[常微分方程]答案 习题4.1
习题4.1
1. 设x (t )和y (t )是区间a ≤t ≤b 上的连续函数，证明：如果在区间a ≤t ≤b 上有
x (t )≠常
y t 数或
y (t )常数，则x (t )和y (t )在区间a ≤t ≤b 上线形无关。 x t 证明：假设在x (t )，y (t )在区间a ≤t ≤b 上线形相关
则存在不全为零的常数α，β，使得αx (t )+βy (t )=0 那么不妨设x (t )不为零，则有
y (t )α
=- x t β
显然-
α
为常数，与题矛盾，即假设不成立x (t )，y (t )在区间a ≤t ≤b 上线形无关 β
2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设x 1(t )，x 2(t )分别是非齐线形方程
d n x d n -1x
+a 1(t )n -1+ +a n (t )x =f 1(t ) （1） dt n dt
d n x d n -1x
+a 1(t )n -1+ +a n (t )x =f 2(t ) （2） n
dt dt
d n x d n -1x
+a 1(t )n -1+ +a n (t )x =f 1(t )+f 2(t )的解。的解，则x 1(t )+x 2(t )是方程 dt n dt
证明：由题可知x 1(t )，x 2(t )分别是方程（1），（2）的解
d n x 1(t )d n -1x 1(t )
+a 1(t )+ +a n (t )x 1(t )=f 1(t ) （3） 则：n n -1
dt dt d n x 2(t )d n -1x 2(t )
+a 1(t )+ +a n (t )x 2(t )=f 2(t ) （4） n n -1
dt dt
那么由（3）+（4）得：
d n (x 1(t )+x 2(t ))d n -1(x 1(t )+x 2(t ))
+a 1(t )+ +a n (t )(x 1(t )+x 2(t ))=f 1(t )+f 2(t )
dt n dt n -1
d n x d n -1x
即x 1(t )+x 2(t )是方程是n +a 1(t )n -1+ +a n (t )x =f 1(t )+f 2(t )的解。
dt dt d 2x d 2x t -t
3. 试验证2-x =0的基本解组为e , e ，并求方程2-x =cos t 的通解。
dt dt d 2x t t t
证明：由题将e 代入方程2-x =0得：e -e =0,即e 是该方程的解，
dt
t
同理求得e 也是该方程的解 又显然e , e
t
-t
-t
线形无关，故e , e
t -t
d 2x
-x =0的基本解组。 是2
dt
由题可设所求通解为：x (t )=c 1(t )e t +c 2(t )e -t ，则有：
⎧c '(t )e t +c '(t )e -t =0⎪12⎨''t -t ⎪()()c t e -c t e =cos t 2⎩1
解之得：c 1(t )=-
1-t 1
e (cos t -sin t )+c 1; c 2(t )=-e t (cos t +sin t )+c 2 44
1t -t
故所求通解为：x (t )=c 1e +c 2e -cos t
2
d 2x t dx 1
-x =0有基本解组t ，e t ，并求方程 4. 试验证2+
1-t dt 1-t dt
d 2x t dx 1
+-x =t-1的通解。 2
1-t dt 1-t dt
d 2x t dx 1
+-x =0得： 解：由题将t 代入方程2
1-t dt 1-t dt
d 2t t dt 1t t
+-t =+=0，即t 为该方程的解 2
1-t dt 1-t 1-t 1-t dt
同理e 也是该方程的解，又显然t ，e 线形无关，
t
t
d 2x t dx 1
-x =0的基本解组 故t ，e 是方程2+
1-t dt 1-t dt
t
由题可设所求通解为x (t )=c 1(t )t +c 2(t )e ，则有：
t
⎧c '(t )t +c '(t )e t =0⎪12
⎨
''t ⎪⎩c 1(t )+c 2(t )e =t -1
解之得：c 1(t )=-t +c 1, c 2(t )=-te -t +e -t +c 2 故所求通解为x (t )=c 1t +c 2e t -(t +1)
2
()
d 2x
5. 以知方程-x =0的基本解组为e t , e -t ，求此方程适合初始条件2
dt
x (0)=1, x '(0)=0及x (0)=0, x '(0)=1的基本解组（称为标准基本解组，即有w (0)=1）
并求出方程的适合初始条件x (0)=x 0, x '(0)=x 0的解。
'
d 2x
解：e , e 时间方程2-x =0的基本解组，故存在常数c 1, c 2使得：x (t )=c 1e t +c 2e -t
dt
t
-t
于是：x '(t )=c 1e t -c 2e -t
令t=0,则有方程适合初始条件x (0)=1, x '(0)=0，于是有：
00
⎧111t 1-t ⎪c 1e +c 2e =1
()=, c =x t =e +e 解得： 故c ⎨0210
2222⎪⎩c 1e -c 2e =0
又该方程适合初始条件x (0)=0, x '(0)=1，于是：
00
⎧111t 1-t ⎪c 1e +c 2e =0
()c =, c =-x t =e -e 解得： 故⎨0120
2222⎪⎩c 1e -c 2e =1
显然x 1(t )，x 2(t )线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：
x (t )=
1t 1-t 11
e +e ， x (t )=e t -e -t 2222
'
而此方程同时满足初始条件x (0)=x 0, x '(0)=x 0，于是：
00''⎧x 0+x 0x 0-x 0⎪c 1e +c 2e =x 0
解得：c 1= , c 2=⎨0
'022⎪⎩c 1e -c 2e =x 0
''
x 0+x 0t x 0-x 0-t
故x (t )=e +e 满足要求的解。
22
6. 设x i (t )(i =1, 2, , n )是齐线形方程（4.2）的任意n 个解。它们所构成的伏朗斯行列式
记为w (t )，试证明w (t )满足一阶线形方程w '+a 1(t )w =0，因而有：
w (t )=w (t 0)e
''
x n x n ''+ +
-
⎰t 0a 1(s )ds
x n 'x n
t
t ∈(a , b )
x 1'
(n -2)
x 1
解： w '(t )=
x 1
x 1'x 1
x 1
(n -1)(n -1)x 1 x n
(n )(n )x 1 x n
d n -1x i dt
n -1
=x 1
(n )x 1
x n
x n (n -2)
(n )
x n
x n '
又x i (t )(i =1, 2, , n )满足
d n x i dt
n
+a 1(t )+ +a n (t )x i =0
即
d n x i dt n
⎛⎫d n -1x i
⎪ ()()=- a t + +a t x n n -1 1⎪dt ⎝⎭
(k 为1，w '(t )中第k 行都乘以a k (t )，加到最后一行2， ，n -1)
x 1x 1
'
(n -2)
则：w '(t )=x 1
(n -1)x 1
x n
(-a 1(t ))=-a 1(t )w (t )
x n (n -2)
(n -1)
x n
w '(t )=-a 1(t )dt w t x n '
即w '+a 1(t )w =0 则有：
两边从t 0到t 积分：ln w (t )
t t 0
t t 0
=-a 1(s )ds , 则
ln w (t )-n w (t 0)=-⎰a 1(s )ds
()()w t =w t e 0即：
-
⎰t 0a 1(s )ds
t ∈(a , b )
t
7. 假设x 1(t )≠0是二阶齐线形方程x ''+a 1(t )x '+a 2(t )x =0（*）的解，这里a 1(t )和a 2(t )
在区间[a , b ]上连续，试证：（1）x 2(t )是方程的解的充要条件为：
w '[x 1, x 2]+a 1w [x 1, x 2]=0；（2）方程的通解可以表示为：
⎡⎤t 1⎛⎫x =x 1⎢c 1⎰2exp -⎰a 1(s )ds ⎪dt +c 2⎥
⎝t 0⎭x 1⎢⎥⎣⎦
数, t 0, t ∈[a , b ]
证：（１）w '[x 1, x 2]+a 1w [x 1, x 2]=0
, 其中c 1, c 2
为常
""'''
⇔x 1x 2-x 1x 2+a 1x 1x 2-a 1x 1x 2=0
"'''
⇔x 1x 2+a 1x 1x 2+a 1x 1x 2+a 1x 1x 2-a 1x 1x 2=0"'
⇔x 1⎛ x 2+a 1x 2+a 1x 2⎫⎪=0
⎝⎭"'
⇔x 2+a 1x 2+a 1x 2=0, (x 1≠0)即x 2为(*)的解。
（２）因为x 1, x 2为方程的解，则由刘维尔公式
x 1
'x 1
-⎰a 1(s )ds x 2
t 0
()=w t e , 即:0'
x 2
t
x 1x 2-x 1x 2=w (t 0)e
⎛x 2d x ⎝1
则有：dt
-
t
''
-
⎰t 0
t
a 1(s )ds
两边都乘以
1x 1
2
⎫
⎪⎪⎭
=
w (t 0)x 1
2
e
-
⎰t 0a 1(s )ds
，于是：
t
x 21⎰t 0a 1(s )ds
=c 1⎰2dt +c 2x 1x 1
t
-a 1(s )ds ⎛⎫ 1⎰t 0
即：x 2= c 1⎰2dt +c 2⎪x 1
⎪x 1⎝⎭
取c 1=1, c 2=0, 得：x 2=x 1⎰
1x 1
2
-
⎰t 0a 1(s )ds
t
dt ,
x 1
又：w (t )='
x 1
而
方
程
-⎰a 1(s )ds x 2
t 0
=e ≠0'x 2
t
从的通解可表示为：
⎡⎤t 1⎛⎫x =x 1⎢c 1⎰2exp -⎰a 1(s )ds ⎪dt +c 2⎥
t 0⎝⎭x ⎢⎥1⎣⎦
数, t 0, t ∈[a , b ]。
, 其中c 1, c 2
为常
8. 试证n 阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。
证：设x 1(t ), x 2(t ), , x n (t )为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，x (t )是（4.1）
的一个解，则：x 1(t )+x (t ), x 2(t )+x (t ), , x n (t )+x (t ), x (t ), （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。
事实上：假设存在常数c 1, c 2, , c n +1，使得：
c 1x 1(t )+x (t )+c 2x 2(t )+x (t )+ +c n x n (t )+x (t )+c n +1x (t )=0即:∑c i x i (t )+x (t )∑c i =0
i =1
i =1
n
n +1
()()())
我们说∑：c i =0
i =1
n +1
n
c
(t )=-∑n +1i x i (t )否则，若∑c i ≠0，则有x ：
i =1i =1
∑c i
n +1
i =1
（*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！ 从而有∑c i x i (t )=0
i =1n
又x 1(t ), x 2(t ), , x n (t )为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组， 故有：c 1=c 2= =c n =0, 进而有:c n +1=0 即（1）是线形无关的。