三角函数有理式积分

广西民族大学学报（自然科学版）

ＪＯＵＲＮＡＬｏＦＧＵＡＮＧＸＩＵＮＩＶＥＲＳｌＴＹＦｏＲＮＡＴＩＯＮＡＬＩＴＩＥＳ

２００６年１２月

（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ．２００６

三角函数有理式积分‘

梁汉光

（广西民族学大学预科教育学院，广西南宁

５３０００６）

摘要：三角函数有理式积分，并不存在能对一切情况都适用的固定方法，灵活性很大，因此是不定积分

中较难掌握的一种积分．凑微分法是三角函数有理式积分中使用最为广泛的一种积分法，也是最难掌握的一种方法，而配对积分法和通过三角变换把一个三角函数有理式积分化为有理函数积分却是对某些特定类型的积分的一种特殊解法．

关键词：凑微分法；配对积分法；万能变换

中图分类号：０１７４文献标识码：Ａ

文章编号：１００７－－０３１ｌ（２００６）ＺＪＯｌ一００２１－－０８

三角函数有理式积分，并不存在能对一切情况都适用的固定方法，灵活性很大，因此，是不定积分中最难掌

握的一种积分，常常给学习者造成很大的困难．文章对三角函数有理式的积分进行归纳、总结、探讨其规律，以

减少在对三角函数有理式积分时所遇到的困难．

首先，我们所讲的三角函数有理式，是指由三角函数及常数经过有限次四则运算所得到的式子，如

ｖ厂霄甭，了ｃ２ｃｏｓ３ｘ＋５ｔ９２ｚ＋３，五磊１五，五而ｃｏｓｘｔｏｓｚ－ｓｌｎｍ因为式子中带有平方根号，则不是．由于ｔ２ｓｉｎｘ．——ＣＯＳＸ

ｇｘ，ｃｔｇｘ，１

ｓ等都是三角函数有理式．而

Ｒ¨１ｒｒｎＲ

ｒ

５儿１ＪＬ。１一

ＺＪＬ

’面Ｚ再丽’忑画＋拉

Ｖ

ｏＩＪ■－Ｌ

ｅｃｘ，ＣＳＣＸ都可以用ｓｉｎｘ，ＣＯＳＸ表示

出来，因此，三角函数有理式一般记为Ｒ（ｓｉｎｘ，ＣＯＳＸ）．这里Ｒ（ｕ，口）表示关于“，口的有理函数．

若被积函数混含有三角函数和其它函数的不定积分，则计算比较复杂，而且有的原函数不能用初等函数表示出来．因此，本文仅讨论被积函数是三角函数有理式这种情况的积分．

１

直接积分法

有些比较简单一些的积分，一般都可以根据三角公式对三角函数有理式进行恒等变换后直接利用基本积

分公式进行积分．关键是对三角公式和基本积分公式都要很熟悉才能运用自如．常用的三角公式有ｓｉｎ２ｚ＋ＣＯＳ２ｚ：１，ｔ９２ｘ＋１一ｓｅｃＺ．ｚ．，ｃｏｓ２ｘ＝ＣＯＳ２ｚ—ｓｉｎ２ｚ等．常用的恒等变换方法有用三角公式进行分项，分子分母同乘上一个三角式，分解因式等．

例１：求不定积分Ｉ－－丁三丁ｄｚ．

ｒ

１

・收稿日期：２００６一１０—１０．

作者简介：梁汉光（１９４２一），男，广西平南人。广西民族大学副教授，主要从事基础数学研究．

万　

方数据２１

广西民族大学学报（自然科学版）２００６年１２月

增刊

，丽１

ｌＪ

解：用公式ｓｉｎ２ｚ＋ＣＯＳ２ｚ＝１进行分项积分，

例２：求不定积分．ｒ磊熹如．

Ｔ——－～ｄｚＪ．——ｃ＿ｏｓ面２ｘ

例３：求不定积分Ｊ．ｔ９２ｚｄｚ．

ｄｚ＝，甓去乎ｄｚ＝，去ｄｚ＋，熹ｄｚ＝ｔｇｘ－－ｃｔｇｘ＋ｆ

解：用三角公式ｃｏｓＺｘ—ＣＯＳ２２一ｓｉｎ２ｚ＝（ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）（ｃｏｓｘ—ｓｉｎｘ）化简，

２Ｓ１ｄｘ２Ｓ１ｍａｃｃ＋ｃ＋ｃ

ｘＪｌｓｌｎｘ十ＣＯＳＺｓＸＳＯｃ十ＣＯＳｘｎ

ｄｚ—ｆ垡ｌ—＿—＿—一ｄｚ＝窖等ｄｚ一．－－ｓｉｎｘ）ｄ—ｉｎｘ＋ＣＯＳ

解：用三角公式１＋ｔ９２ｚ＝ｓｅｃ２ｚ恒等变形，

，ｔ９２ｚｄｚ＝ｆ（ｓｅｃｚ－，，如＝ｆｓｅｄｘ－ｆｄｚ＝ｔ弘一ｚ＋ｆ

２

换元积分法

这里所讲的换元积分法，是指第一换元积分法，也叫凑微分法，是使用最广泛的一种积分法．由于它没有固

定的方法可以遵循，更由于三角公式众多，因此，三角函数有理式的积分，使用换元积分法是最困难、最不好掌握的一种积分法．它的关键是把被积函数分为两部分，一部分是一个三角函数有理式的微分，而另一部分则是这个三角函数有理式的函数．因此，需要对三角公式和微分运算有相当熟悉的掌握．

（１）凑微分法的关键是“凑微分”，下面列出基本的三角函数凑微分的基本公式．

ｓｉｎｘｄｘ＝一ｄｃｏｓｘ；ｃｏｓｘｄｘ＝ｄｓｉｎｘ；—毛ｄｚ＝ｓｅｃ２ｘｄｘ＝ｄｔｇｘ——ｉＬ・＝ｃｓｃ２ｘｄｘ一一ｄｔｇｘ；ＣＯＳ。ｚｓｉｎ‘ｘｄｘ

妒７（ｘ）ｓｉｎｃｐ（ｘ）ｄｘ

—

ｓｉｎＰ（工）ｄ９（ｚ）

＝一ｄｃｏｓ驴（ｘ）；Ｐ７（ｘ）ｃｏｓ垆（ｘ）ｄｘ

—

ｃｏｓ垆（ｚ）ｄ妒（ｚ）＝ｄｓｉｎ≮ｏ（ｚ）；

ｆ（ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘｄｘ＝ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｓｉｎｘ；ｆ（ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｄｘ一一ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｃｏｓｘ；ｆ（ｔｇｘ）—之一ｄｚ＝ｆ（ｔｇｘ）ｄｔｇｘ；ｆ（ｃｔｇｘ）

Ｚ

ＣＯＳ

圭如＝一弛ｔｇｚ）ｄｃｔｇｚ．

（２）若被积函数中的三角函数的角度不相同，应化为同角三角函数后再应用换元积分法．Ｎ

解：，志一，下ｃｏｓ２ｘ如丢，再ｄｓｉｎ２ｘ＝－ｆ糌

ｄｚ－－Ｉ酱拈丢．ｆ篆¨吉．ｆ土ｓｉｎ．ｚ：一一封豢＋丢，焘一志

２＋ｓｉｎ２ｘＩ＋ｃ

４；求不定积硝ｒ＃‰如．

１

例５：求不定积分＿ｆ五忑麦淼如．解：ｆ

＋虿１

ｌｎＩｃｓｃｚ—ｃｔｇｚＩ＋ｆ

（３）若被积函数有不同名的三角函数，应先化为同名的三角函数后再换元积分．

例６：求不定积分，专基警如．

虿１

ｌｎ

ｔｇｚ

解：．ｆ訾ｄｚ一，丽１＋蕊ｔｇｘｂ一．ｆ瓣１＋ｔｇｘ妇．＝，等ｄｔｇｚ一封画１ｄｔｇｚ＋扣ｔｇｚ一

Ｉ＋虿１ｔ弘＋ｃ．

２２万方数据　

增刊

●梁汉光／＿－角函数有理式积分

例７：求不定积分Ｉ导塑翌等ｄｘＪ

Ｊ—ＣＯＳ

Ｚ

解：Ｊ．兰鬟如一ｆ

ｃ—ｏｓｘｄ…ｃｏｓｘ一一封当釜＝爿孥警一虿１・ｎＩ

３一ｓ２ｚＩ托

（４）被积函数若有不同名的三角函数时，也可化为只含有ｓｉｎｘ、ＣＯＳ．Ｔ的三角函数有理式再用换元积分法．

解：，羔ｄｚ＝，磊夏ｉ‰ｄｚ＝．ｆｃ害三一ｒ竿急，ｄｚ一，寒兰ｄｚ一－『ｉ－竿急ｄｚ

Ｍ

ｓ：求不定积分＿ｒ羔如．

＝一，三皂ｄｃ。ｓｚ＋，ｒ干去蕊ｄｃ。ｓｚ－－－－－－１ｎＩｃ。ｓ主．Ｉ＋１ｎＩ１＋ｃ。ｓｚＩ＋ｆ

例９：求不定积分，｝｝篆如．解．ｆｌ－－ｔ—ｇｘｄ—ｆ

ｃｏｓｘ－－．ｓｉｎｘｄｚ＝，％裂ｄｚ＝Ｊ忑‰ｍ。ｓ计ｓｉ舭，＝

ＣＯＳ．Ｚ＇＋

ｓｉｎｘ

Ｉ＋ｆ

（５）如何把被积函数分为两部分，一部分刚好凑成一个函数的微分，另一部分是这个函数的一个函数，没

有固定方法可以使用，只能靠熟练地掌握微分和积分公式，多做练习，取得经验，才能运用自如，得心应手．

例１０：求不定积分ＩＪ上十Ｓｌｎｘｃｏｓｘ

ｒ—罂生ｄｚ．

解：．ｆ奇慧急如一．ｆ鲁蕞蒜如＝＇『舞器甓如一，耳熹蕊ｍ十ｓｉｎｘｃｏｓｘ卜

ｌｎ

Ｉ１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘＩ＋‘

例１１：求不定积分Ｉ笋警竺学如．

一丢，等等ｄｃｏｓ２ｘ一一拙ｃｏｓ２ｚ＋封矗忑ｄｃｏｓＺｘ＝一＿ｃ０１

觥ｆ…・３争：ｆ

ｃｏｓ…ｘ（ｓｉｎｘｃｏｓｘ）也：Ｊ．＝娑一一号，高ａｃｏ。ｚｚ：

ｓ２件卜虿１Ｋ・＋ｃｏｓ２ｚ，＋ｆ

例１２：求不定积分ｌ

ｒ

ｓｅｃ３ｘｔｇｘｄｘ．

例１解：Ｊ．ｓｅｃ３ｘｔｇｘｄｚ３：求不定积分ｌ可ｆｓｅｃ２ｘ（ｓｅｃ：ｒｔｇｘ）出ｆｓｅｃ２ｘ（ｓｅｃｚ）７如ｆｓｅｃ２ｘｄｓｅｃｚ一了１ｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｓｅｃ３ｚ＋ｃ

解：－ｆ警ｄｚ一』等群如＝』啬ｂ№ｓｉ眦，

Ｊ

ＬＺｓｌｎｘＪ

ｕ．ｚ３

分部积分法

若被积函数是一个三角函数和一个多项式或者指数函数的乘积时，一般采用分步积分法．但在有些情况

下，被积函数是三角函数有理式时，也同样可以用分部积分法来求解．

例１４：求不定积分Ｉｃｏ…ｓ＂ｘｄｚ．

解：这一积分用直接积分法，凑微分法都不能解出来，只有用分部积分法．

胜如ｆＣＯＳ３Ｘ暴如ｆＣＯＳ３Ｘｃ一赤湘一蒹一封案ｂ一蒹一

万　

方数据２３

广西民族大学学报（自然科学版）２００６年１２月增刊

虿Ｊ—ｉ磊＿ｄｚ＝…虿Ｊ五；血十虿Ｊ封与乎如＝一生一号Ｊ－志如＋弘ｎ地＝一一Ｃ０８３Ｘ２ｓｉｎ２ｘ

例１５：求不定积分，ｓｅｃ３ｘｄｚ

ｓｌｎｚｄｚ＝一——２ｓｉｎ２ｘ

百３ｃ。ｓｚ一虿３

１ｎ

ｓｅｃｚ—ｃｔｇｚＩ＋ｃ

解：这一积分不能用别的积分法，只能用分部积分法．

．ｆｓｅｃ３ｚ出一Ｊ．ｓｅｃｚ・ｓｅｃ２ｚｄｚ＝Ｊ．ｓｅｃｚ・（ｔｇｘ，么ｄｚ＝ｓｅｃｘ＊ｔｇｚ—ｔｇｘｓｅｃｘｄｚ＝ｓｅｃｚ＊ｔｇｚ一＿『（ｓｅｃ２ｚ—ｉ）ＳｅＣＸ如＝ｓｅｃｘ＊ｔ舭一ｅｃ３ｘｄｚ＋，ｓｅｃｚ如

．・．ｆｓｅｃ３３ｃｄｚ＝虿１ｓｅｃｚ・ｔｇｚ＋号＿ｆｓｅｃｚ如一丢ｓｅ凹・ｔ弘＋丢ｌｎＩｓｅｃｚ＋ｔｇｚＩ＋ｆ

４

ｓｉｎｘ。ＣＯＳＸ的幂和积的积分

（１）ｓｉｎｘ，ＣＯＳＸ幂ｓｉｎ”ｚ，ＣＯＳ”ｚ和积的积分分两种情况，

当咒是奇函数时，即７２＝２ｋ＋１（点∈刀）时，利用三角公式ｓｉｎ２３５＂＋ＣＯＳ２ｚ＝１化为同名三角函数积分．

ｓｉｎ”ｚ—ｓｉｎ２蚪１ｚ—ｓｉｎ２七ｚ・ｓｉｎｘ＝一（１一ＣＯＳ２ｚ）‘（ｃｏｓｘ）７，

．ｆｓｉⅣｚｄｚ＝－－ｆ（１－－ＣＯＳ２Ｘ）‘（ｃ。ｓｚ）７ｄｚ＝一Ｊ．（１～ＣＯＳ２Ｘ）‘ｄ

Ｊ．ｃｏｓ”础＝ｆｃｏｓ２ｋｘｄｚ—Ｊ＿（垃竽）‘ｄｚ，不断地降阶，最后即可积分了．例１６．求不定积分，ｓｉｎ３ｘ如．

解：＿ｆｓｉｎ３ｘｄｚ＝－ｆｓｉｎｚｘ（ｃ。ｓ∥如＝－－ｆ（１－－ＣＯＳｚＸ）ｄｃｏｓｚ＝－－ｆｄｃ。ｓｚ＋ｆｃｏｓ２ｘｄｃｏｓｚ＝－－ｃｏｓｘ＋１ｃ。ｓ３ｚ

＋ｆ

当，ｚ为偶数时，即咒＝２ｋ（ｋ∈Ｎ），利用半角公式ｓｉｎ２ｚ＝半，ｃ。ｓ２ｚ＝半进行降阶积分．

ｃ。ｓｚ

例１７．求不定积分Ｊ．ＣＯＳ２Ｘｄｚ．

ｓｉｎ３ｚ

解：，ＣＯＳＺＸ如一Ｊ．半ｃｋ一丢Ｊ．ｄｚ＋丢，ｃ。ｓ２ｚ如＝丢ｚ＋｛ｓｉｎ

２ｚ＋ｆ．

ｃｏｓ２ｚｄＬ

例１８，求不定积分ｊ

解：Ｊ．ｓｉｎ３ｚｃ。ｓ２ｚｄｚ一＿ｆｓｉｎｚｘｃｏｓ＊ｘｓｉｎｚｄｚ一一，ｓｉｎ２ｚｃ。ｓ２ｚｄｃ。ｓｚ＝一．ｆ（１一ｃ。ｓ２ｚ）ｃｏｓｚｘｄｃ。ｓｚ＝一Ｊ．ｃ。ｓ２ｄｃ，ｏｓｘ＋．『ｃ。ｓ４ｚｄｃ。ｓｚ＝一了１ｃ。ｓ３ｚ＋告ｃ。ｓ５ｚ＋ｃ

（２）两个不同角的ｓｉｎｍｘ和ｃｏｓｒ／ｘ的积的积分，利用积化和差公式拆为两个积分．

例１９：求不定积分－ｆｓｉｎ２ｚｃ。ｓ３ｚｄｚ．

解：－ｆｓｉｎ２ｚｃ。ｓ３ｚｄｚ＝丢（ｓｉｎ５ｚ—ｓｉｎｘ）ｄｚ＝丢．ｆｓｉｎ５ｚ出一１１ｓｉｎｘｄｘ一一击ｃ。ｓ５ｚ＋丢ｃ。ｓｚ＋ｃ

（３）ｔｇｘ和ｓｅｃｘ的偶次幂积分，可利用三角公式１＋ｔ９２ｚ＝ｓｅａ２ｚ，１＋ｃｔ９２ｚ＝ＣＳＣ２ｚ和基本积分公式

ｆｓｅｃ２ｚｄｚ＝ｔ酗＋ｃ，ｆＣＳＣ２ｘｄｚ＝一ｃｔｇｚ＋ｆ进行积分．

例２０：求不定积分．『ｔ９４ｚｄｚ．

解：Ｊ．ｔｇ＊ｘｄｚ＝ｆｃｓｅｃ＊ｘ－１）２ｄｚ＝ｆ（ｓｅｃ＇ｘ一２ｓｅｃ２ｘ十１）ｄｚｆｓｅｃ＊ｘｄｚ一２ｆｓｅｃ＊ｘｄｚ＋Ｊ．ｄｚｆｓｅｃ２

２４

ｘｄｔｇｚ

万方数据　

增刊●梁汉光／－角函数有理式积分

一２ｔｇｘ＋ｚ—Ｊ．（１＋ｔ９２ｚ）ｄｔｇｚ一２ｔｇｚ＋ｚ—ｔｇｚ一了１ｔ９３ｚ一２ｔｇｚ＋ｚ＋ｆ一一了１【９３ｚ—ｔｇｚ＋ｚ＋ｆ

例２１：求不定积分Ｊ．ｓｅｅ８Ｘ如．

解：Ｊ－ｓｅｃＳ．，Ｔ如ｆｓｅｃ％ｄｔｇｚ＝ｆ（１＋ｔｇＺｘ）３ｄｔ舭＝ｆ（１＋３ｔ９２ｘ＋３ｔｇ‘ｚ＋ｔ９６ｘ）ｄｔｇｚ—ｔｇｚ＋ｔｇｚ十了５ｔ矿ｚ

＋号ｔ９７ｚ＋ｆ

（４）ｔｇｘ，ｓｅｃｘ奇次幂积分没有固定的方法可用．５

配对积分法和分项积分法

（１）配对积分法也叫用方程组求解法，联合求解法．当一个三角函数有理式不好积分时，如果配上另一个

三角函数有理式积分，则变得容易积分了．

例２２：求不定积分ｌ－．』辈量一ｄｚ．Ｊ

Ｓｌｒｌ．Ｚ十Ｃｏｓｘ

解：令Ｉｌ—Ｉ。—雩堕一ｄｚ，取Ｊ２一Ｉ．ｊ等翌一ｄｚ．‘

则。“一，面祭忑如＋．ｆ蕊羝ｄｚ—Ｊ．釜篙如＝Ｊｓｌｎｘ十ＣＯＳＸＪ

ｓｌｎｘ十ＣＯＳＸ

．ｆ如＝ｚ＋ｆ

一ｆ。—熹ｄ（ｓｉｎｚ＋ｃ。ｓｚ）：一１ｎ

ＩＩ－－１２＝，而辈忑ｄ—ｆ

ＣＯＳＸ

ｄｚ—Ｊ．恶意如一一，％掣如一

Ｊ

ｓｍｘｌ一ＣＯＳ．．Ｚ＇

Ｉ．ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸＩ＋ｆ

联立解方程组，得Ｊ。一，。云ｓ干ｉｎｘ—ｄｚ＝虿１‘

ｓｉｎ２＋ｃ。ｓｚ

＋ｆ

ｊ

ｎｚ十

ＣＯＳＸ

ｌ己

ｚ一丢１ｎＳ己

ｌＩ

由此也可以得到．ｒ。＝Ｊ．五耋军丧品ｄｚ＝虿１ｚ＋１１ｎ

ｓｉｎｚ＋ｃ占ｓｚＩ＋ｆ

例２３：求不定积分Ｊ嚣Ｓ・１ｎｘ≠‰Ｃ０８２ｄｚ．

解：令ｆ。一，磊五‰如，取Ｉ：＝．ｒ嚣五善＃囊赢ｄｚ

Ｊ

Ｚ

十０

２１。＋３Ｌ＝．ｆ夏五‰ｄｚ＋Ｊ．丕五‰ｄｚ＝，象耋舞ｄｚ＝＿ｆｄｚ＝彳＋ｃ３１１－－２１ｚ＝．『夏五‰ｄｚ—Ｊ．嚣磊品２ｊＣＯ丽Ｓ．．Ｚ＂ｄｚ＝Ｊ．裹害忠ｄｚ＝一，譬美景≥裂

ｄｚ＝

一ｆ旦譬粤些与匕圣－旦堕：一１—Ｊ—磊五ｊ了巧夏ｉ解方程组，得Ｊ。＝．ｒ云磊‰如＝击（２ｚ一３ｌｎ

２一

ｎＩ３＋ｘＩｌｎｉｓ２

ｃｏ。ｚｃ０８ｚ

ｉ＋ｆｉ十ｆ

Ｉ２ｓｉｎｘ＋３ｃ。ｓｚＩ）＋ｆ

由此，也可以得到Ｊ。一Ｊ．嚣面￡‰ｄｚ一去（３ｚ＋２１ｎ

Ｉ２ｓｉｎｘ＋３ｃ。ｓｚＩ）＋ｆ

例２４：求不定积分Ｉ・』导三一ｄｘ．３

Ｓｌｎ芏十ｃｏｓｚ

．

解：令Ｊ。

Ｊ。＋Ｊ。一，吾熹ｄｚ＋．『虿熹如一Ｊ－鼍譬等如一

＝ｊ—Ｓｌｎ．Ｔ．攀ＣＬＯＳＸ如，Ｊ２＝ｊ—Ｓｌｎ．Ｚ：＇笔ＣＬＯＳＸ如Ｊ

十’

Ｊ

十

ｄｘ＝＝

ｓｉｎ２＋ＣＯＳ．．Ｚ＇

万　

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广西民族大学学报（自然科学版）２００６年１２月增刊

ｄ（ｚ＋詈）＝

ｓｉｎ（ｘ＋４）

１１

ｃｓｃ（ｚ＋手）一ｃｔｇ（ｚ＋｛）

Ｅ了：－－Ｉ意‰ｄｚ一．『意‰ｄｚ一．ｆ甓篝案ｄｚ＝』（Ｓｉ吡一ｃｏｓ圳ｚ＝一ｃ。ｓｚ“眦

ｓｉｎＺｘ焉ｄｚ一去ｌｎＩｃｓｃ（ｚ＋詈）一ｃｔｇ（ｚ＋手）Ｉ一虿１（ｓｉｎｚ＋ｃ。ｓｚ）＋ｃ

一２

＋ｆ

联立解方程组，得ｆ。＝

由此也可以得到Ｌ—Ｊ五患如＝

，一厄

ｃｓｃ（ｚ＋手）一ｃｔｇ（ｚ＋号）

Ｉ＋百１（ｓｉｎｚ＋ｃ。ｓｚ）＋ｆ

（２）分项积分法．利用三角恒等变形将被积的三角函数有理式拆为几个较易积分的代数和，然后分别进行积分．在前面讲到的所有积分法中我们自始至终都在使用这个分项积分法．现在我们利用配对积分法的逆运算来进一步使用这个分项积分法．

例２５：求不定积分Ｊ嚣景舞ｄｚ．

解：令分子３ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ＝Ａ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）＋Ｂ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）７＝Ａ（２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ）＋Ｂ（２ｃｏｓｘ一

３ｓｉｎｘ）＝（２Ａ一３Ｂ）ｓｉｎｘ＋（３Ａ＋２Ｂ）ＣＯＳＸ

．．．２Ａ－－３Ｂ＝３，解这个方程组，得Ａ＝两１２，Ｂ＝一丧

丽心２Ｊ—————１汪忑干丽磊■———一心一．．．ｆ

（２ｓ

磊ｉ；＿＝Ｆｊｉｄｚ＝两ｚ—１３ｌ２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｚＩ＋ｆ警卜一丧，墼牟害型如：警ｚ一、５。１ｎ

３ｓｉｎｘ＋２ｃｏｓｘ】

ｎ

ｆ茜（２ｓｉｎｘ＋３ｃ。ｓｚ）一矗（２ｓｍ＋３ｃ眦），ｌ

ｌ

５ｃｏｓｚ

２

Ｉ

十ｆ

６

化三角函数有理式积分为有理函数积分

通过三角变换把一个三角函数有理式化为一个有理函数是总可以办到的．因此，把一个三角函数有理式积

分化为有理ｉ￥ｉ数积分，这提供了求三角函数有理式积分的一个固定方法．

（１）万能变换法．

，

对于积分卜（ｓｉｎｚ，ＣＯＳＸ）如，总可以用万能变换ｔｇ号＝￡（一丌＜ｚ＜丌）使之化为有理函数的积分．其中：

ｓｉｎｚ＝２ｓｉ畸ｃ。ｓ号＝

１一ｔ２

１＋ｔ２

２ｔｇ号

２

ｘ

ｓｅｃ虿

２ｔｇ号１＋ｔ９２号

＝南２鬲ｉ

１一ｔ９２号

“ｎ２詈一２虿一８１ｎ虿一

ｓｅｃ２号

１一ｔ９２要

１－４－ｔ９２号

例２６：求不定积分－『五０者｛‰如

解：用万能变换，令ｔｇ号＝ｆ，

Ｊ．蕊１丽＋ｓｉｎｘ

虿１。虿１

ｄｚ＝．ｆ［等等

ｚ

（１＋ｔ２）２

４ｔ

ｌｎ

２

１＋ｔ２

］ｄｚ＝＿ｆ掣ｄｚ一丢．『ｃｔ＋２＋÷，ｄｒ＝

ｆ２＋２￡＋ｌｎＩ

１）＋ｆ＝｛ｔ９２号＋ｔｇ虿ｘ十虿１

ｌ

ｔｇ专Ｉ＋ｆ

从理论上来说，任何一个三角函数有理式的积分，都可以用万能变换化为有理函数积分．但是，对于具体的三角函数有理式的积分，却不必一律套用万能变换．这是因为在许多情形下，用万能变换化出来的有理函数往

２６万方数据　

增刊

●梁汉光／三角函数有理式积分

往是比较复杂的，其分母次数一般都比较高，计算积分工作量很大．因此，往往根据具体情况选择合适的其它积分方法，除了前面介绍的几种积分方法外，下面的几种变换往往比万能变换简单一些．我们先看一个例子．

例２７：求不定积分Ｉ里孚如．

、

Ｊ

ＣＯＳ．Ｚ

解：Ｊｆ鬟ＣＯＳ如一一Ｊ＇士ＣＯＳ

ａｃｏｓｚ—

ｚ

Ｊ

ｚ

若我们一开始就用ｃ。ｓｚ＝￡代换，则ｓｉ眦＝￣／ｒ＝丽＝￣／爵，如＝一ｒ妥，

则ｌ型等ｄｚＪ

ＣＯＳ

Ｚ

＝一，孚‘丽ｄｔ一一伽ｃ＝÷＋ｆ一志＋ｃ

这给我们一个启示．若被积的三角函数有理式是ｓｉｎｘ的奇次方，退一个出来和ｄｘ放在一起，ｓｉｎｘｄｘ一一ｄｃｏｓｘ，剩下的偶次方，可以用ｓｉｎ２ｚ＋ＣＯＳ２ｚ一１化为ＣＯＳＸ的函数了．因此，我们得到其它三角函数变换．

（２）其它三角函数变换．

（ａ）若Ｒ（ｓｉｎｘ，ＣＯＳＸ）中以一ｓｉｎｘ代ｓｉｎｘ，原式仅改变符号，则令ＣＯＳＸ＝ｔ即可化为ｔ的有理函数．（ｂ）若Ｒ（ｓｉｎｘ，ＣＯＳＸ）中以一ＣＯＳ３Ｃ代ＣＯＳ．Ｔ，原式仅改变符号，则令ｓｉｎｘ—ｔ即可化为ｔ的有理函数．（ｃ）若Ｒ（ｓｉｎｘ，ＣＯＳＸ）中同时以一ｓｉｎｘ代ｓｉｎｘ，一ＣＯＳＸ代ＣＯＳＸ，原式的符号和数值均不改变，或者Ｒ（ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ）是关于ｔｇｘ的有理函数，则令ｔｇｘ＝￡（或ｃｔｇｘ＝￡）即可化为ｔ的有理函数．

例２８：求下列不定积分

ｄｚ；（３）－ｆ面．ｓ＋ｉｎｘｃ。ｓｚｄｚ

ｓｉｎ３ｚ

Ｆ而’勺一‘

＃ｌ旦生，令ＣＯＳＸ＝￡

，寿急如一一ｊ’

（１一￡２）号ｄｔ

２七ｔ、ｆ孓二ｉ

一一，鬻拈Ｊ．≮铲拈Ｊ．ｃ川岫＋，韦拈丢卜

２ｔ＋３１ｎＩ￡＋２

ｌ＋ｆ＝虿１

ｃ。ｓ２ｚ一２ｃ。ｓｚ＋３１ｎＩｃ。ｓｚ＋２Ｉ＋ｆ

（２）．ｆ；磊再１

Ｅ２－ｃｏｓｘ代ｃ。ｓｚ

．ｆ悉再１磊瓦如＝．『悉丽钿ｄｚ＝Ｊ－百刁‰丽一＝一＝一一・芎

旧＝ｆ●毗ｌｌｃｏｓｚ＋ｓｉｎ２ｚ

习１焉蕊一—再１丽＝一—订１而，令Ｓｓ，ｎｚｚｄｚ一－ｆ忑习毫面面ｄｚ＝，丽万栖ｋ１。ｌｑ旧＝ｆ，则ｄ忙ＣＯＳ．Ｔ（１

＋２ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ（１＋２ｓｉｎｘ）

７、

一

……一Ｕ‘＝娜ｚｄｚＵＳＺＵＺ。…～

．ｆ［丢・古一号・南＋砉・击№

＝一百１

１ｎ

Ｉｆ一１Ｉ一虿１

ｌｎ

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ｌ＋吾ｌｎｌ

２ｔ＋１

ｌ＋ｃ一一百１

ｌｎ

Ｉ１一ｓｉｎｚ

Ｉ一丢ｌｎｌ

１＋ｓｉｎｚＩ＋

吾１ｎ

１＋２ｓｉ吡Ｉ＋ｆ

（３）以一ｓｉｎｘ代ｓｉｎｘ，一ＣＯＳＸ代ｃｏｓｘ，得

—ｉｓｌｎ＝ｘｚｎＩＳｘ丽ｎｌｓｉｃｏｓｘ

面一磊ｘ＝ｎｌｓｚ－—＝一

一

ｓｉｎｘ

一

ｃｏｓｚ

ｓｍｚ十ｃＯｓｚ

；，令ｔｇｚ＝￡，则ｄｚ—ｄ１≥ｔ出＋。

１

Ｊ－ｔ２

拈一虿１∥，＋－ａｒｌ嗽ｍ＝丢・ｎ编＋丢ａｒｃｔｇｔ＋ｆ一号－ｎ慧鲁＋丢巾＝ｌｌｎ．ｆ丽ｓｉｎｘ扣，鼎妇一．ｆ

十

Ｊ．雨１¨爿１＋。雨ｔ＋ｌ虿一忙ｌｎ

２

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Ｉ＋｛ｈ（１

Ｉ研ｓｅｃｘ

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１

ｆ＝丢ｌｎ

Ｔ＿爵五南＋丢ｚ＋ｆ一号［ｚ—ｌｎ

Ｉ十百ｚ十

ｓｉｎｘ＋ｃ。ｓｚ门＋ｆ

万　

方数据２７

广西民族大学学报（自然科学版）

２００６年１２月

增刊

７

积分方法的多样性以及积分结果的差异

由于三角公式众多，一个三角函数有理式要转化为另一个三角函数有理式，可以使用不同的公式，因而造

成了积分方法的多样性，比较灵活．而用不同的积分方法所求得的积分结果其表现形式也不一样，但实质上是一样的，只是相差一个常数，可以用三角恒等变形或用求导数进行还原以检验．

Ｉ费Ｊ

２９：求不定积分Ｊ＿磊１聂ｄｚ．

Ｕ出来，而剩下的刚好就是。ｇ乱的函数，则积分

＋Ｃ

．

解法１：由于一ｊ磊￡ｄｚ＝ｔｇｘ＋ｆ，．．・把未三化一个—ＣＯ｝Ｓ

可求出．Ｊ．志ｄｚ一，

２ｓｉｎ虿Ｘ

ｄ－ｚ＝２

ｒ

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ｔｇ号ＣＯＳ２等万。万

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一，忐ｄｃ。ｓｚ一一－ｆ订１ｉ五聂寻而ｄｃ。ｓｚ一一号，［订南＋订南］ｄｃ。ｓｚ一丢，

万去ｄ（１－－ＣＯＳＸ）一号．ｒ石了去面ｄ（１＋ｃ。ｓｚ）＝虿１

解法３：用凑微分法．ＪＩ未主ｄｚ＝ｆｃｓｃｘｄｘ一．『ｃｓ凹ｃｃ。ｓｃｃｚｘ一－－ｃｃ。ｔｇｇｚｘｄｚ＝』箜毫笔等ｄｚ＝Ｉ———Ｌ—ｄ（ｃｓｃｘ—ｃｔｇｘ）一Ｉｎ

１一ｃ。ｓｚ

解法２：分子分母同乘上ｓｉｎｚ后化为ｃ。ｓｚ的函数再分解因式即可．，未矗如一．ｆ鬟ｄｚ＝

Ｉ一丢ｌｎＩ

１＋ｃ。ｓｚＩ＋ｆ

Ｊ

Ｃ￥ＣＺ—ｃｔｇｘ

ＣＳＣ，Ｔ—ｃｔｇｘＩ＋ｆ

三种解法所得的结果都不相同，但用三角公式恒等变形后可发现，三种解法都是一样的，只差一个常数．

例３。：求不定积分．ｆｒ＃蠹磊如．

同理，若应用基本积分公式Ｊ—笔如＝ｔｇｘ＋ｆ求解，则先通过三角恒等变换把ｆ面１０Ｃ１忑个一变

Ｊ

Ｓ

Ｘ

１

Ｔ

ｏＩ－－４Ｌｕ６Ｍ

出来再积分．

解法，：Ｊ．ｒ＃蠹函ｄｚ＝．ｆ蒜如＝，≮等如一Ｊ．忑ｋ如一．ｆ姜菱如一ｔｇｚ一≤皂＋ｆ・

解法２：Ｊ．矗蠹如一Ｊ．解法３：Ｊ．奇蠹ｄｚ＝．ｆ

２ｄ詈

如一２ｆ

ｄｘ：＝——

１＋ｃｏｓ（考－一ｚ）

ｄ（手一号）

＝ｔｇ（｝’虿Ｘ）托

ｃ。ｓ２（｛一号）

．

ｄｘ

２ｒＩ

Ｊ

ｄｘ＝２

ｓｉｎ２虿Ｘ＋ｃ。ｓ２专＋２ｓｉｎ专ｃ。ｓ专（ｔｇ号＋１）２

（ｓｉｎ号＋ｃ。ｓ号）２

２

（ｔｇ号＋１）２ｃ。ｓ２号

ｄｔｇ号＝２，

（ｔｇ号＋１）２

ｄｔｇ（２＋１）＝一

＋ｆ

（ｔｇ号＋１）

三种解法同样又得到三个不同的结果．

［参考文

献］

［１］欧维义，等．高等数学习题课讲义［Ｍ］．吉林：吉林大学出版社，１９９６．［２］丁家泰．微积分解题方法［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，１９８１．［３］刘书田．微积分学习辅导与解题方法［Ｍ］。北京：高等教育出版社，２００３．

［责任编辑苏琴］［责任校对

黄招扬］

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　万方数据

三角函数有理式积分

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

梁汉光

广西民族学大学,预科教育学院,广西,南宁,530006

广西民族大学学报（自然科学版）

JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY FOR NATIONALITIES(NATURAL SCIENCE EDITION)2006，""(z2)0次

参考文献(3条)

1. 欧维义 高等数学习题课讲义 19962. 丁家泰 微积分解题方法 1981

3. 刘书田 微积分学习辅导与解题方法 2003

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下载时间：2010年8月6日