阿基米德_数沙者_与大数记法_王青建

迁宁师范大 学 报学一九

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自 然 学 版 科,

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UOR N A O LFL A IO NI N G N ORM A L UN I V E R IST Y

第一 期

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9 88

阿

基 米德 《沙数者 》 与 大 数 法

记王 建

(数青 学史研室 究

)不文 概 述 了 阿基米 德 唯 一 半 的存算 术 论著

《数者沙》

,

内 的 容 及 要主贡

献

指, 出 阿基 米德 大在

数记 法 的 上成就 远比 同 时 代 它 其地区 的 方 法 步 进 完 酋和

的 原则 一 致 的是。

其

基 木思 想 与 我 现 在们 载 记大数 时所 用

关 词

键

:

阿

基 米德

,数

沙

,

记 数法者

。

阿 基

米 德 (A rc h ime d

e 。

,

约

2 8 了

。~

2

2

1

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c

.

) 古 是希腊著 名 的 物理 学家 和数 家学,

,他

在、物 学理 上 以发现杠 杆原 理 浮 力 定 和 律 芳 流百世 平 曲面 线的 深入研 究 闻名 遐迩 定 也 理 以 是 何几方 法 论 证 的 理算论的文 章

(

,。

在 数

学 以 面 上 积 和体积 求的 方 解法,

阿基米 在德 几何 学上也 做出 很了 贡大

献

他的 许多物

理但

在 基 米阿 德留 传 下 来 的 作 中 著 却 一有 专 篇门 讲 计算和 计;

也 是

他唯 一 一的 篇算术论 著 一 一 《 数 沙者

。

》其

的 突 出成 中就 是给出 一

n

整 表示套 大数 方的

法沙数 》

者(

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)

〔

是”阿 基米 德 写 国 给 王 盖 (伦 e lGo 。

) 的 一

封

信

,

开

首篇 先提 出 要解 表 示决大 量 粒 沙 数目的 问 题

当 时

有 认人 为 地象 球 本身这 样大 的 球体 内

,

所 包 能含的 沙 子 数目 不是可 数 的 样 的 数大 目 表 示出

来

,

a有

无穷 多 个

有人 说也

即,使能 数 字头

的 ,

,

,

也没 有 法 办这

,将

。

阿基 米 德当 时 希的腊 记 载数 目 都是 用 数 词 或希 腊 字 母

,

个符单 号a

,

所能 表示 的最 大 是一数万

M矿 )或

] 【2

’

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记或 砂 用M表示 ( 是M My

: 。 户:

,

有

时 记为 夕

M 丫 M或

3` ]

,

。

一 些文 献 若 中 现出 大 数较 时 目就 用采 组 法 来 记合 载 如 M 例表示二

在万M 上面 ( 或前面 )写 的数码 味意着 该 数 扩 充一 万倍。

表

示 万三等 方法 ,

但 人们 于 对 表 示地象,

球

积 体这 么 多的 沙粒 的 数 目显 得 能 为 无

阿 基力 米德 收 了前 吸 工 人 作的经

验

创用一 套

不 仅

给 出 上 述题的 表 述

。

,问

而

且扩 充 为 示 表 整 天 个 那体 样 的大体 粉所 能 包 含 沙的:

粒数

目

1.

天

体 体 积 的计 算 以 列下假 定 为基

础 地 球的周 长 不 大于 三百 万 个 英 )尺

;

“

斯,达地”

ul 记 i sm

(

,希古腊

、

马罗 的 度 长 位

单;

,

约

2合

076

. 球地 直的 径大 于 月 球 直的径

太 阳的 直 大径 于 球地 的直 径

;

3

.

0 于 月倍球的 直 太 径阳 直的径 约

3 述上假 有定些 是 文 天学家 承 已认的 结 果使

自己 的 果 更结 说有服力 ,

,有 些是被 一人般 认为比较 明显的 结果

“

。为

阿

基 米德 地球将的 周 长 和太 阳的直 径 设 得比 原 有的 数 更 据 阿基米 德 得 到 所

“

谓大

,

经

过 一番 比 推 较导后

,

宇

宙“`

”

,

(相 当 太 阳系 于

)、

太 和 阳球 地

天等 体 尺的寸 与 标准 长 度 位

单接

着

,斯达

地

“

” ”

间

的 量数关系

直

:径

, 最终导出

宙

宇10

斯 达

地“ )o

阿基 米。德建 立将 要了实 的行数 记 法

则工.

一万

(10

“

`

) 为 统传记 数 中的 最 高位单

s r

.

1

由 继 此 往 上继数到 万 万 (

il

,)

一称

至,

F

万 万 这 些数 为 第 一 级 ( i

) 〕 s 可此 至 万数 万 〔( 1

02

,x d

o

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:数)

“,

设

万万 为第二 级 数 的单 位 ( u 数n

,

则

第 级二 由

数“。

再 以

万 万 为第 三级 数的 单位 数

“

吕

可 以数 到万万

以 此类

,

0 推 以可 直一 数至 万 万 万的万 次幂 万 万 万 万 〔( 1 兀

.

)

。` 」 即 万第万 级数的 最 末一 数

,

.

称之

为 P

。

上 设 述一由

P至

r

di o)所 列 数 的为第 一 周 期 p e(8

以P 为 第 二 周期中第 级 一的 单

位

数

,

则 该 包级含 自 尸至 万万尸 (10

“

)的P数·

,以 最

后 数一为 第二 周期 中 二第 级 单的 位,

数

,

则这

一 的级数止 于 万万 贬

P

(

尹1)2

〕

P.

仿

类 推

上

,直 至

二 周第 期 第中 万 级万 数的 最

末一 数万万 万万皿

.或

2P

.

以

为 第严三 周 期 中一第级 单 的数

位r

“.

如上推 导 可 至 第数三 周 期 第中 万 级万

数,

的

末最 一

数W

.

以

P “ 为第 四 周期 中 的 第 一 的级 单 数

P位万 万[ l

P

“

,…

…

。

继

续上述 程

吕

,序

一 直

可以 数 到 第

“

万 万 期 周 中第万 级万数 的最 末 数

万一万级 数 的 万 万 单

I位y ri ad m yr o d ni

一或((

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10 8 )`“

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)

’

“

日

习 称之

为第万 万

期 的 第周

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进一 步

】

1`0, ,

,

阿

基德 米给 定 出

,理

:

果 如一个 等比 数 列 A

l021

,:A孔 一

,

`

…

,

,

A

DI

。

,

” …

,

一

A,

,

…,

A。

十二

一

1

…A中 ~ 1lf

,A:

0 1一

二.

(即为

A

,

…

,

10,

饥

一`

,

…

,

10,

…

,

价

+

2,

!… 贝) l 任两

项 A A与相 乘 时 。

。

列 数的 项

中A,

, ,且该 项距 A的 项 数与 距AA !项的 相数等

时

同,

是

。该该 项 距 A l的项 数 A比和

,

乘积

·

A

,各自 距 的 项A数 之和 少

1

即

。

A

。。

,A 一

A。

+,

一

1由 A

,

一1

得

可月。

_

A

。十 。 一

,,

AI

A

至此1

’币

,

有所 的准 备 工 作 业已完 成

,

,

阿 基米德 便将 他 的 记 数理论 用 于应数 中

沙

“,

经

”过

一 系列

分 析比 较 仁

即1 护K

导出 前 的 述一 能个容 纳 谓

,所

宇

宙” 的 体球 所 包 能 的 含 粒沙总 数小于

,

甲 )I “

(

01 0 0 个第七 级单 位

〕数

。

进

一步

阿“基 米 推德断

比上:述

“

宇

球宙还 要 的 大 星恒 球 (文中 设 恒 球星 的 直径 小 于 数 小 于

1 护仁 即 1印”

宇宙

”

,

直 径的一 万倍 )所 能包 含 的沙 粒总

“

(1 少 )

了

, 一 千万个 第 八 单级位 〕数

这是数 学史 家经 引 用的 结常。

论

〔 ]4

’

1

]5

。

由

以 叙上 可述以 出看

,

阿 基 米

德 《数 者 》沙在 数 大记 载 上做出 开创 的性工 作

e古

腊 最希 早 的 码数 系 是体 克 特 里 r(C

化数)

,码

其 最 中 大的 位单 只词 有千

f6一 ]

令( )

.

公元

前 六世纪 的 赫后 罗代 其 中的 符

号 oo奥 斯( A lpl

“

。 耐H灿 符 幼号有 了 表 示万的 符

,

号M表 示 五万 的 符 号

。

6阿和

。

M 延 用

到 希 腊字母 数系 中并始 终 为 最作 大的单位 词 超 过万 的 目 数般 一直

一

尸,

采

用组合 式 符号记

法

n

M )表 示 万两例 如M (或

口’

.

。与

阿 基 德 同 时米代 的数学 家 阿 波罗尼

,

u

is

,

约

2 6

一)1 70

B

.

)C应 用 过一些 大 表 示数法

”

“ e s 如例用 单一 的( j pml )

,

、

” “

”“ ”o ue re 重双 的(d b ) 和 l三倍 的 ( t ipl ) 等 与词万 组 合 成表 示( 1 00 0

。0

l

召

j“00 0 l2,

,

。 0

00 等”

。数

的

术

“语”

到公 元 世纪四 被 怕 波斯时 〔凡

)

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,

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t 写缩 尸 为 l) 继而

,

,

l[ 川等

3

而阿 基

”

米 应德用 的 位单 词达 到 万 万 (了 1 。

相当

于亿

”

。

以

此 基为础 创 用 了数量 的 ,

级

、

“

期

周”

等概

,念

以 便写 出更大 的

数 。压’

,因 此 数 学 家史 评

论阿 米基 德的 重 要

之

点,并 不 在 于实 际 给上 出写 任何 大数 的 一套 方 案的 思

想`[2 1

。,

而是 发表 可 了 把 以 写数得 大 到 不 受 制限(

1 0 000 0 0 0 0 10 00 00 0 00, 。0 0 。。 。 。 )。

数《 者 沙》 命中 名 的最 数 为大 P

沪1”

,

实 际 应 用的

”

大数最

为

(e i p li

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足见大 数 记法 的效

,

。

益从

本质 讲

上d

n。。

阿

基 米 德使 用的 法 仍方是 希腊 字母 系 中数应 用 的

t

逐“级 命数

法

二 ` e: l

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ms )

,t

,

以

万 万( 0 8 ) 1 为基数

,

逐级 给 出 数 单 位 目的名 称 如 第( 周

。二

期第 三 级

)

除 。 进十位外

c dt 单位a数 之还 间体 现了八进 位( o

王(壬 ’a j

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)

思想的`7 ]

’

,

而 进 八位 仅在 北

美

某 些 地 和 区印度 早 期 哈 巴 讨拉

p

p

a)数 码中 使 有用 迹 象

的I ,

幻

,

具 体 原 因有 待探

埃言 及 形 数象 中码发现 的最 单大 位数 千 万是 (Q )

12

1

但, 它的 数 采 记用位非 值制的 简o

r

单组 合 法很 难 见 到表示很 数 目 的例大

,证

。

古

印 度 元公前 二 世 的纪卡 罗 什奇 (l L

I ][ 8,

。

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)

i数

码中 的 大 仅 数到几百 百

年了 制,

,,

公

元后一 ~ 二 世 纪 有 七 千 的记 录

, 已 在这 阿基 德米之后 好几

巴伦比 记 用数6 0位进值

巴比 伦 人 在 算术 运 中

算

,

至 佣 有于 位道制 的印 数 度码则 八是 纪 才世 逐 步完 善 的 如` 。“

但 对

一 大 些效有 特 南己法,

“

,

`

。

,、

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(

,

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.

用过

更大 的 数4 0

璐,

不 没过 单有独 的 符号 和命 名

。

.

玛

推 人 除 一 整了套 扮 进 位值制 记 数法 外

,

在 编

年 学中 有单独 的 纪 年单 位 0

,

其

站 中到 的 大最 数 阿是劳顿 ( Al 。。: u n ) 应 中用达到 三万。

。

当于相 l [1 4

0

0 O ,。

中。国 商 朝甲 骨 文中最 大 的位单 词是 万

, ,

春秋

战国

,

时

期普 及的 算 记 筹 效是十 迸 值 位 制的( 当 缺 少时 零号 立 值 记数法 可 以 表 示 任 意 大的数

,空靠位 代 替

)从理论 上

各种

讲 但显 对然于 很 大的 数 一用 个 个 数码全 部表 出示 很来不

这在 上点1

刁”0

“

,

现实J

用

。

)必 须 采适 用当缩的写 形

“

。式

,阿

米 德基 走 先了一 步( 例 级如和 期 的 使周,

中国 汉 末 数《术 记 》遗 中 也有 类 徽 的方 法

”

载

将 数分 为 十等

1 。` “`

.

,

进

位分为 三等 1

025 2

“`“

,

中

其

”。

上

等记 数 法 中 的 最大

效米 的 虑繁琐 得

多:,

,达可

十 世三纪还 出现了高 达

的 量无

数。

` 1 度 印 教佛经 典 《华严 经 》 中 命的 名大数 也 达到’ 6

这 但 些记数采 用 的 名称 较 基阿而 阿基 米

“

,

德

般 很 难一从 字 面 上 知 道它 们 所 表 的 数代 及 目 互 的相 关 系

”级

在 单 位

万数万 (1护 ) 的 基 础 仅上 添 加一 符 个 (号 或 名称 )( )

就可以 将 数目数

到 万万万 万

再一添个

,

“ 期周”就 数到

P 了万万( 实 际

。可数

到 )

fP

在各这 种大 数 记载 中使 用 符 号

最 经

齐 而 数 且 表示 也目简 洁 明了

直 到 在现人 们 仍然 遵 循 阿基米 德 给 的出原 处则 理

大

。

效

,

是 每只种 单位 数的 称名各 有不同 而 已

河

基 米德 《数 者 沙 在》 导 沙 粒 数推量 时 究研了 等数比 列 的 特

性

,

叙述 的 定 相理当

于

式公

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( 文 原为 且

。

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理

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,

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0 吐” =

01

。

, `

一“ )

.

该 式

将 的幂积 与 幂 的指数 和 联系,

来

起,

一这性质 成为 十七 世纪 对数 发明 的基 石

《

数沙 者》还 是 研 究 阿 米基德 生平 重的 要 资

。料

有关 基 阿米德 传 记 材 的很料 少。

只

是 某 在 些 继后数 学 的 著家 作 阿和基 米德 原著的 字 里 间行 中透露 一出点

至中 少给 出 三 条 有 关的 信息l 世 H

c ’:o:

,:

而在 《 数

沙 者 》。

一

是 基阿 米 生德 的活 年代 盖是 伦执 政 时 期 (G

文章 本身就 是写 给国王 盖 的伦一 封

,

信。

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是希

伦

二且

0

的儿 子) `1

) `川 1

,

是二 阿 基米 生德 活,

的

地 是 叙 拉点 古 (S :广 c :。 e 今 译; 锡拉 萨 库定 这 一点,

一

西西里 岛一 城 市 )

。 。

,

文 由 章 头开的 叙 述可 以 断

至 少

叮 以 验 证其他 材 料的 法

说

,

.s ) 三 是 阿

基 米德 的 父 亲 叫菲 底 亚斯 (F e hid

a是一 个 天文 学家

曾宣 称太阳 的直 径 是月 直球 径 的 2 倍

,1

这些对 究 阿 研 基米 德来说是

、

常非宝 贵和 重 要 的

川

《数 沙 者》 中 也 记 载 一 些 其他 的了科 学 成

就其

中较 突 出 的是古 希 天 文腊 学

.家

数

学 家阿利 斯塔 克 ( 浪Ar

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) 提

出 的日 学心 说,

,

认为 是被

世界上 最 的早 日 心 学说

动的,

“以

阿 利 ,斯 塔克 定假 恒星和 太阳 动不

。 邵Cr ni

地而 球 是绕 阳 太做圆 周

运,

这 虽然

比 哥尼 白 N(

。

..

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4

7 一3 15 4 朴的 理 论浅陋 得多 工

时 间上但提 了

早

约 1 08 0年

大

数学 家 高 ( C斯

F

G。 s

二,

71771一 85 5)

,

常

常说

,

古 代 所有 数学 家 他 最 中服 佩阿基

,

米

德。

只有 一 点 斯 高不能 原 谅他l

[5,。

就

是计在 沙算粒 时没 有 发明 十 进 位值 制 记 法

,

。

数否则

科学 会提 前 许 多年

的确

,

,

阿

基米 德没 有 根从本 上 革 希改 腊 的 记数 制度

其 他 些一

门专从 算 术 工事作

的 希 数腊 学家也 没 成完这项 工作

不

,过

就 计算 单沙 粒来看 十进 和 制

位值 制并不 是 十 分 必 的 要学问 经时常采 用 的 方 法

而

充 分 利用已 有的 成 果 巧来 妙 地 解决实 际 题 倒 是问阿 基 德米

作

,

。

《数 者 沙 》 限 所 处年于代 的 天 文观测 水

平

然虽 使 了 一用 当些 时新颖 进 的 理 步

,

论

,

但所 设 数据 还是很不 精确

的

,信

。

如 例设 阳太 直 径 是月的球 径的 直30 倍。

。

而实际 上 是

,

40

多

不过 这 并 没 影 有响大 数理 的论 阐

述,

阿

基 德米有 许 多 失 传 著的 作

短 短的《 沙数

者 》 能流传 至

今应

说 该 与 它内容 的 重 性要 有是很大 关系 的 参考

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也可 译为 《 数 法沙 》 或《 沙 粒 计算》a

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