用数学不等式求物理量最大值
用数学不等式求物理量最大值
一、数学不等式：
如果a 、b 、c 为正数，则有：ab c ≤⎛a +b +c ⎫，当且仅当a=b=c时，取等号。
⎝
3
⎪⎭
3
二、求物理量最大值：
1、求速度的最大值
题目：如图，用长为l 的细线将质量为m 的小球(可视作质点) 悬挂在O 点，现将小球从与O 点等高且细线刚好拉直的地方开始释放，求小球从开始下落到运动到最低点的过程中竖直方向上的最大速度。
解析：小球在下落的过程中，竖直方向上的初速度为零，竖直方向上的末速度也为零（最低点只有水平方向上有速度），表明小
θ 球在下落的过程中竖直方向上一定有最大速度。
设小球下落到细线与竖直方向成θ角的位置时小球竖直方向上的速度最大，此时小球的速度大小为v ymax 。
小球在下落的过程中利用动能定理可得：m gl cos θ
=12m v
2
……①
利用速度分解可得竖直方向上的速度为：v y =v sin θ ……②
联立①②得：v y
令y
=
θ
1
3
=θ
，则有
222
1⎛2cos θ+sin θ+sin θ⎫
y =cos θ sin θ= 2cos θ sin θ sin θ≤ ⎪
22⎝3⎭4
2
4
2
2
2
所以y 4≤4，y
v y m ax =
27
。
当2cos 2θ=sin 2θ时，y
有最大值，此时cos θ
=
3
θ=3
。
3处。
2、求场强的最大值
题目：已知带电量都为Q 的两个同种点电荷相距为r ，求两电荷连线的中垂线上场强的最大值。
解析：两等量同种电荷在连线中点处的场强大小相等，方向相反，所以合场强为零，而两电荷在无限远处的场强也为零，所以在两电荷连线的中垂线上从电荷连线中点到无穷远处场强一定有最大值。
在两等量同种电荷（取正电荷进行讨论）连线的中垂线上任取一点P ，则两点荷在该处的场强大小为：E 1=的合场强为：E
=
8kQ cos θ
r
2
2
E 2=
4kQ cos θ
r
2
2
，所以P 点
sin θ
。
设y =cos 2θsin θ，所以有：y 2由此得：y 2
≤
427
222
1⎛2sin θ+cos θ+cos θ⎫
=cos θsin θ=(2sin θ cos θ cos θ)≤ ⎪
22⎝3⎭
4
2
1
3
222
，所以y ≤
9
3
即合场强的最大值为：E m ax =
9r
当2sin 2θ=
cos 2θ，即cos θ=
3
θ=arccos 时合场强有最大值。
2
2，这两个点到
。