、DH ，取它们各自的中点W 、X 、Y 、Z 。求证：四边形WXYZ 是正方形。

21．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AE 使DC=DE，交DC 于G ，作D F ⊥AE ，连接CE 。 （1）若∠CDE=60°，AB=1，求DF 的长；

（2）作∠CDE 平分线，交AE 于P ，交CE 与Q ，连接BP ，求证：DP+BP=（3）若AD=2，DF=1，求PQ 的长。

AP ；

22．如同，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F 。（1）EF+0. 5AC =AB； （2）点C 1从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点A 1从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点C 1与点A 1运动速度相同，当动点C 1停止运动时，另一动点A 1也随之停止运动。如图，AF 1平分∠B A1 C1，交BD 于F 1，过F 1作F 1E 1⊥A 1 C1，垂足为E 1，试猜想F 1E 1，0. 5 A1 C1与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想。

（3）在（2）的条件下，当A 1 C1=3，C 1 E1=2时，求BD 的长。

23．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD 交AC 于O 。求证：CO=CD。

24．如图，在等腰梯形ABCD 中，G 为对角线交点，△ADG 、△GBC 为正三角形。F 、E 、H 为AG 、BG 、DC 的中点。

（1）求证：△EFH 为正三角形；（2）若AD=2，BG=3，求S △EFH ； （3）若S △EFG ：S △AGB =7：8，求AD ：BC 。

（选做）★★★25．如图，在西洋棋盘上，有四位骑士。请把棋盘分成四个全等的部分，使每部分都有一位骑士。

（选做）★★26．平行四边形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 上依次有P 、Q 、R 、S 四点。求证：△APS 、△BPQ 、△CQR 、△DRS 的外心相连构成一个平行四边形。

参考答案

1．B ；2．C ；３．由等底等高得三个部分面积等，所以∠BAC=90°时, S 总和为９；4．6； 5．(1)略（2）8；6．1；7．略；

8．过P 作BC 平行线，交AB 于Z ，交CD 于X ，用“边角边”证明△APZ 、△PCX 相似；9．取CH 中点为V ，连接GV 、FV ，得OGVF 为一个平行四边形； 10．（2009北京模拟）（1）略；（2）作∠DAG =∠FAE ，交BC 于G ；（3）略； 11．（2008北京）（1）PG ⊥PC ，PG ：PC =（2）没变，延长GP 交AD 于H ，证△CDH ≌△CBG （3）PG ：PC=tan（90°－а）； 12．（2006全国初中数学联合竞赛决赛）（1）用相似三角形（2）35°, 在AD 上截取AX=AB，∠XBC=70°，用相似三角形证明∠XBD =∠OBC ；

13．设AC 与EH 、FG 交于Z 、X ，通过角的转化证明∠AEH=∠FGC ，再证明△AEZ ≌△GCX ； 14．（1）3，

（2）1≤x ≤3，1. 25（3）作EH ⊥BC ，得△DAP ∽△EHF ，所以y=9x+9，

；

；

2

得△EAP ∽△PBF ，x=3－15．（2006南京）（1）16．即约分数为

（2）列方程，FG=

，m+n=677；

②18. 75（3）P 在线段OA’上，P （－1. 75，6），P 在

17．（2009宁波）（1）略（2）①OA’延长线上,P(－9－1. 5

4

22

4

4

，6) ；

22

4

22

22

2

2

2

2

22

18．得a —2a b +b+c—2c d +d=4abcd—2a b —2c d →（a —b ）+（c —d ）=﹣2（a b —c d ）；

22

19．（第一二三为2009广东）（1）略（2）把△DAH 顺时针旋转90°（3）0. 5（4）45°，方法为（2）中的逆式；20．把BYFHWC 逆时针旋转90°； 21．（1）略（2）证∠DPF =∠ABD=45°，根据四点共圆得∠APB=∠ADB=45°，再作BP 垂线构造等腰RT △；（3）略； 22．（1）略（2）F 1E 1+0. 5 A1 C1=AB，证∠DF 1A 1=∠DA 1F 1，得DF 1= DA1，过F 1作AB 垂线，交AB 于X ，交CD 于Z ，得X F1= F1E 1，ZF 1=0. 5 A1 C1（3）BD=3. 523．得梯形的高为底的一半，即为BD 的一半，所以∠BDC=30°；

24．EF 为CD 一半，连接DF 、CE ，用斜中线定理得EH 、FH 为CD 一半（2）

（3）；

AD ：BC=1：2； 25．答案如下； 26．证明该四个外心构成的四边形的一组对边在大平行四边形的一组临边所在的两个方向上的竖直投影相等，再写同理可证„„

经典四边形习题50道（附答案）

1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。

2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。

3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。

4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。

5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是

_B _

C

_ A _ B _ E

_ A _ B

_A

_ B

20cm, 求：AB 的长。

6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。 _A

7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ∆ABC =S∆EBF ，求证：DF ∥AC 。

8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD， 若EG 与DF 的交点为H ，

求证：AH 与正方形的边长相等。

9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，

AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC，求证：BG=CD。

10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点，且AE=AF=AC，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF。

11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB， 若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ， 求证：CF=ED。

_B _B

_B

_F

_C

_B _F _C

_A _B

_E

_D

_F

_B

_C

12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交AE 、DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA。 于E ，

13、在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ，延长BC 到F ，使CF=CE， 求证：BE ⊥DF

14、在四边形ABCD 中，AB=CD，P 、Q 分别是AD 、BC 中点，M 、N 分别是对角线 AC 、BD 的中点，求证：PQ ⊥MN 。

15、平行四边形ABCD 中，AD=2AB， AE=AB=BF求证：CE ⊥DF 。

16、在正方形ABCD 中，P 是BD 上一点， 过P 引PE ⊥BC 交BC 于E ，过P 引PF ⊥CD 于F ，求证：AP ⊥EF 。

17、过正方形ABCD 的顶点B 引 对角线AC 的平行线BE ， 在BE 上取一点F ，

使AF=AC，若作菱形CAFÉ， 求证：AE 及AF 三等分∠BAC 。

F _

_G

_B _Q _C

_E _A _B

_F

_D

_F

_C

_E

18、以∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 分别 为边，在BC 的同侧作等边三角形ABD 、 BCE 、CAF ，求证：ADEF 是平行四边形。

19、M 、N 为∆ABC 的边AB 、AC 的中点， E 、F 为边AC 的三等分点，延长ME 、NF 交于D 点，连结AD 、DC ，求证： ⑴BFDE 是平行四边形， ⑵ABCD 是平行四边形。

20、平行四边形ABCD 的对角线交于O ， 作OE ⊥BC ，AB=37cm, BE=26cm, EC=14cm, 求：平行四边形ABCD 的面积。

21、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，高AE=DF =12cm,两对角线BD=20cm,AC=15cm, 求梯形ABCD 的面积。

22、在梯形ABCD 中，二底AD 、BC 的中点是E 、F ，在EF 上任取一点O ， 求证：S ∆OAB =S∆OCD

23、平行四边形ABCD 中，EF 平行于

对角线AC ，且与AB 、BC 分别交于E 、F ，求证：S ∆ADE =S∆CDF

24、梯形ABCD 的底为AD 、BC ，

_F

_B _C

_B N _

_C

_B _E

_C

_B _E _F

_C

_B _F _C

B __F _C _B _C

若CD 的中点为E 求证：S ∆ABE =

1

S ABCD 2

25、梯形ABCD 的面积被对角线BD 分成 3:7两部分，求这个梯形被中位线EF 分成 的两部分的面积的比。

26、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 是BC 边 的中点，且MN ⊥AD 于N ， 求证：S ABCD =MN∙AD 。

_ A _ B

_ B _ A

27、求证：四边形ABCD 的两条对角线之和小于它的周长而大于它的周长之半。

28、平行四边形ABCD 的对边AB 、

CD 的中点为E 、F ， 求证：DE 、BF 三等分对角线AC 。 _ B C _

29、证明：顺次连结四边形的各边中点的四边形是平行四边形，其周长等于原四边形的对角线之和。

_ B _ C _ E

30、在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ， 在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ， 求证：DE ⊥BG ，DE=BG。

31、在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 的高，∠A 的平分线AE 交CD 于F ，交BC 于E ，EG ⊥AB 于G ，求证：CFGE 是菱形。

32、若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：BG=EC，BG ⊥EC 。

33、求证：对角线相等的梯形是等腰梯形。

34、正方形ABCD 中，M 为AB 的任意点， MN ⊥DM ，BN 平分∠CBF ， 求证：MD=NM

35、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=12cm， BC=28cm，EF ∥AB 且EF 平分ABCD 的面积， 求：BF 的长。

36、平行四边形ABCD 中，E 为AB 上的任一点，_A

_D

_G

B _

_B

_C

_

_B _F

_C

_D

_A

_F

若CE 的延长线交DA 于F ，连结DE ， 求证：S ∆ADE =S∆BEF

37、过四边形ABCD 的对角线BD 的中点E 作AC 的平行线FEG ，与AB 、AC 的交点分别为 F 、G ，求证：AG 或FC 平分此四边形的面积，

38、若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边 向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：S ∆AEG

=S∆ABC 。

39、四边形ABCD 中，M 、N 分别是对角线 AC 、BD 的中点，又AD 、BC 相交于点P ， 求证：S ∆PMN =

1

4

S ABCD 。

40、正方形ABCD 的边AD 上有一点E ， 满足BE=ED+DC，如果M 是AD 的中点， 求证：∠EBC=2∠ABM ，

41、若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向 三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点，求证：DG=2BN，BM ⊥DG 。

42、从正方形ABCD 的一个顶点C 作CE 平行 于BD ，使BE=BD，若BE 、CD 的交点为F ，

_A

_F

_B

_B _C

_A

_B

_B

_C

_A _

N _C

_B

_C

求证：DE=DF。

43、平行四边形ABCD 中，直线FH 与AB 、 CD 相交，过A 、D 、C 、B ，向FH 作垂线， 垂足为G 、F 、E 、H ， 求证：AG-DF=CE-BH。

44、四边形ABCD 中，若∠A=∠C ，

求证各角平分线围成的四边形等腰梯形。

45、正方形ABCD 中，∠EAF=45︒ 求证：BE+DF=EF。

46、正方形ABCD 中，点P 与B 、C 的 连线和BC 的夹角为15︒ 求证：PA=PD=AD。

47、四边形ABCD 中，AD=BC，EF 为AB 、DC 的中点的连线，并分别与AD 、BC 延长线交于M 、N ，求证：∠AME=∠BNE 。

48、正方形ABCD 中，MN ⊥GH ， 求证：MN=HG。

B _ _E

_A

_B

_A _E _B

_N

49、正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，F 是线段CE 的中点

1

求证：∠DAE=∠BAF 。

2

50、等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ， AB>CD，AD=BC，AC 和BD 交于O ， 且所夹的锐角为60︒，E 、F 、M 分别 为OD 、OA 、BC 的中点。

求证：三角形EFM 为等边三角形。

_ B

_ E _

C

_ A

_ B

《矩形、菱形、正方形性质、判定》中考试题集锦（一）

第1题. (2006 梅州课改) 能使平行四边形ABCD 为正方形的条件是．（填上一个符合题目要

求的条件即可）

答案：AC =BD 且AC ⊥BD 或AB =BC 且AB ⊥BC 等

第2题.(2006 陕西非课改) 如图，矩形ABCG (AB

E

，C ，D 在同一条直线上，∠APE 矩形CDEF 全等，点B

的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的

个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

B 答案：C

第3题. (2006 陕西非课改) 将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．

（②）

（①）

答案：1:2

第4题.(2006 成都课改) 如图，在等腰梯形ABCD 中，

，对角线A D ∥B ，C A ≠B A D AC ，BD 相交于点O ．如下四个结论：

①梯形ABCD 是轴对称图形；②∠DAC =∠DCA ； ③△AOB ≌△DOC ；④△AOD ∽△BOC ． 请把其中正确结论的序号填在横线上：． 答案：①，③，④

第5题.(2006 荆门大纲) 如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，

ＡM ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在

Ｍ

Ｄ Ｑ

P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ =答案：

3

Ｂ

第6题.(2006 泰安非课改) 将矩形纸片ABCD 如图那样折叠，使顶点B 与顶点D 重合，折痕为EF ．

若AB =AD =3，

则△DEF 的周长为_________．

E 答案：6

A

第7题. （2006 芜湖课改）对角线互相垂直平分的四边形一定是（ ） Ａ．矩形 Ｂ．菱形 Ｃ．等腰梯形 Ｄ．直角梯形 答案：Ｂ

第8题. （2006 滨州非课改）如图，在Rt △ABC 中，E 为斜边AB 上一点，

AE =2，EB =1，四边形DEFC 为正

方形，则阴影部分的面积为． 答案：1

A

E

D

A

'

C

B

B

第9题. （2006 河南课改）如图，在△ABC 中，∠ACB =90 ，AC =2，BC =3．D 是BC 边上一点，直线DE ⊥BC 于D ，交AB 于E ，CF ∥AB 交直线DE 于F ．设CD =x ．

（1）当x 取何值时，四边形EACF 是菱形？请说明理由； （2）当x 取何值时，四边形EACD 的面积等于2？

F

A

答案：解：（1） ∠ACB =90 ，∴AC ⊥BC ，又 DE ⊥BC ，∴EF ∥AC ． 又 AE ∥CF ，∴四边形EACF 是平行四边形． 当CF =AC 时，四边形ACFE 是菱形．

2

此时，CF =AC =2，BD =3-x ，tan ∠B =，

3

2

ED =BD tan ∠B =(3-x )．

322

∴DF =EF -ED =2-(3-x )=x ．

33

在Rt △CDF 中，CD 2+DF 2=CF 2，

B

E D F

A

⎛2⎫

∴x 2+ x ⎪=22，

⎝3⎭

2

∴x =．

即当x =ACFE 是菱形．

（2）由已知得，四边形EACD 是直角梯形，S 梯形EACD =依题意，得-

1⎛2⎫1

⨯ 4-x ⎪ x =-x 2+2x ， 2⎝3⎭3

12

x +2x =2． 3

整理，得x 2-6x +6=0．

解之，得x 1=3

x 2=3+

x =3>BC =3，∴x =3+舍去．

∴

当x =3时，梯形EACD 的面积等于2．

第10题（. 2006 淮安课改）如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为 S ，则（ ） Ａ．S =2 Ｂ．S =2.4

Ｃ．S =4 Ｄ．S 与BE 长度有关

答案：A

第11题. （2006 常德课改) 下列命题中，真命题是（ ）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 答案：Ｄ

第12题.(2006 济南非课改) 现有若干张边长2cm 不相等但都大于4cm 的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm 处，沿45 角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是cm ；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？．

答案：8；得到的阴影部分的面积是8cm 2，即阴影部分的面积不变．

第13题.(2006 江西非课改) 如图，在矩形ABCD 中，

2

2cm

2cm

D

AB =1，BC =2，则AC =_______．

第14题. (2006 上海非课改) 在下列命题中，真命题是（ ） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 答案：Ｃ

第15题.(2006 湖北十堰课改) 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（ ） Ａ．22.5 角 Ｃ．45 角 答案：Ｃ

第16题. (2006 湖北十堰课改) 如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD 是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD 是否为矩形（图乙供设计备用）．

C D

A B

（图甲）

C D

答案：解：方案如下： A B

（图乙）

①用卷尺分别比较AB 与CD ，AD 与BC 的长度，当AB =CD ，

且AD =BC 时，四边形ABCD 为平行四边形；否则四边形ABCD 不是平行四边形，从而不是矩形． ②当四边形ABCD 是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC 与BD 的长度．当AC =BD 时，四边形ABCD 是矩形；否则四边形ABCD 不是矩形． 说明：（1）考生设计以下方案，请参照给分． 方案一：先用勾股定理逆定理测量一个角是否为直角，然后用同样的方法再测量另外两个角是否也为直角，并给出判断；

方案二：先测量四边形ABCD 是否为平行四边形，再用勾股定理逆定理测量其中一个角是否为直角，并给出判断．

AB =6，BC =8，第17题.(2006 潍坊课改) 如图，在矩形ABCD 中，A

若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 的长为（） A ．

Ｂ．30 角 Ｄ．60 角

1515

B ． C ．5 D ．

6 24

B

F

答案：Ａ

第18题.(2006 潍坊课改) 如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB 'C 'D '，图中阴影部分的面积为（） A ．

1 2

B

．

3

C

．1-

3

D

．1-

4

C 答案：Ｃ

D

第19题. (2006 潍坊课改) 小明家准备建造长为28米的蔬菜大棚，示意图如图（1）．它的横截面为如图（2）所示的四边形ABCD ，已知AB =3米，BC =6米，∠BCD =45︒，AB ⊥BC ，D 到BC 的距离DE 为1米．矩形棚顶ADD 'A '及矩形DCC 'D '由钢架及塑料薄膜制作，造价为每平方米120元，其它部分（保温墙体等）造价共9250元，则这个大棚的总造价为多少元？（精确到1元）

=1.73=2.24=5.39=5.83） ='

' C ' A

B E

图1

答案：解：过D 作DF ⊥AB 于F ， A B ⊥B ，C ∴DF ∥BC ， 又 DE ⊥BC ，∴DE ∥AB ， ∴四边形BEDF 为矩形， ∴D E =B F ，DF =BE ， 1=，CD = 又

∠BCD =45，∴CE =1

A

B

图2

E

A

F

D

C

B

E

又BC =6，∴DF =BE =5，

在Rt △AFD 中，AF =2，DF =5，

∴AD =

∴S 四边形A

S 四边形D

='D 'D

=292≈8

5 . 39，1，50. 9

='C 'C

=2≈8

3， 9. 5

∴总造价为(150.9+39.5) ⨯120+9250≈32098（元）．

［或用计算器计算得⨯120+9250≈32096（元）．］

第20题.(2006 烟台非课改) 如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD ∥BC ，则有以下结论：①AB ∥CD ②AB =BC ③AB ⊥BC ④AO =CO ．那么其中正确的结论序号是__________． 答案：①②④

第21题. (2006 广州课改) 如图—①，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图—②的图案，则图—②中阴影部分的面积是整个图案面积的（） 图—②

图—①

A

B ．

1 4

C ．

1 7

D ．

1 8

答案：D

第22题. (2006 肇庆课改) 顺次连结矩形的各边中点，所得的四边形一定是（ ） Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形 答案：Ｂ

第23题. （2006 甘肃张掖课改）如果一个四边形绕对角线的交点旋转90 ，所得的图形与原来的图形重合，那么这个四边形一定是（ ） Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．正方形 答案：Ｄ A E H 第24题. （2006 海南非课改）如图，在菱形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是菱

B O D

形四边的中点，连结EG 与FH 交于点O ，则图中共有菱形（ ）

F G Ａ．4个 Ｂ．5个 Ｃ．6个 Ｄ．7个

答案：Ｂ

C

第25题（. 2006 海南非课改）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，

A D

BD 相交于点O ，AB =2，∠BOC =120 ，则AC 的长是

__________． 答案：4

B C

第26题. （2006 宿迁课改）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，若

D

D '

C

B

∠BAD '=30 ，则∠AED '等于（ ）

Ａ．30

Ｂ．45

Ｃ．60

Ｄ．75

A 答案：Ｃ

第27题. （2006 宿迁课改）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是___________．（结果可用根号表示）

答案：2

第28题. （2006 天津非课改）下列判断中正确的是（） A ．四边相等的四边形是正方形 B ．四角相等的四边形是正方形

C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形

D ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 答案：D

第29题. （2006 广东非课改）如图，在菱形ABCD 中，∠ADB 与∠ABD 的大小关系是（ ） Ａ．∠ADB >∠ABD Ｂ．∠ADB

Ｂ

第30题. （2006 贺州课改）如图7，O 是菱形ABCD 的对

，OC 的中点．下角线AC ，BD 的交点，E ，F 分别是OA

列结论：①S △ADE =S △EOD ；②四边形BFDE 是中心对称图形；③△DEF 是轴对称图形；④∠ADE =∠EDO ．其中

错误的结论有 ． ．．Ａ．1个

答案：Ａ

Ｂ．2个

Ｃ．3个

D

B

Ｄ．4个

矩形，菱形的性质及判定专项练习

1. 在下列命题中，真命题是（ ） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

2. 已知菱形的两条对角线长为10cm 和24cm, 那么这个菱形的周长为

A ______________, 面积为_______________.

3. 将两张长10cm 宽3cm 的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那

M 么重叠部分的面积的最大值为________________.

4. 一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为

D __________.

5. 顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是

___________. 6. 如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，OF ⊥BC ，CE ⊥BD ，OE ：BE=1：

3，OF=4，求∠ADB 的度数和BD 的长。

7. 如图所示，矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ，若矩形的周长为36cm ，

求此矩形的面积。

8. 折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得

折痕DG ，如图，若AB=2，BC=1，求AG 。

9. 已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，

F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。

A

G

D

B N C

A

B

E

D

F

C

C

E

10. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF =CE ，且

EF ⊥CE , DE =2cm ，矩形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长．

11. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1），画出△AOB 平移后

的三角形，其平移的方向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。

12. 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，

∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。

13. 已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且CE=CF。过点

C 作CG ∥EA 交AF 于H ，交AD 于G ，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC 的度数。

A

G

B E

C H

F D

14. 如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE，∠BAE=

BD 于M ，试说明BE=AM。

15. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．

16. AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，求证：AD ⊥

EF 。

17. 如图，在△ABC 中，AB=BC，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 上的中点，（1）求

证四边形BDEF 是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF 的周长？

18. 已知：如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB

上一点，且AE=AC，EF ∥BC 交AD 于点F ，求证：四边形CDEF

是

1

∠EAD ，AE 交2

菱形。

19. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 、AC 分别交于

点E 、F 、O ，求证：四边形AFCE 是菱形。

20. 已知：如图，C 是线段BD 上一点，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，R 、F 、G 、

H 分别是四边形ABDE 各边的中点，求证：四边形RFGH 是菱形。

A

R E B

F

C

D

21. 如图，已知在△ABC 中，AB=AC，∠B ，∠C 的平分线BD 、CE 相交于点M ，DF

∥CE ，EG ∥BD ，DF 与EG 交于N ，求证：四边形MDNE 是菱形。

22. 已知：如图所示，ABCD 为菱形，通过它的对角线的交点O 作AB 、BC 的垂线，

与AB 、BC ，CD ，DA 分别相交于点E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 为矩形。

23. 如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，G 、H 分别是BD 、

AC 的中点，AB 、CD 满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论。

24. 如图，□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝5．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．

(1) 证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形； (2) 试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等； (3) 在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗? 如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．

25. 如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个

动点，且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；

(2) 判断△BEF 的形状，并说明理由；

(3) 设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．

15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF 是菱形，证明略． 16．(1)略；(2)△BEF 是等边三角形，证明略．

(3)提示：∵3≤△BEF 的边长＜2

∴

∴

3(3) 2≤S

≤S

初二数学平行四边形专题练习

1．如果边长分别为4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为______cm．

2．（08贵阳市）如图1，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为cm 2．

3. 若四边形ABCD 是平行四边形，请补充条件 图1 (写一个即可) ，使四边形ABCD 是菱形．

4．在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△ABO 的周长为17，AB ＝6，那么对角线AC ＋BD ＝

⒎以正方形ABCD 的边BC 为边做等边△BCE ，则∠AED 的度数为. 5．已知菱形ABCD 的边长为6，∠A ＝60°，如果点P 是菱形内一点，且PB

＝

PD ＝2那么AP 的长为．

6．在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别是A(－2，5) ， B(－3，－1) ，C(1，－1) ，在第一象限内找一点D ，使四边形 ABCD 是平行四边形，那么点D 的坐标是． 二、选择题（每题3分，共30分）

7．如图2在平行四边形ABCD 中，∠B=110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连结EF ，则∠E ＋∠F ＝( ) A ．110° B ．30° C ．50° D ．70°

D G E B C F 图2 图3 图4 8．菱形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．四边相等 C ．对角线互相平分 D ．四角相等

9．如图3所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm，则AB 的长为 ( ) A ．3 cm B ．6 cm C ．9 cm D ．12 cm

10．已知：如图4，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4， 则图中阴影部分的面积为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 11．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形 ( )

A ．①③⑤ B ．②③⑤ C ．①②③ D ．①③④⑤

12．如图5所示，是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示(单位：mm) ，则该主板的周长是 ( )

A ．88 mm B ．96 mm C ．80 mm D．84 mm

图5 图6 13、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若∠1=50 ，则∠AEF =（ ）

A ．110°B．115° C．120°D．130°

14、四边形ABCD ，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD 是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（）

AB ∥CD BC ∥AD AB=CD BC=AD

A.2组 B.3组 C.4组 D.6组 15、下列说法错误的是（）

A. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形. B. 每组邻边都相等的四边形是菱形.

C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形. D. 四个角都相等的四边形是矩形.

三、解答题

16、如图7，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8 cm , BD ＝6 cm, DH ⊥AB 于H ，求：DH 的长。

图7

17、已知：如图8，菱形ABCD 的周长为16 cm ， ∠ABC ＝60°，对角线AC 和BD 相交于点O ， 求AC 和BD 的长. 图8

D

B

E C

18、如图9，在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点， PE ⊥BC ，垂足为E ， PF ⊥CD ，垂足为F ， 求证：EF ＝AP

19、在△ABC 中,AB=AC,D是BC 的中点,DE ⊥AB, 图9 DF ⊥AC, 垂足分别是E,F. ⑴试说明:DE=DF

⑵只添加一个条件, 使四边形EDFA 是正方形.

请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线, 无需证明） 图10

20、如图11，ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，EF ∥AB 交AD 于F ，

试问：四边形ABEF 是什么图形吗？

请说明理由.

图11

参考答案 一、填空题 1. 2

2. 8

3、AC ⊥BD 4、22 5、150°或15° 6、4

7、（2 ，5）

二、选择题 8.D 9.B 10.B 11.C 12.A 13.B 14.B 15.C

16.9.6 CM 17、AC ＝4 cm , BD ＝4

18. 证明：连结PC ∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB ＝AC ，∠ABD ＝∠DPC ∠BCD ＝90°∵BP ＝BP ∴△ABP ≌△CBP ∴AP = CP∵PE ⊥BC ，PF ⊥DC ∴四边形PECF 为矩形∴EF ＝PC ∴EF ＝AP

19、证明：⑴连结AD ∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点∴AD 为∠BAC 的平分线∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE ＝DF ⑵∠BAC ＝90° DE ⊥DF 20、菱形

∵四边形ABCD 为平行四边形∴AD ∥BC ，∠2＝∠3∵AB ∥EF ∴四边形ABED 为平行四边形∵∠2＝∠1∴∠1＝∠3∴AB ＝BE ∴四边形ABED 为菱形