高中物理机车启动模型恒定功率启动时间分析
课下学堂 2016-12-01 00:01
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机车启动问题是高考比较喜欢考的一个问题，启动分为恒定加速度启动与恒定功率启动，对于后者大家在高一初学的时候一定思考过这样一个问题可：以恒定功率启动，什么时候达到最大速度？这个问题老师没有讲，参考书上也没有说，做题的时候题目就直接“突兀”地把达到最大速度的时间直接给出来了。
最近在做试卷的时候又遇到了这个问题，花了些时间完整地推了一遍式子，把高一没想明白的心结给了结了，所以在知乎上写篇文章，权当做笔记。
题目如下：
某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v-t图像，如图所示（除2~10 s 时间段内的图像为曲线外，其余时间段图像均为直线）．已知小车运动的过程中，2~14 s 时间段内小车的功率保持不变，在14 s末停止遥控而让小车自由滑行．小车的质量为1 kg，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变。
题目非常常规也非常简单，但有趣的是，为什么在10 s的时候机车就达到了最大速度3 m/s呢？
首先
直接移项之后得到
剩下的就要用到高等数学的知识了
这个一个可分离变量的微分方程，比较好解
由于微积分运算很不熟练，等号右边的积分式子算了半天，在此做个详细笔记，以免以后又要重新推一遍。
其中C是常量
故
如果一开始就是以恒定功率启动，那么t=0时,v=0，带入求得
......①
如果先以某一恒定加速度a启动，达到最大功率后以最大功率启动，则有
其中
从①式中我们看到v并不能直接写成关于t的函数，只能用隐函数表示。不过分析式子发现，P-vf>0,即v
P/f时候，t->+∞，也就是说机车如果按照恒定功率启动永远达不到 理论 最大速度
回到上面的题目，题目可以得出P=2.25W，f=0.75N
如果当t=10s时，直接用Mathematica求出v≈2.9m/s，只达到了最大速度的97%
用mathematica绘制图像如下（mma不是很熟练，不知道怎么绘制反函数的图像，尝试过用ContourPlot，但是不行，如有知道的请评论告知，谢谢）：
Plot[t = 2.25/0.75^2*Log[2.25/(2.25 - v*0.75)] - v/0.75, {v, 0, 3.1}]
所以出题者只需要把达到最大速度的时间越往大的编越好，因为机车永远达不到最大速度。
所以如果按照严格的物理模型来看老师常说机车先做变加速运动，达到最大速度(P/f)后做匀速运动这句话是错误的，只有在近似状况下是成立的。