高中物理函数法极值
例1. 如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角
形。所以两个射出点相距2r ，由图还可看出，经历时间相差2T /3。答案为射出点相距s =为∆t =
2mv
，时间差Be
4πm
。关键是找圆心、找半径和用对称。 3Bq
例2. 圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿
OO ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所
用的时间。
解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB ，∵
P
∆OAO "≌∆OBO "，又OA ⊥O "A ，故OB ⊥O ″B ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，
2t a n (
（L +r ）tan θ，且∠O ＇OP =∠AO "B =θ，在直角三角形ＯＯ＇P 中，O ＇P =而t a n θ=
θ)
，
1-t a n 2()
2
θr AB θR tan() =，所以求得R 后就可以求出O ＇P 了，电子经过磁场的时间可用t ==来求得。
2R v v
θ
θr mv v 2
. OP =(L +r ) tan θ,
tan() == 由Bev =m 得R =2R eB R
M
O ＇
2)
2eBrmv = tan θ=22222
m v -e B r
1-tan 2()
2
2(L +r ) eBrmv
O P =(L +r ) tan θ=22， 222
m v -e B r
,
θ
N
2eBrmv
θ=arctan(22) ,
m v -e 2B 2r 2
t =
θR
v
=
m 2eBrmv arctan(22) eB m v -e 2B 2r 2
例3. 如图所示，光滑水平面上，质量为2m 的小球B 连接着轻质弹簧，处于静止；质量为m 的小
球A 以初速度v 0向右匀速运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动，过一段时间，A 与弹簧分离，设小球A 、B 与弹簧相互作用过程中无机械能损失，弹簧始终处于弹性限度以内
（1）求当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E ．
（2）若开始时在小球B 的右侧某位置固定一块挡板(图中未画出) ，在小球A 与弹簧分离前使小球B 与挡板发生正撞，并在碰后立刻将挡板撤走．设小球B 与固定挡板的碰撞时间极短，碰后小球B 的速度大小不变、但方向相反。设此后弹簧弹性势能的最大值为E m ，试求E m 可能值的范围． 解：（1）当A 球与弹簧接触以后，在弹力作用下减速运动，而B 球在弹力作用下加速运动，弹簧势能增加，当A 、B 速度相同时，弹簧的势能最大．
设A 、B 的共同速度为v ，弹簧的最大势能为E ，则A 、B 系统动量守恒，有
112
③. (m +2m ) v 2+E ②；联立两式得E =mv 0
23
（2）设B 球与挡板碰撞前瞬间的速度为v B ，此时A 的速度
2mv 0=(m +2m ) v ①；由机械能守恒mv 0=
1
2
为v A ，系统动量守恒mv 0=mv A +2mv B ④
A
B
m
B 与挡板碰后，以v B 向左运动，压缩弹簧，当A 、B 速度相同（设为v 共）时，弹簧势能最大，有mv A -2mv B =3mv 共⑤
第18题图
1122mv 0=⨯3mv 共+E m ⑥ 22
2
v 023v 0v 0-4v B 8m
由④⑤两式得v 共=⑦联立④⑤⑥式，得E m =[-(v B -) +]⑧
33416
当弹簧恢复原长时与小球B 挡板相碰，v B 有最大值v Bm ，有
121'212' '
⑨mv 0=mv A +mv Bm ⑩ mv 0=mv A +2mv Bm
22222
联立以上两式得v Bm =v 0，即v B 的取值范围为0
33
v 012时E m 有最大值为E m 1=mv 0⑿ 42
2v 12
当v B =0时，E m 有最小值为E m 2= mv 0
327
结合⑦式知，当v B =