祁淑娟浅析连续函数在其定义域内最值的求法

浅析连续函数在其定义域内最值的求法

摘要：

如何求出连续函数在起定义域内的最值（最大值和最小值）？很多高中教材都写成是“只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较就可以求出该函数的最值（最大值和最小值）”。但我认为这是一个误区，连续函数在其定义域内某闭区间上必有最值。若该函数在此闭区间上不存在任何子区间使该函数值为常数则此说法正确。若该函数在此闭区间上存在某一子区间使该函数值为常数则需要把该函数的这些常值，所有极值以及端点的函数值进行比较才可以求出函数的最值（最大值和最小值）。 关键词：

函数 区间 最值 比较 极值 端点

一：引言：

由于高中教材中对求连续函数最大值求法定义的片面性使得同学们求出错误的函数的最值（最大值和最小值）。因此我做一下浅析。

二：众所周知：连续函数在其定义域内某闭区间上必有最大值和最小值，如何求出该连续函数的 最大值和最小值呢？

质疑观点一：

1：只要把连续函数的所有极值与端点的 函数值进行比较就可以求出函数的最大值和最小值了。很多高中教材都是这么写的，但我认为这是一个误区，我们来反思一下函数极值的定义；

一般地设函数f(x)在点x 0附近有定义。如果对于x 0附近所有的点都有f(x)f(x 0) 我们就说f(x 0) 是函数f(x)的最小值，记作极小值y=f(x 0) 。

2：我们再来提出一个极值存在的问题：

函数f(x)在区间[a, b]上必有极值吗？ 答案显然不一定。

问题是极值不存在的情况有哪些？

通常情况下人们容易形成一种思维定势既一般地设函数f(x)在点x 0附近有定义若f(x 0) 不是函数f(x)的一个极值则必有另一种情况出现；

（1）如图一对x 0左侧附近的所有点都有f(x)f(x 0).

图一

（2）如图2对x 0左侧的附近的所有点都有f(x)f(x

0).

图二

但这种情况的理解是片面的，如果按极值的定义来分析实质上一下三种情况的f(x 0) 也不是函数的一个极值。

（3）：如图3对x 0左侧的附近的所有点都有f(x)

0).

图三

（4）如图4：对x 0右侧的附近的所有点都有f(x)

x 0

左侧附近的所有点都有

.

图四

（5）如图5对x 0附近的所有的点都有f(x)=f(x 0)

图五

图三，图四，图五的函数f(x)都有一个共性，反映在“开”上含有垂直于y 轴的线段。反映在“数”上在某一区间上函数值为常数值。反映在“类”上分段函数多会出现这种现象。在函数大家庭中我们却忘了它们的 存在。实际上这些线段上的点都不是极值点，正是这些被人们遗忘的点造成了求函数最值法的误区，如下面一个例子。 例；定义在闭区间[1.10]上的函数f(x)的图像如图六所示；

（1） 写出函数f(x)的所有极值，端点处的函数值并写出它们中的最大者。 （2） 观察图形写出函数f(x)的最大值。

解：（1）函数f(x)在闭区间[1，10]上只有一个极小值f(7)=4只有一个极大值f(9)=7，在左端点的函数值为f(1)=6在右端点的函数值为f(10)=2.，者四个值中的最大值为f(9)=7. (2)由图形可以看出对于一切x ∈[2,6]都有f(x)=9函数的最大值为9；

评注：通过本例题可以看出函数f(x)的 最大值既没有产生在极值点也没产生在端点而是产生在平行于x 轴的线段上，由此可见“只是把连续函数的所有极值点与端点进行比较并没有求出函数的最大值。”

仿此可以求出函数f(x)的最小值。 质疑观点二：

设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步棸如下;

(1):求出f(x)在(a,b)内的极值。

(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。很多高中教材上在提出观点（1）的基础上紧接有给出观点（2）但我认为这种步棸是一个明确的误区。如有下面例子： 例：已知函数

（1） 求证：f(x)在闭区间[-3，1.5]上连续。 （2） 求证：f(x)在区间(-3,1.5)上可导； （3） 求：f(x)在开区间[-3,1.5]上的导数。 （4） 求f(x)的所有极值以及端点函数值。 （5） 求f(x)在闭区间[-3，1.5]上的最大值。 证明：（1）显然函数f(x)在[-3,-2],(-2,0),[01.5]上均连续，故只需证明函数f(x)在x=-2,x=0 出连续。

因为lim f (x ) = lim f (-3x -12x -6) =6；

x →2

2

x →-2

所以lim f (x ) =f(-2)=6;

x →-2

所以lim f (x ) =f(-2);所以函数f(x)在x=-2出连续。

x →-2

综上所述函数f(x)在闭区间[-3，1.5]上连续。 （3） 显然函数f(x)在（-3，-2），（-2，0），（0，1.5）上均可导故只需证明函数f(x)在x=-2,x=0

出

可

导

。

因

为

lim

x →0

f (-2+0x ) -f (-2)

0x

=

f [-3(-2+0x ) 2-2(-2+0x ) -6]-6

=0 lim

x →0

0x

又因lim

x →0

f (-2+0x ) -f (-2) 6-6

= lim =0 x →∞

0x 0x f (-2+0x ) -f (-2)

=0.

x 0

所以lim

x →0

所以函数f(x)在x=2处可导且f /(2)=0. 因为lim

x →0

f (0+0x ) -f (0)6-6

= lim =0、 x →∞x x 00

f (0+0x ) -f (0)32

= lim[-(0x ) +4(0x ) -4(0x )]=0 x →0

0x

又因lim

x →0

所以lim

x →0

f (0+0x ) -f (0)

=0，所以函数f(x)在x=0处可导，且f /(0)=0;

0x

综上所述f(x)在开区间(-3，-1.5) 可导； （3）：解：结合（2）的结论可得；

（4）：解：令f (x ) =0则-2

当x=1时f(x)有极小值，并且f(x)的极小值f(x)=5，又可求得端点函数f(-3)=3,f(1.5)=5.437. (5)解：根据（4）的结果可以做出函数f(x)的草图可以看出当x ∈[-2,6]时函数f(x)取的最大值6

//

评注：本例题所构造的函数f(x)满足在闭区间[-3,-1.5]上连续在开区间（-3，-1.5）上可导但函数的最大值没有产生在极值点，也没有产生在端点而是产生在区间[-2,0]上对应在一条平行于x 轴的线段上，如果按照观点二就会得到错误的最大值。 三：修正观点：

正确观点一：在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值； （1）：若不存在任何子区间使函数f(x)的值恒为常数则只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较久可以求出函数的最值。

（2）若存在子区间是函数f(x)的值恒为常数则需要把连续函数的这些常数值和所有极值以及端点的函数值进行比较才可以求出函数的最值。

正确观点二：设函数f(x)在(a,b)上连续，在[a.b]可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步棸如下：

（1） 求f(x)在（a,b ）内的极值。 （2） 将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较（若存在其定义域内的子区间使得f(x)的值恒为常数

那么这些常数也要参与大小的比较）其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

四：参考文献：

高一下册数学教材 高二上册数学教材 高三下册数学教材