西南交通大学考研结构力学单元刚度矩阵

单元刚度矩阵

单元分析的目的

进行单元分析是有限元分析的第一步，其目的是建立单元杆端力与杆端位移之间的关系。

1

单元类型：

1.平面一般杆单元(刚架单元)

两端固定(一类单元)

1

2

i

j

要计轴向变形

目的：单元类型单一，程序编制容易。

2

单元类型：

2. 桁架单元：

两端铰接，仅有轴力，也称为轴力单元。

1

2

3

3. 连续梁单元：

两端支承在铰上，仅有转角位移。

1

2

i

j

11

k 11

k 12

EA = l EA = l

δ1 =1

k 21

EA = l

δ 2 =1

k 22

EA = l

⎧F1 ⎫ ⎡k11 k12⎤⎧δ1 ⎫ ⎨ ⎬ =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎩F2 ⎭ ⎣k21 k22⎦⎩δ 2 ⎭

(e)

(e)

EA EA δ1 − δ2 F1 = l l EA EA δ1 + δ2 F2 = − l l

⎡ EA ⎧ ⎫ ⎢ l ⎧F N1 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎢ EA ⎨ N2 2⎭ ⎩ F − ⎩ ⎭ ⎢ ⎣ l

(e)

(e)

(e) EA ⎤ (e) − ⎧ δ 1⎫ ⎧ ⎫ ⎥ u 1 l ⎬⎬ EA ⎥ ⎨⎨ uδ 2⎭ ⎥ ⎩⎩ 2⎭ l ⎦

(e)

y

12

x

„

„

对于斜杆单元，其轴力和轴向位移在结 构坐标系中，将有沿 x 轴和 y 轴的两个 分量。 为了便于将局部坐标系的单元刚度方程 转换为结构坐标系的单元刚度方程，使 其具有通用性和规格化，将桁架单元的 单元刚度方程扩大为四阶的形式。

桁架单元的杆端力与杆端位移的关系为：

y

13

δ2

1

EA

e

2

x

δ1

F1 F2 1 EA

δ3

δ4

e

F4 2 F3

() e) EA ⎤ (e ⎫ ⎧ − u i ⎫ ⎧ ⎤ k0 k 13 k0 δ 12 14 1 ⎥ ⎪ ⎪ l ⎥ ⎪⎪ v i⎪⎪ ⎥ )0 )0 k0 k 22 ( ek 23 ( e 24 ⎥ ⎪δ 2 ⎪ ⎥ ⎨⎨ ⎬⎬ EA j⎪ ⎥⎥ ⎪δ k0 k 33 k0 ⎪u 32 34 3⎪ l ⎥⎥ ⎪⎪v ⎪ ⎪ j ⎩ 4 ⎭⎭ k0 k0 k0 42 43 44 ⎦ ⎩δ ⎥ ⎦⎥ (e)

⎧ ⎫ ⎧N Fi1⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Y ⎪ Fi 2⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎨N j ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ F 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Y j ⎩ ⎭ ⎩ F 4⎭

(e )) (e

F

⎡ EA 11 ⎢⎡ k l ⎢ ⎢( e k)0 21 ⎢ = ⎢ = EA ⎢⎢ k 31 − ⎢⎢ l 41 ⎣ k0 ⎢ ⎣⎢

=k

δ

桁架单元的单元刚度矩阵为：

⎡ EA ⎢ l ⎢ 0 = ⎢ EA ⎢− ⎢ l ⎢ ⎣ 0 EA − l 0 EA l 0 ⎤ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎦

(e)

14

0 0 0 0

k

(e)

⎡1 ⎢0 EA ⎢ = l ⎢− 1 ⎢ ⎣0

0 − 1 0⎤ 0 0 0⎥ ⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 0⎦

(e)

(3) 平面一般单元的单元刚度矩阵

⎧δ1 ⎫ ⎧ui ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ2 ⎪ ⎪vi ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ3 ⎪ ⎪θi ⎪ =⎨ ⎬ =⎨ ⎬ ⎪δ4 ⎪ ⎪uj ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ5 ⎪ ⎪v j ⎪ ⎪δ6 ⎪ ⎪θ j ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

F6

) e ( ) e (

15

F1

δ2 δ1

F2

1 F3

δ3

δ6

F4

δ5

⎧ ⎪δi ⎫ ⎪ δ =⎨ ⎬ ⎪ ⎩δ j ⎪ ⎭

) e (

F5

2

δ4

(e)

) e (

e

⎧F1 ⎫ ⎧ Ni ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ F2 ⎪ ⎪ Qi ⎪ ⎪ (e) ⎪ (e) ⎧Fi ⎫ ⎪F3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Mi ⎪ ⎪ F =⎨ ⎬ =⎨ ⎬ =⎨ ⎬ ⎩F j ⎭ ⎪F4 ⎪ ⎪N j ⎪ ⎪F5 ⎪ ⎪Q ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ j⎪ ⎪ ⎩F6 ⎪ ⎭ ⎪ ⎩Mj ⎪ ⎭

(e)

16

杆端力和杆端位移的关系—单元的刚度方程

⎧ F1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪F 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F 3 ⎪ ⎨ ⎬ ⎪F 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪F 5 ⎪ ⎪F 6 ⎪ ⎩ ⎭

(e)

⎡ k 11 k 12 ⎢ ⎢ k 21 k 22 ⎢ (e) k 31 k 32 ⎢ = ⎢ k 41 k 42 ⎢ ⎢ k 51 k 52 ⎢ ⎢ k 61 k 62 ⎣

k 13 k 23 k 33 k 53 k 63

k 14 k 24 k 34 k 54 k 64

F

=k k k δ

43 44

(e)

k 16 ⎤ ⎥ k 25 k 26 ⎥ (e) ⎥ k 35 k 36 ⎥ k 45 k 46 ⎥ ⎥ k 55 k 56 ⎥ ⎥ k 65 k 66 ⎦ ⎥ k 15

(e)

⎧δ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪δ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ 3 ⎪ ⎨ ⎬ ⎪δ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ 5 ⎪ ⎪δ 6 ⎪ ⎩ ⎭

(e)

杆端力和杆端位移的关系

EA l

17

δ1 = ui = 1

EA l

i

δ2 = v i = 1

j

δ1 =1 δ2 =1

EA l

i

6 EI l2 12 EI l3 6 EI l2 12 EI l3

j

⎡ 0 ⎢ 0 12EI l ⎢ 6EI ⎢ 0 e l k = ⎢ EA 0 − ⎢ l ⎢ 0 − 12EI l ⎢ 6EI ⎢ ⎣0 l

3 2 3 2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

杆端力和杆端位移的关系

0 ⎡ 0 ⎢ 0 12EI 6EI l l ⎢ 6EI 4EI ⎢ 0 e l l k = ⎢ EA 0 − 0 ⎢l 6EI ⎢ 0 − 12EI − l l ⎢ 6EI 2EI ⎢ ⎣0 l l

3 2 2 3 2 2

18

δ3 = θ i = 1

i j

EA l

δ3 = 1

4 EI l

2 EI l

6 EI l2

6 EI l2

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

k

(e)

19

杆端力和杆端位移的关系

(e) 1

20

e) ⎡ EA ( e ) EA ( e ) EA (EA ⎤ −4 0 0 0 ⎥ δ F ⎢ = Ni = 0 δ 1 − l l l l ⎢ ⎥ (e ) (e) (e) (e) ( e ) (e) 12 6 12 6 EI EI EI EI (e) 12EI 6EI 12EI 6EI δ + δ − δ + δ F 2 ⎢ =0Qi = 2 3 5 6 ⎫ ⎥ ⎧ ⎧ Ni ⎫ u 3 2 0 3 2 i − l l l l 3 2 3 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ( e⎢ l l l l ) (e) 6 EI ( e ) 4 EI ( e ) 6 EI ( e ) ⎥2 EI (e) v ⎢ ⎪ ⎪ i ⎪ Qi ⎪ F 3 = M i 6EI = 2 δ4EI δ3 − δ 2EI δ6 2 + 5 + 6EI 2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ 0 − 0 l l⎪θ ⎪ l l ( e ) ( e ) ( e ) 2 2 ⎪ Mi ⎪ ( e⎢ l EA (le ) EA ( e ) l l ⎥ ⎪ i⎪ ) =⎢ (e) ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎥ F N = − δ + δ 4 = 1 4 EA u j⎪ ⎪ N j ⎪ ⎢− EA j ⎪ l 0 l 0 0 0 ⎥ ⎪ ⎪( e ) ⎢ l ⎪v ⎪ l ⎥ ( e ) ( e ) ( e ) (e) EI EI EI EI 12 6 12 6 Q j ( e ) j ⎪ F ⎪5 ⎢ ⎪ δ⎪ = Qj = − δ − δ + δ − 2 3 5 6 ⎥ 12EI 6EI 12EI 6EI 3 2 3 2 ⎪M j ⎪ ⎢ 0 l − 2 l 0 l − 2 ⎥ l ⎪θ j ⎪ − 3 3 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ l l l l ⎢ ⎥ (e) (e) 6 EI ( e ) 2 EI ( e ) 6 EI ( e ) 4 EI (e) + δ 3 − 6EI δ 5 4EI + ⎥ δ6 F6 ⎢= M j = 6EI 2 δ 22EI 2 l 0 l⎥ l −l 2 0 2 ⎢ l l l l ⎦ ⎣

(e)

F

=k

δ

平面一般单元在局部坐标系中 的单元刚度矩阵：

⎡ EA ⎢ l ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ =⎢ EA ⎢− ⎢ l ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 12EI l3 6EI l2 0 12EI − 3 l 6EI l2 0 6EI l2 4EI l 0 6EI − 2 l 2EI l EA − l 0 0 EA l 0 0 0 12EI − 3 l 6EI − 2 l 0 12EI l3 6EI − 2 l ⎤ ⎥ 6EI ⎥ ⎥ 2 l ⎥ 2EI ⎥ l ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6EI ⎥ − 2 l ⎥ 4EI ⎥ ⎥ l ⎦ 0

21

k

(e)

思考：

y i M, θ j x i M, θ j x

22

y

单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比 ： A．完 全 相 同？ B．第 2、3、5、6 行 (列 ) 等 值 异 号 ？ C．第 2、5 行 (列 )等 值 异 号？ D．第 3、6 行 (列 ) 等 值 异 号？

桁架单元的单元刚度矩阵

23

⎡1 ⎢0 EA ⎢ k = l ⎢1 ⎢ 0 ⎣

⎡ EA ⎢ l ⎢ ⎢ 0 (e)⎢ ⎢ 0 (e) ⎢ k =⎢ EA ⎢− ⎢ l ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 0 12 EI − 3 l 6 EI l2

δ2

δ3

6 EI l2 4 EI l

EA − l 0 0

6 EI − 2 l 2 EI l

0 0 0 0

0 0

EA l

12 EI − 3 l 6 EI − 2 l 0 12 EI l3 6 EI − 2 l

1 0 1 0

0

δ5

⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ 2 l ⎥ 2 EI ⎥ l ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 l ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ l ⎦ 0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

δ 6 ( e)

等截面梁单元的单元刚度矩阵

δ1

⎡ EA ⎢ l ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ =⎢ EA − ⎢ ⎢ l ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

24

k

(e)

(e)

k

⎡ 4 EI ⎢ l =⎢ 2 EI ⎢ ⎣ l

0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 − 12 EI l3 6 EI l2 − 6 EI l2 2 EI l

δ2

δ4

− EA l 0 0 EA l 0 0

−

12 EI l3 6 EI − 2 l 0 12 EI l3 6 EI − 2 l

2 EI ⎤ ⎥ l ⎥ 4 EI ⎥ l ⎦

0 ⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ 2 l ⎥ 2 EI ⎥ l ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI − 2 ⎥ l ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ l ⎦ 0

δ5

e

单元刚度系数的意义

25

k

k

(e) 25

(e) ij

(e) 25

i

δ5 = v j = 1

j

12EI =− 3 l

表示 k 中第 i 行、第j列的元素； 即：第j号杆端位移分量 δ j = 1 时引起的第i号 杆端位移方向上的杆端力 Fi 。

(e)

k

单元刚度矩阵的性质

单刚具有对称性：由功的互等定理可知

kij = k ji

(k e )T = k e

26

单刚一般具有奇异性：受力角度存在刚体位移； 数学角度向量相关。

解释二：从物理概念上看，因为杆端相 解释一：从数学上看，因为存在相关的 当于没有约束（均可位移），自由体系在 行、列，所以对应的行列式为零，矩阵不 平衡外力作用下，可以产生惯性运动，所 可逆。 以无法由平衡的外荷唯一地确定位移。

27

从数学上，由于单元刚度矩阵存在线性相关 的行、列（不独立），因此其对应的行列式 一定为零，单元刚度矩阵必然是奇异的。

F δ

(e)

=k

−1

(e)

δ

(e)

(e)

=k F

(e)

由于连续梁单元是无刚体位移的，它的单元 刚度矩阵是非奇异的。

思考：

1. 自由式单元 (6×6)的单元刚度矩阵能否在已 知单元杆端力时应用单元刚度方程求杆端位 移？

28

2. “单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性”这 句话对否？

单元分析举例

例题1

求局部座标系下的单元刚度矩阵。其中 l = 2m EA = 1.2×106kN

1 单元 3 2 1

x x

29

4

EA = 6 × 10 5 kN/m l

k

1

l

2 1

l

(1)

EA ⎡ 1 − 1⎤ = ⎢ ⎥ l ⎣ −1 1 ⎦

5

l = 2m

⎡ 1 − 1⎤ = 6 × 10 ⎢ kN/m ⎥ ⎣− 1 1 ⎦

30

其它单元的 刚度矩阵是 等于什么？

3 2 1 1

l

2 单元

EA = 4.2426 × 10 5 kN/m 2l

4

l

k

(2)

EA = 2l

5

⎡1 ⎢ −1 ⎣

− 1⎤ 1 ⎥ ⎦

2

⎡ 1 − 1⎤ = 4.2426 × 10 ⎢ kN/m ⎥ ⎣− 1 1 ⎦

l = 2l

x

2