第五节 幂级数 2010-4-6
注意:对于级数
∞
∑u
n =1
∞
n
,当
∑u
n =1
∞
n
收敛时,
∑u
n =1
∞
n
绝对收敛.
(-1) n -1(-1) n -1
例 证∑绝对收敛:令u n =,则 22
(2n -1) n =1(2n -1)
∞
111∞1
u n ==≤, ∑收敛⇒∑u n 收敛
(2n -1) 2[n +(n -1)]2n 2n =1n 2n =1
故 原级数绝对收敛.
§7.5 幂级数
教学目的:弄清幂级数的相关概念;掌握幂级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法;掌握幂级数的性质,能灵活正确运用性质 求幂级数的和函数.
重难点:掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法;掌握幂 级数的性质,能灵活正确运用性质求幂级数的和函数,以及常 数项级数的和. 教学方法:启发式讲授 教学过程:
一、函数项级数的概念
1.【定义】设 u 1(x ), u 2(x ), , u n (x ), 是定义在区间I 上的函数, 则
∑u (x ) =u (x ) +u (x ) + +u (x ) +
n
1
2
n
n =1
∞
称为定义在区间I 上的(函数项) 无穷级数. 2.收敛域
(1) 收敛点x 0∈I —— 常数项级数 (2) 发散点x 0∈I ——常数项级数
∞
∑u (x ) 发散;
n
n =1n
n =1∞
∑u (x ) 收敛;
n
∞
(3) 收敛域D —— 函数项级数
∑u (x ) 的所有收敛点形成的集合D ;
n =1
(4) 发散域G ——
∑u (x ) 的发散点的全体构成的集合G .
n n =1
∞
3.和函数S (x ) —— S (x ) =
∑u (x ) , x ∈D .
n n =1
∞
4.余项r n (x ) —— r n (x ) =S (x ) -S n (x ) , S n (x ) = 注: ①只有在收敛域D 上, r n (x ) 才有意义; ② lim r n (x ) =0, x ∈D .
n →∞
∑u (x ) , x ∈D .
k k =1
n
二、幂级数及其收敛半径和收敛域 1.【定义】形如
∑a (x -x )
n
n =0
∞
n
的函数项级数称为(x -x 0) 的幂级数. (也
称为一般幂级数),其中 a 0, a 1, a 2, . a n , 为常数,称为幂级数的系 数. 当x 0=0时,
∑a x
n n =0∞
n
∞
n
称为x 的幂级数(也称为标准幂级数), 其中
常数a n (n =0,1,2, )称为幂级数的系数. 结论:对于级数
∞
∑a (x -x )
n =0
n n
n
,作代换t =x -x 0可以将一般幂级数化
为标准幂级数
∑a t
n =0
,所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法.
∑a x
n n =0
∞
n
的收敛域:此级数的全体收敛点的集合.
显然: x 0∈D (收敛域) ,即幂级数总在x =x 0点处收敛.
(x -1) n 例如: ∑x , ∑均为幂级数.
n ! n =0n =0
∞
n
∞
显然:
∑x
n =0
∞
n
的收敛域D =(-1, 1) , 其发散域G =(-∞, -1] [1, +∞) .
且和函数S (x ) =
∑x
n =0
∞
n
=
1
, |x |
2. 级数的收敛域 把级数
∑a x
n n =0
∞
n
的各项取绝对值得正项级数
∑a x
n
n =0
∞
n
,
a n +1a n +1x n +1
=l ,则 lim 记 lim =l x ;于是由比值判别法知 n n →∞a n →∞a n x n
∞
1
(1)若l x
l n =0∞
1
(2) 若l x >1,即x >=R ,∑a n x n 发散.
l n =0
∞
1
(3) 若l x =1,即x ==R ,比值法失效,∑a n x n 敛散另行判定.
l n =0
(4)若l =0,即l x =0
∑a x
n n =0
∞
n
收敛.
∑a x
n n =0
∞
n
在一个以原点为中心,从-R 到R 的区间内
绝对收敛,区间(-R , R ) 称为幂级数的收敛区间,R =为收敛半径. 若级数
1
l
∑a x
n n =0
∞
∞
n
仅在点x =0收敛,则规定R =0,级数的收敛域为x =0
n
例如 级数
∑n ! x
n =0
=1+x +2! x 2+ +n ! x n +
n
n x u
=lim n x >1(x ≠0) , 由于 lim n +1=lim n -1n →∞u n →∞n →∞
(n -1)! x n
∴ 级数收敛域为 x =0或 {0};独点集. 若
∑a x
n n =0
∞
n
对任意x 都收敛,则R =+∞,级数的收敛域为(-∞, +∞) .
当0
时收敛域可能是下列区间之一:(-R , R ), [-R , R ), (-R , R ],[-R , R ].
3. 【阿贝尔定理】(补充)设
∑a x
n n =0
∞
n
的收敛域为D ,则
(1)若x 0∈D 且x 0≠0, 则对∀|x |
∑a x
n n =0
∞
n
收敛且绝对收敛.
∞
n
(2) 若x 0∉D , 则 对∀|x |>|x 0|, 有x ∉D 即级数证明: (1) x 0∈D ⇒由
∑a x
n n =0
发散.
∑a x
n =0
∞
n n 0
收敛,
∃M >0
∑a x
n =0
∞
n n 0n
收⇒a x →0(n →∞) ===>|a n x 0 |≤M (M >0的常数)n
n 0
n
===>0≤|a n x n |=|a n x 0|⋅
|x |
x x x
n n
∞
x
从而 ∑M 收敛, ⇒正项级数∑|a n x |n 收敛
x 0n =0n =0
∞
n
⇒∑a n x 收敛⇒x ∈D 即对∀|x |
n
n =0
n =0
∞∞
(2) x 0∉D , 假若有x 1∈D 满足|x 1|>|x 0|==>
∞
由(1)
∑a x
n =0
∞
n
n 0
收敛
⇒x 0∈D 矛盾. 所以∀|x |>|x 0|, 有∑a n x n 发散,即x ∉D .
n =0
注意:(1) 若x 0∈D , 则 (-|x 0|,|x 0|) ⊂D (收敛域), (x 0≠0) ; (2) 若x 0∉D , 则 (-∞, -|x 0|) (|x 0|,+∞) ⊂G (发散域). 4. 【定理7.13】若幂级数
∞
∑a n x n 系数满足条件 lim
n =0
n →∞
a n +1
=l 或
a n
=l (l 为常数或∞),则
n (1) 当0
1l
(3)当l =+∞时, 则R =0. 常用公式: R
=lim
a n ,R =.
n →∞a n +1
例如: 幂级数
∑x
n =0∞
∞
n
的收敛半径R =1, x =±1时,级数发散,故其敛区
与敛域均为(-1,1) . 例1 求幂级数
∑(-1)
n =1
n -1
x n
的收敛半径与收敛域. n
解: (1) R =lim
a n n +1
=lim =1.
n →∞a n →∞n n +1
∞
(-1) n
(2) 当x =1时, 级数为∑收敛;
n n =1
∞
1
当x =-1时, 级数为∑发散.
n =1n
故收敛区间(敛区)是(-1,1),收敛域为(-1, 1](敛域).
x n
例2(1) 求幂级数∑的收敛半径与收敛域.
n ! n =0
∞
解: a n =
a n 1(n +1)!
=lim =lim (n +1) =+∞, ⇒R =lim
n →∞n →∞n →∞a n +1n ! n !
故 收敛区间和收敛域均是 (-∞, +∞) . (2) 求幂级数解: R =lim
∑n ! x
n =0
∞
n
的收敛半径.
a n n ! 1=lim =lim =0.
n →∞a n →∞(n +1)! n →∞n +1n +1
练习:求幂级数
∑(-1)
n =0
∞
n -1
x n -1的收敛半径与收敛域.
提示:R =lim
n →∞
a n
=1⇒R =1,又x ≥1时级数发散. 收敛域(-1,1). a n +1
∞
n -1
例3 求幂级数
∑(-1)
n =0
3n ⋅x 2n
的收敛半径与收敛域. n
u n +1(-1) n 3n +1x 2(n +1) n
提示:lim =lim ⋅n -1n 2n n →∞u n →∞n +1(-1) 3x n
3n 2
=lim x =3x 2
n →∞n +1
22
当3x
时级数收敛;当3x >1⇒x >.
∞
1
当
x =时,原级数是∑(-1) n -1,收敛的交错级数.
n n =1
,收敛域[. 所以
收敛半径R =
,收敛区间(
注意:缺项级数可以直接用比值法求收敛半径.
(2x +1) n
例4 (1) 求幂级数∑的收敛半径与收敛域.
n n =1
∞
t n
解:令t =2x +1, 幂级数变形为∑,
n =1n
1
a n 1
R t =lim n =lim =lim =1⇒R t =1⇒R x =
n →∞a n →∞n →∞n +12n +1
n
1111
t 1⇒x +>时级数发散,
2222
∞
1
t =1⇒x =-1, x =0,当x =-1时原级数为∑(-1) n 收敛,
n n =1
∞
11
当x =0时,∑发散,故 原级数收敛半径R =,收敛域为[-1,0].
2n =1n
∞
注意:一般幂级数求收敛半径时作变量代换.
(-1) n -1x 2n -1
(2)求幂级数∑的收敛域.
2n -1n =1
∞
u n +1x 2n +12n -12n -122
解:lim =lim ⋅2n -1=x ⋅lim =x
n →∞u n →∞2n +1x n →∞2n +1n
由x 1即x >1时级数发散. 得 R =1
∞
(-)1n -1(-)1n
当x =1时,∑收敛,当x =-1时,∑收敛,
2n -12n -1n=1n=1
所以 收敛域为 [-1,1].
∞
2
2
提问:(1)(02.3) 设幂级数
∑a n x 与∑b n x n 的收敛半径分别为
n
n =1
n =1
∞∞
5
与3
2∞
1a n
, 则幂级数∑2x n 的收敛半径为(A ) 3n =1b n
(A) 5 (B)
5
3
(C)
答 因为lim
a n +1b 3
=, lim n +1
n →∞a 5n →∞b n n
∞
1
5
22a n 911+1b n
=3, 所以lim 2⋅2=⋅=,
n →∞b 595n +1a n
(D)
1 3
(x -3) n
(2) (90.5) 求级数∑的收敛域. 2
n n =1
t n a n +1n 2
解 令t =x -3,级数∑2, 由lim =lim =1知R t =1, 2n →∞n →∞a n (n +1) n =1n
因此当-1
∞∞
1(-1) n
x =4当x =2时, 原级数为∑收敛, 当时, 原级数为收敛. ∑22
n n n =1n =1
所以收敛域为[2, 4].
∞
(x -2) 2n
(3) (92.3) 级数∑的收敛域为(0, 4) . n
n ⋅4n =1
∞
t n a n +1n ⋅4n 1
答 令t =(x -2) 对于∑, 由, lim =lim =n n →∞a n →∞(n +1) ⋅4n +1n ⋅44n =1n
n
∞
2
于是收敛半径R t =4, 则-4
当x =0和x =4时, 原级数都为
1
发散, 所以收敛域为(0, 4) . ∑n n =1
∞
三、幂级数以及和函数的运算性质 1. 设
∑a x
n n =0
∞
n
和∑b n x n 的收敛半径分别为R a 和R b
n =0
∞
1)加减法:
∑a x ±∑b x =∑(a
n
n
n
n
n =0
n =0
n =0
∞
∞
∞∞∞
n
±b n ) x n , x ∈(-R c , R c ).
其中: R c =min{R a , R b }. 2)乘法:
∑a x ⋅∑b x =∑c x =∑(∑a b ) x
n
n
n
n
n
n
i j
n =0
n =0
n =0
n =0i +j =n
∞∞
n
, x ∈(-R c , R c ). , n =1, 2, .
其中: R c =min{R a , R b }, c n =
∑a b
k =0
n
k n -k
∑a x
n
∞
n
3)除法:
∑b x
n n =0
n =0
∞
n
=∑c n x n , x ∈(-R c , R c ).
n =0
∞
其中: R c 待定, 而c n 由系列表达式a n =
此处, R a =R b =+∞, 但R c =1. 2. 幂级数3. 幂级数
∑b c
k =0
n
k n -k
, n =1, 2, 确定.
∑a x
n
∞
n
的和函数S (x ) 在其收敛区间(-R , R ) 内是连续. 的和函数S (x ) 在其收敛区间(-R , R ) 内可积,且
∑a x
n n =0
n =0∞
n
有逐项积分公式
⎰
x
S (x ) dx =⎰
x ∞
∑a n t dt =∑
n
n =0
a n n +1
x , |x |
n =0n +1
∞
(积分前后的收敛半径不变). 例:
1
=1+x +x 2+ +x n + , |x |
意义. 4. 幂级数
∑a x
n n =0
∞
n
的和函数S (x ) 在其收敛区间上可微,且在收敛区间上
'∞
⎛∞⎫
S '(x ) = ∑a n x n ⎪=∑na n x n -1, |x |
⎝n =0⎭n =1
说明:求导与积分前后两级数的收敛半径不变,但收敛域有可能改变. 公式
∑x n =
n =0
∞
1
(收敛域为x
∞
∞
x n (-1) n
例5 求幂级数∑的和函数S (x ) , 并求∑.
n =0n +1n =0n +1
∞
a n n +2(-1) n
=lim =1. 当x =-1时, 解:(1) R =lim 级数为∑收
n →∞a n →∞n +1n +1n =1n +1
1
发散. 故原级数收敛域是[-1, 1) . ∑n =1n +1
'∞
⎛∞x n +1⎫1n
⎪(2) 当0
x x 1
'xS (x ) =[tS (t ) ]dt =于是 ⎰0⎰01-t dt =-ln(1-x ) ,
由于S (0)=1且幂级数在其收敛域上连续,
敛;当x =1时, 级数为
∞
⎧1
⎪-ln(1-x ), -1≤x
S (x ) =⎨x
⎪⎩1, x =0.
(-1) n
取 x =-1代入和函数可得 ∑=S (-1) =ln 2.
n =0n +1
∞
(2)求幂级数
∞
∑nx
n =1
∞
n -1
=1+2x +3x 2+ +nx n -1+ 的和函数S (x ) ,
∞
n 2n
并求级数∑n 及级数∑n 的和.
n =12n =13
解:1)ρ=lim
∞
n →∞
a n +1n +1
=lim =1,所以R =1, n →∞a n n
∞
n
当x =1时,
∑n 发散,当x =-1时,∑(-1)
n =1
n =1
⋅n 发散.
所以 级数敛域为(-1,1) . 2)设S (x ) =
x
∑nx
n =1x ∞
∞
n -1
, x ∈(-1,1) ,则
∞
1x
-1=, x ∈(-1,1) ⎰001-x 1-x n =1n =1
d x x 1
S (x ) =⎰S (t ) dt =() '=, x ∈(-1,1) 为所求和函数. 20dx 1-x (1-x )
∞∞
1n -111n
3)令x =,则有 ∑n () =,所以∑n =2.
22n =1n =12(1-) 22
∞∞
1n -1112n 3
4)令x =,则有 ∑n () =,所以∑n =.
1332n =1n =13(1-) 23
∞
x n
练习:(1)求幂级数∑的和函数S (x ) :
n n =1
敛域[-1,1)S (x ) =-ln(1-x) S (t ) dt =⎰
∑nt dt =∑x n =
n -1
(2) (99.3)
1n -1n () =_______. ∑2n =1
∞
x 11
, =(∑x n ) '=() '=(-1) '=2
1-x 1-x (1-x ) n =1n =1
∞
111
令x =,则有∑n () n -1=S () =4, 所以答案为4.
222n =1
因为S (x ) =
∑nx
∞
n -1
∞
π
例6 (00.6) 设I n =
π
⎰
4
sin x cos x d x , n =0, 1, 2, , 求∑I n 的和.
n
∞
n =0
解 由I n =
∞
⎰
40
sin n x dsin x =
4112
(sinx ) n +1=() n +1,
n +12n +10
π
∞
12n +11n +1
得∑I n =∑x , () , 令S (x ) =∑
2n =0n +1n =0n =0n +1
∞
1
则其收敛半径R =1, 在(-1, 1) 内S '(x ) =∑x n =,
1-x n =0
x 1
d t =-ln -x , 于是 S (x ) =⎰01-t ∞21222
) =∑() n +1=-ln -令x =, 则S (, 2222n =0n +1
∞
从而
∑I =∑⎰
n n =0
n =0
∞∞
π
40
sin n x cos x d x =ln
-
∞
n
122
=ln(2+2) .
x 2n
(x
2n ∞
n x (x
∞
1∞x n 2n -1
f '(x ) =∑(-1) x =∑(-x 2) n =-, 2
x 1+x n =1n =1
上式两边从0到x 积分, 得
x t 1x 1122
f (x ) -f (0) =-⎰d t =-d(1+t ) =-ln(1+x ) , 2201+t 2⎰01+t 2
1
ln(1+x 2), (x
点x =0, 由于f ''(x ) =-, f ''(0) =-1
(1+x )
可见f (x ) 在x =0处取得极大值, 且极大值为f (0) =1.
∞
1
例8(05.9) 求幂级数∑(-1) x 2n 在区间(-1, 1) 内的和函数S (x ) .
n =12n +1
由f (0) =1得f (x ) =1-
∞
x 2n
解 设S 1(x ) =∑, S 2(x ) =∑x 2n ,
n =12n +1n =1
∞
x 2
则 S (x ) =S 1(x ) -S 2(x ), x ∈(-1, 1) , 由于S 2(x ) =∑x -, 2
1-x n =1
∞
2n
x 2
(xS 1(x ) ) '=∑x =, x ∈(-1, 1), 2
1-x n =1
2x t 11+x
t =-x +ln , 又由于S 1(0) =0, 因此 xS 1(x ) =⎰01-t 221-x 11+x ⎧
ln , 0
所以 S 1(x ) =⎨ 2x 1-x
⎪x = 0. ⎩0,
∞
2n
1⎧11+x
ln -, 0
故 S (x ) =S 1(x ) -S 2(x ) =⎨2x 1-x 1-x 2
⎪ x =0. ⎩ 0,
练习:求下列级数的收敛区间, 并求和函数:
x 3x 5x 7
+-+ (1)x -357
∞
(-1) n -12n -1
x , 由 解 该级数为∑n =12n -1
lim
u n +1n →∞u n
x 2n +1
=x 2lim 2n -1=x 2, 知当x 2
2n -1
∞
∞
(-1) n (-1) n -1
当x =-1时, 幂级数∑收敛; 当x =1时, 幂级数∑收敛,
n =12n -1n =12n -1
所以原幂级数的收敛域为[-1, 1].
(-1) n -12n -1
设S (x ) =∑x , 则当x ∈(-1, 1) 时有
n =12n -1
∞
∞∞
(-1) n -12n -11n -12n -2
S '(x ) =(∑, x ) '=∑(-1) x =∑(-x 2) n -1=2
2n -11+x n =1n =1n =1
x 1
d t =arctan x . 所以 S (x ) =⎰01+t 2
357
(2)2x +4x +6x +8x +
∞
解 该幂级数为
∑2nx
n =1
∞
2n -1
, 由
u n +1(2n +2) x 2n +1n +12lim =lim =x lim =x 2, 2n -1n →∞u n →∞n →∞n 2nx n
知当x
2
∑(-2n ) 发散; 当x =1时, 幂级数∑2n 发散,
n =1
n =1
∞∞
所以原幂级数的收敛区间为(-1, 1) . 设S (x ) =
∞
∑2nx
n =1
2n
∞
2n -1
, 则当x ∈(-1, 1) 时, 有
∞
2n
x 22x
'. S (x ) =∑(x ) '=(∑x ) '=() =222
1-x (1-x ) n =1n =1
小结:1. 注意收敛区间与收敛域的联系与区别.
2.利用幂级数的性质求幂级数的和函数时,求导或求积分时前后
的收敛区间不变.
3.利用幂级数的和函数可以求常数项级数的和;求出和函数后, 取x 的特值代入和函数即得所求. 4.对缺项幂级数在求收敛半径时应设辅助变量转化为常规形幂级
数或直接用正项级数的比值判别法求收敛区间.
课后记:存在问题:
1. 对缺项幂级数以及通项为a n (x x 0) n 的幂级数求收敛半径以及收敛域 问题多.
2. 求幂级数的和函数,不知从何下手. 不能灵活运用幂级数的性质以及四 个常用公式灵活变形找S (x ) 的表达式. 3. 不能灵活运用和函数求常数项级数的和.