期权定价的二叉树方法
期权定价的二叉树模型学习笔记
本文是在“《期权定价的数学模型和方法》姜礼尚著”的基础上写的学习笔记。完成日期：2014年6月28日。里面一定有不少谬误，大家包涵指正。
●论文综述
期权分为欧式看涨期权，美式看涨期权，欧式看跌期权，美式看跌期权。看涨期权即在期权到期日有权以敲定价格购入原生资产S；看跌期权即在期权到期日有权以敲定价格卖出原生资产S。欧式期权只能在期权到期日实施，而美式期权可以提前实施。所谓期权定价的二叉树方法就是将期权有效时间[0,T]细分为
N个时段：[t0,t1],[t1,t2],...,[tN−1,tN]，其中0=t0
[0,T]的价格走向可表示为由很多Sti−1
Stu=Sti−1u
i
S=Sti−1d
d
ti
为单元组成的二叉树图。为此我
Stu=Sti−1u
i
们只需要研究Sti−1
Stu=Sti−1u
i
S=Sti−1d
dti
即可。我们指出Sti−1
S=Sti−1d
d
ti
是一个单时段双状态
模型。本文将在市场无套利的前提下，通过对单时段双状态模型的探究，进一步分析得到欧式期权的定价公式（无红利/有红利），美式期权的定价公式。在对单时段双状态模型的探究中我们可以看出，期权定价的二叉树方法就是在市场无套利的前提下，通过Δ−对冲技巧定义一个风险中性的等价鞅测度，通过这个鞅测度给出了一个独立投资人风险偏好的公平价格。 ●背景知识
一、 无套利原理简介
S1,S2,...,Sn是风险资产。
设B是无风险资产，称其中
{α,φ1,φ2,...,φn}∈Rn+1
Φ=αB+∑φiSi
i=1
n
为投资组合，
，表示投资于相应资产的投资份额，叫做投资策略。我
*V(Φ)=0t[0,T]Φ们称在内存在套利机会，如果存在∈[0,T)，使得当t*，有
VT(Φ)≥0，且P(VT(Φ)>0)>0。如果市场在时段[0,T]内对于任何自融资投资策略在任意时段[t1,t2]⊆[0,T]都不存在套利机会，则称市场在时段[0,T]内是无套利的。
通俗的理解市场无套利即不可能存在一种自融资投资策略Φ，使得投资者在某时刻总体上不花钱就持有Φ，却在之后的时刻保证稳赚不赔，而且赚的可能存在。
无套利原理非常重要，整个二叉树理论都是基于市场是无套利的这个前提下展开的。第二章的大多数结论都是应用反证法，通过构造恰当的投资组合得到与市场无套利矛盾来证明的。
二、 单时段—双状态模型
提出问题：考虑一只股票S（原生资产），S在t=0时刻的价格是S0，预期
u
ST=ST=S0uST=STd=S0dt=T时刻的价格有两种可能：或，其中u>d。它在
已知在[0,T]时段内无风险资产的无风险利率为r，问一张到期日为T的欧式看涨期权c的期权金c0为多少？
为了解决这个问题，我们先介绍Δ−对冲的概念。在后面我们可以看出，这个问题的解决就是利用Δ−对冲构造一个无风险的投资组合，然后利用无风险利率和市场无套利求解的。
所谓Δ−对冲，即对于给定期权V，在相反方向交易Δ份额的原生资产S，使得构成的投资组合Π：Π=V−ΔS 是无风险的。这里“相反方向”的含义是：如果V是看涨期权，则卖出Δ份额的原生资产；如果V是看跌期权，则买入Δ份额的原生资产。
问题的解决：假设存在Δ使得Π=c−ΔS是无风险的。设B是无风险资产。由于
ΠT
是一个确定的值而不是一个变量，于是我们令
ΠT=BT=(1+rT)B0=ρB0，其中ρ=(1+rT)。这样可以求解出B0。由市场无套利知Π0=B0（第二章推论2.1），即有ΠT=ρΠ0。（在本文后面的内容中，如果投资组合Φ是无风险的，我们直接利用ΦT=ρΦ0这个结论，而不再通过市场无套利推导。）由原生资产S可能的两种价格走向可以得到如下方程组：
u
⎧⎪ΠT=cT−ΔS0u=ρ(c0−ΔS0)⎨d⎪⎩ΠT=cT−ΔS0d=ρ(c0−ΔS0)，
求解这个方程组，得到
ud⎧cT−cT⎪Δ=(−)
S0ud⎪⎨
⎪c=1(ρ−dcu+u−ρcd)0⎪ρu−dTu−dT。 ⎩
我们直接指出，如果市场是无套利的则有d
u
)=qu=P(ST=ST
ρ−d
u−d
，qu=P(ST=STd)=
u−ρ
u−d
由单时段双状态模型的定义知，此时有0
下面我们来解释为什么定义的新测度Q称为风险中性测度。因为
ud
EQ(ST)=(quST+qdST)
1
ρ
ud
(qucT+qdcT)=
1
ρ
EQ(cT)，其中EQ(i)表
=(quS0u+qdS0d)=S0(
u(ρ−d)+d(u−ρ)
u−d
=S0ρ=S0
BTB0
EQ(ST)−S0BT−B0EQ(ST)BTEQ(ST)BT
所以=，进而−1=−1，即=。这说明
S0B0S0B0S0B0在概率测度Q下，风险资产S的回报的期望与无风险资产B的回报相同。故而我们称Q为风险中性测度。
●欧式期权定价的二叉树方法（不支付红利）
在有了背景知识的基础上（尤其是对单时段双状态模型的研究），现在我们
来处理欧式期权定价的二叉树方法。对于这一部分，我们先处理不支付红利的欧
式看涨期权的二叉树定价，然后利用第二章的call-put parity公式给出欧式看
跌期权的二叉树定价公式。在这里，简要指出call-put parity公式：利用市场无套利的一ct+Ke−r(T−t)=pt+St的证明就是通过构造恰当的投资组合，个结论——推论2.1得到的。
为了方便叙述，我们将单时段双状态模型S0
STu=S0uS=S0d
d
T
称为参数为(u,d)的单
时段双状态模型。将期权有效时间[0,T]细分为N个时段：[t0,t1],[t1,t2],...,[tN−1,tN]，其中0=t0
i=0,1,2,...,N。为了使记号不太复杂，我们引入下面的记号：
nnnSα=S0un−αdα，cα=c(Sα,tn)其中n=1,2,...N，α=1,2,...,n。
α=max{α|S0uN−αdα−K≥0,0≤α≤N}
n易见Sα的含义是在时刻tn，原生资产S从0时刻起“选择”了α次较低走势d后
^
的价格。cα的含义是在时刻tn，原生资产价格为Sα时欧式看涨期权c的价格。α的含义是使得期权c在期权到期日T得以实施而不是被放弃的最大的α。这样一来，不难发现 c0N=S0uN−K
nn
^
c1N=S0uN−1d−K
Nc2=S0uN−2d2−K