几类变系数二阶微分方程的解法

第２８卷

２００８年第５期９月高师理科学刊ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓ’ＣｏＵｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶ０１．２８Ｎｏ．５Ｓｅｐ．２００８

文章编号：１００７—９８３１（２００８）０５－－００２９－０３

几类变系数二阶微分方程的解法

耿道霞

（康定民族师范高等专科学校教育系，四川康定６２６００１）

摘要：为解决变系数二阶微分方程不易直接求解的问题，利用变量代换法，给出了几类变系数二

阶微分方程的解法。并讨论了这几类解法的应用．

关键词：微分方程；变量代换；通解

中图分类号：０１７５．１４文献标识码：Ａ

一般说来，变系数微分方程（除一阶之外）都不容易直接求解，在实际问题中，却具有广泛的应用“一．然而很多《高等数学》教材Ｍ都将这一内容作为选讲或只作了解．为此，本文针对变系数二阶微分方程Ｙ’＋Ｐ（墨ｙ）ｙ’＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｙ＝Ｒ（工），采用变量代换法，给出几类二阶微分方程的解法．

１预备知识

本文中的不定积分约定表示为一确定的原函数，不含积分常效．

引理一线性方程ｙ’＝尸（工）ｙ＋Ｑ（ｘ）的通解是）Ｉ：ｅ』＾舳彳ＪＱ（批ｎ挑出＋ｃ）．

引理２川变量分离方程），’＝，（工）烈ｙ）的通解是焉２ｐ（工）出亿・

引理３Ｒｉｃｃａｆｉ方程

孟。ｊｙ‘＋丁＂了

可利用变量变换ｚ：ｘｙ，将方程（１）化为变量分离的方程ｒａ，ｚ＝舷２＋Ｉｚ＋ｂ．ｄｖｄ．ｆ一工ｂ

证明令ｚ：掣，互ｄｚ：ｙ＋工罢，由式（１）可得

五ｄｚ＝ｙ＋＜要ｙ２ｌ工－。ｘ・ｙ＋专）＝卿２＋：ｌｙ＋≥

将式（２）乘以ｘ２，得Ｘ２ｄ。ｚ：ａｚ２＋ｌｚ＋ｂ．（２）证毕．２主要定理

定理１齐次方程

ｙ。＋Ｐ’（ｘ）），＋ｐ（ｘ）ｙ’一，（），’＋ｐ（ｘ）ｙ）Ｑ（ｘ）＝０（３）

经变量变换ｚ＝ｙ’＋ｐ（工）），，可化为Ｌ％＝扣（ｚ）血＋ｃ・

收穑日期：２００８－０４－０１作者简介：耿道霞（１９ｒ７３－）。女，四川越西人，讲师．从事徼分方程研究．Ｅ－ｗｉ］：固∞矗‘４１８＠１６３舢

３０

证明方程（３）可化为坐旦掣：ｆ（Ｙ’＋ｐ（工）），）Ｑ（工）．令ｚ＝），，＋ｐ（ｘ）ｙ，ｒ：ｌＯ确；ｄｚ，：，（ｚ）Ｑ（工），

ｏ石ｎＸ高师理科学刊第２８卷

由引理２，五ｄｚ＝，（ｚ）Ｑ（工）可化为巧ｄ丽ｚ＝扫（ｚ）出坩．

若，（ｚ）＝ｚ，可得如下推论．

定理２齐次方程证毕．推论１齐次方程），。＋ｐ’（ｚ）），＋ｐ（工）），’一（），’＋ｐ（工）），）Ｑ（工）＝。的通解为ｙ＝ｅ舡神血（』ｃｅｐ∽＋口“她出＋。）．

经变量变换ｚ＝ｙ，州ｍ，肛南，可化为岳＝鬻ｍ＋ｃ．

证明由式（４），得坐￡专笋业；纵工），ｆ』专蹩塑１，令ｚ：），，＋ｐ（工））｝，武（４）可进一步化为积Ｌｙ。＋ｐ，（ｘ）ｙ＋ｐ（工）），７・６７（ｘ），（等）＝。扫（劝，（４）。

石ｄｚ曲，（叫南）

／令ｕ＝嫩ｚ－－Ｌ），妾＝易（力塑ｄｘ＋曲钕）代入式（５），得坼）罢＋动ｂ）＝趴工小“），从而罢＝鬻（，（“）一“）跸由弓｜理２，忑ｄｕ＝等（ｍｈ）可化为』忐＝』等血圯（５）

令ｂ（ｘ）＝工，可得推论２．

推论２齐次方程ｙ一＋Ｐ，（曲），＋Ｐ（工）ｙ，．，ｆｚ±业１：ｏ，经变量变换ｚ：ｙ，＋ｐ（工）），，“：三，可化ｋ工，工

方程为与老告ｉ＝ｈ工＋ｃ．

工（ｙ一＋ｐ，（力），＋ｐ（工）ｙ，）一４（）ｒ，＋ｐ（工）），）２一ｆｌ一＼－‘＋尸（工）），）一彳ｂ：ＯＯ～工。（６）

经变量变换ｚ＝ｙ，＋ｐ（力＿），，Ｍ＝成，可化为乞≯｛去万＝一、，一积证明式（６）可化为ｚ华刮小黼）２＋（纠（ｙ，＋ｐ（圳＋－ｂ，令ｚ－ｙ，＋ｐ（ｍ，＋Ｃｃ＿一～工，。’’

ｚ‘

‘ｏ…，…‘。。一童：旦ｚ：＋等ｚ－．ｉＩ－之ｘＪ■、。ｄ

ｘ）７（妒ｘ３

，赤＝一ｉＩ＋ｃ．

３实例

例１令ｕ＝ｘｙ，由引理３，式（７）可变为ｒｄｕ。：口Ｈ２＋ｚＨ＋易．由引理２，工２粤；口“２＋ｚ“＋６可化为ｄＸ戤证毕．求方程），’＋２渺’＋（１＋石２）），＝０的通解．

解方陧），。＋２ｘｙ’＋（１＋ｚ２）），＝０可１枘），。＋删’＋），＋（），’＋ｘｙ）ｘ＝０．由擒仑１，），。＋ｘｙ’＋ｙ＋（），’＋ｘｙ）ｘ：ｏ的通解为ｙ＝ｅＩ（－ｘ）ａｒ（ＩＣｌｅＩ（ｘ－ｘｍ出＋ｃ：＝ｏ－；，（ｃｌｚ＋ｃ：）．

例２求方程），。＋ｘｙ’＝３ｙ＇ｘ‘１＋２ｙ的通解．

第５期耿道霞：几类变系数二阶微分方程的解法３ｌ

解原方程可化为坐掣：３，ｙ＇＋ｘＹ．．令ｚ：），，＋秽，“：三，由推论２可知，坐掣：３兰±翌似工Ｘ戤工式可化为．ｒ互警ｉ＝，譬＋ｃ，解得“＝ｃｌ工２，从而妻＝Ｃｉｚ２，即），’＋掣＝Ｃ１工３．由弓ｌ理ｌ，通解为ｙ＝ｅ『＿疵（』Ｇｚ３ｅｐ出血＋ｃ：）＝Ｃ。ｘ２＋２ｃ。＋ｃｅ一手．

例３求方程ｎ三ｙ）一（小手Ｇ—ｔｎ抖专训躲

解令ｐｃ工，＝妻，口＝・，ｚ＝２，易＝－，ｚ＝ｙ’＋三ｙ，“＝款，由定理３，方程＜ｙ’＋ｊ１Ｘ工

ｙ）－专＝。可变形为Ｊ＃ｂ≮１＋ｃ，解得“＝壶一南．又阽小妄，＼石ｙ）一（ｙ’＋妄）２一Ｊ＼工，

（要一・Ｈｊｌ

故利＋三），＝而Ｃ．蚓理１’ｙ，＋＿ｙ１＝而Ｃ的通解为ｙ－ｅ－哇血ｆＩｅ哇ｄ＂ｄｘ＋Ｃ，１＝烨。÷血【Ｊ上ｘ（ｘ－Ｃ）ｅ’；血∽。】＝如一ｃｌ＋ｃ１）．三（ｈｌｘ－ｃｌ＋Ｃ１），从而方程ｎ｛ｙ）一（小习２一（要一・］（小抖扣的通解为参考文献：

【ｌ】李尚志，陈发来，吴辉发，等．数学实验【明．北京：高等教育出版社，１９９９．

【２】韩中庚．数学建模方法及其应用（＾ｑ．北京：高等教育出版社，２００５．

【３】同济大学应用数学系．高等数学【明．２版．北京：高等教育出版社，２００２．

【４】华中理工大学数学系．高等数学【＾Ｉ】．北京：高等教育出版社，１９９７．

【５】陈一鸣，徐玉民．高等数学【＾ｌ】．北京：机械工业出版社，１９９８．

【６】王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９９７．

同东北师范大学微分方程教研室．常微分方程【Ｍ】．北京：高等教育出版社，２００５．

Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｅｖｅｒａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｖａｒｉｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｔｗｏ－ｏｒｄｅｒ

ＧＥＮＧＤａｏ—－ｘｉａ

（ＤｅｐａｍｎｃｍｄＥｄｕｃａｔｉｏｎ，ＫａｎｇｄｉｎｇＮａｔｉｏｎａｌＴｅａｃｈｅｒ＇ｓＣｏｌｌｅｇｅ，１６ｍ神ｉｎ９６２６００１，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｑｕｅｓｔｉｏｎｔｈａｔｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｖａｒｉｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｔｗｏ－ｏｒｄｅｒｉｓｎ’ｔｅａｓｙｔｏｂｅｓｏｌｖｅｄｄｉｒｅｃｔｌｙ，ｂｙｔｈｅｗａｙｏｆｖａｒｉａｂｌｅｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ，ｓｉｖｅｎｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｖａｒｉｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆｔｗｏ－ｏｒｄｅｒ，ａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄｓｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｖａｒｉａｂｌｅｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ；ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ

几类变系数二阶微分方程的解法

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被引用次数：耿道霞， GENG Dao-xia康定民族师范高等专科学校,教育系,四川,康定,626001高师理科学刊JOURNAL OF SCIENCE OF TEACHERS' COLLEGE AND UNIVERSITY2008，28(5)0次

参考文献(7条)

1. 李尚志. 陈发来. 吴辉发 数学实验 1999

2. 韩中庚 数学建模方法及其应用 2005

3. 同济大学应用数学系 高等数学 2002

4. 华中理工大学数学系 高等数学 1997

5. 陈一鸣. 徐玉民 高等数学 1998

6. 王高雄. 周之铭. 朱思铭 常微分方程 1997

7. 东北师范大学微分方程教研室 常微分方程 2005

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2.学位论文 马国卫 解刚性问题的一类指数拟合方法 2006

刚性常常是实际科学研究中严重干扰数值解稳定和精度的一个重要因素，而刚性微分方程数值积分方法的研究也已经成为了数值积分方法中一个最为活跃的研究方向。

根据Lambert提出的在积分的局部区间上用一个有理函数来近似地表示刚性问题微分方程的解的基本思想，我们在解的每个积分局部区间上构造了一个指数拟合的函数,使其近似逼近微分方程的解曲线。

围绕指数拟合这一主题，本文构造了一类通过变量代换改进的指数拟合的方法。这类变量代换的实质相当于在刚性微分方程解的快变区间作用一个衰减函数，使之用常规的低阶算法就能很方便准确的求解。通过与普通积分算法的比较分析，作用变量代换之后的方法无论在收敛速度还是在保持解的稳定性方面均高于未作用变量代换之前的方法。这类变量代换构造的改进方法实现简单，计算方便，理论分析和数值试验证明,在不降低原有积分方法相容性和收敛性的前提下,将该代换用于普通的数值积分算法之后，能取得比普通的数值算法更好的收敛性,稳定性及计算精度。

此外，我们对这类指数拟合方法进行了误差分析和相应的改进，并在此基础上构造了矩阵指数拟合的显式欧拉方法。实验结果表明，矩阵指数的拟合方法在收敛速度和计算精度上均要远远高于直接用变量代换改进的方法。基于Lawson将刚性方程换成非刚性方程的思想,我们也类似地得到了广义Runge-Kutta方法，并以此为基础，构建了基于指数拟合的Runge-Kutta方法，理论分析证明，该方法具有良好的稳定性。

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许多物理学问题和工程技术问题的研究往往可化为对微分方程的解的性态研究。因此，求微分方程的解极大的吸引了人们的注意力。然而1841年，刘维尔(Liouville，1809～1882)证明了Riccati微分方程一般不能用初等积分法求解，而科学研究和实际问题又急需知道微分方程解的性质，这就迫使人们在不对微分方程求解的情况下，根据微分方程本身直接研究其解的有关性质，诸如微分方程解的存在性、稳定性、周期性等。

研究满足微分方程的解的性质有两种方法，一种方法就是求出微分方程的解，再研究解的性质，这种方法称为微分方程的可积性研究；另一种方法就是所谓的定性方法，即不求解微分方程，根据微分方程本身的性质来研究其解的性质。

本文对Riecati型微分方程(包括Riceati微分方程、Abel微分方程和一般Riecati型微分方程)的可积性和通积分以及这些微分方程周期解的存在性和稳定性进行了研究，主要结果如下：

1．利用常数变异法和不变量等方法对Riecati微分方程、Abel微分方程、Riccati型微分方程的可积性以及这些微分方程的某些特殊类型的通积分进行了研究，所得成果有：

①针对Riccati微分方程系数之间的关系，借助变量代换给出Riecati微分方程可积的充分条件及相应的通积分；

②利用二阶线性变系数齐次微分方程与Riccati微分方程解的等价性,在二阶线性齐次常系数微分方程求解思想的启发下，给出Riccati微分方程特解的一种新求法，借助变量代换得出Riccati微分方程可积的一些新结论；

2．利用不动点理论和代数方程求根方法对Riccati微分方程、Abel微分方程、Riecati型微分方程周期解存在性进行了研究，得到了周期解存在的充分条件及必要条件和周期解的稳定性的一些判别准则．同时针对Abel微分方程的周期解存在的充分条件的局限性，利用三次代数方程的性质和不动点原理得到了新的充分条件，给出了周期解与实分支的相交关系，并用例子验证了所得结论的正确性。

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