试论圆锥面平面截口
數學傳播35卷4期,pp.52-61
試論圓錐面平面截口的展開
周國定
問題的提出:關於圓錐曲線,一般我們會設計如下的一道實習作業:
煙囪彎頭是由兩個圓柱形的煙筒焊在一起做成的,現在要用矩形鐵片做成一個直角煙囪彎頭(如下圖,單位:cm),不考慮焊接處的需要,選用的矩形鐵片至少應滿足怎樣的尺寸?請你設計出一個最合理的裁剪方案。(在矩形鐵片上畫出的裁剪線應是什麼圖形?
)
筆者感興趣的是下面的引申問題:如果將直角煙囪彎頭一端的圓柱面改為圓錐面(如圖3),則如何在矩形鐵片和扇形鐵片上設計合理的裁剪方案?
為了解決這一問題,需將圓錐曲線與其母體——錐面、生成平面——結合起來考慮,並研究:
(1)‘截口’曲線離心率與生成平面傾斜角之間的關係;(2)‘截口’曲線在錐面展開圖中的曲線。
一、基本引理
設對頂錐面的頂點為O,軸截面頂角為2β(0
π
試論圓錐面平面截口的展開53
Π1與錐面交成的‘截口’曲線記為C∪C∗(其中C為截口曲線在平面Π0上方的部份,C∗為在平面Π0下方的部份),由對頂錐面關於Π0對稱性,不妨假設C始終不為空集合,而C∗則可以為空集
合。
設頂點O到Π1的距離為h(h>0),平面Π1向上方向的法向量與Z軸的正半軸所成
π
的角為α(0
圖1
y=
cosαcosβ−sinαsinβsinϕ
h
sinβcosϕ
C∗:
cosαcosβ−sinαsinβsinϕ
hx=−
cosβ
cosαcosβ+sinαsinβsinϕhz=−
sinβsinϕ(ϕ為參數,sinϕ
54數學傳播35卷4期民100年12月
證明:平面Π1的直角座標方程:ysinα−zcosα+h=0。由式(1),Π1的球面座標方程:ρsinθsinϕsinα−ρcosθcosα+h=0。
∵對頂錐面的軸截面頂角為2β,∴錐面的球面座標方程為:θ=β或θ=π−β。∴‘截口’曲線C∪C∗的球面座標方程為: