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一元二次方程

考点一、一元二次方程的定义：

定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次，这样的方程叫做一元二次方程。

2一般式：ax ＋bx ＋c=0(a≠0)其中a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的次数，c 叫做常数项。

【例题精讲】

例1、判断下列方程是否是一元二次方程;

2（1）2x -y +5=0 ( ) （2） ax +bx +c =0 （ ） (3)24x 2-1+7=0x

例2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）(2x －1) －3x (x －2)=0 （2）2x (x －1)=3(x ＋5) －4.

例3、要使(k +1) x k +1+(k -1) x +2=0是一元二次方程，则k=_______.

考点二、一元二次方程的根：

定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题精讲】

2x x 例1、（20015，威海）若关于的一元二次方程+(k +3) x +k =0的一个根是-2，则另一个根是______．1

例2、（2015，东营）若n （n ≠0）是关于x 的方程x +mx +2n =0的根，则m +n 的值为 （ ）

A 、1 B、2 C 、-1 D、-2 2

22(m -2) x +3x +m -4=0有一个解是0，求m 的值。 例3、已知关于x 的一元二次方程

考点三、一元二次方程的解法：

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。（重点掌握配方法和因式分解法）

配方法：配方法解一元二次方程是以完全平方公式和直接开平方法为依据，将方程变形，从而获得其解的一种方法，

这种方法适用于任何一元二次方程。

配方法要点：先移常数项，再把二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方。一次项系数的

符号决定了左边的完全平方式中的符号。

【经典例题】

例1、 x²+4x-9=2x-11 例2、x(x+4)=8x+12

因式分解法：

用因式分解法解一元二次方程的关键：一是将方程左边化为两个因式的积是0的形式，二是熟练掌握因式分解的方

法—提公因式法和公式法（完全平方式和平方差公式）

【经典例题】

例1、5x 2-2x -1=x 2-2x +3 例2、2(x -3) =x 2-9 44

考点四、一元二次方程根的判别式：

一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 根的判别式b －4 ac，用符号△表示，即△=b－4 ac

2① 当b －4ac ＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）

2② 当b －4ac ＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根x 1＝x 2＝＿＿＿＿＿＿＿＿

2③ 当b －4ac ＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.

【经典例题】 222

例1、（2015巴中市）一元二次方程x -2x -1=0的根的情况为（ ）

Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数 Ｄ．没有实数根

2

例2、（2015安徽泸州）若关于x 的一元二次方程x -2x +m =0没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）

A．m-1 C．m>l D．m

例3、（2007四川内江）已知函数y =ax +bx +c 的图象如图（7）所示，那么关于x 的方程22. ax 2+bx +c +2=0的根的情况是（ ）

A ．无实数根 B ．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根

考点五、一元二次方程根与系数的关系：（选学） 图（7） x x 一元二次方程ax +bx +c =0的两根为1，2，则两根与方程系数之间有如下关 2

x 1+x 2=-b c x 1 x 2=a ，a ．

【经典例题】

22例1、（2015，烟台）设a ，b 是方程x +x -2009=0的两个实数根，则a +2a +b 的值为（ ）

A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009

22例2（、2007山东淄博）若关于x 的一元二次方程x +kx +4k -3=0的两个实数根分别是x 1, x 2, 且满足x 1+x 2=x 1 x 2.

则k 的值为（ ）

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（A ）－1或4 （B ）－1 （C ）4 （D ）不存在

x 2x 1+2x x x x 2的值为______ 例3、（2015四川德阳）已知1，2是方程x +6x +3=0的两实数根，则1

例4、（2015四川眉山）关于x 的一元二次方程x ＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝___；c ＝____．

22x 例5、（2015

芜湖）已知是一元二次方程-4x +c =0的一个根，则方程的另一个根是 ． 2

例6、（2007湖北天门）已知关于x 的一元二次方程x ＋4x ＋m －1＝0。

(1)请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；

22(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α＋β＋αβ的值。

2

考点六、一元二次方程的应用：

解应用题步骤

1．审题；

2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；

3．找等量关系列方程；

4．解方程；

5．判断解是否符合题意；

6．写出正确的解．

【经典例题】

例1、（2015湖南岳阳）某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）

222A 、200(1+a%)=148 B、200(1－a%)=148 C、200(1－2a%)=148 D、200(1－a %)=148

例2、（2013•昆明）如图，在长为100米，宽为80米的矩 形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部

2分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）

例3、（2013•淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：

如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装

的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购

买了多少件这种服装？

例4、(2013

年广东省8分、21) 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活

动. 第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款 12 100元.

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

例5、（2013•鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：

在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就

会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40

），请你分别用x 的代数式来表示销

售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：

（2）在（1x 应定为多少元．

（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，

求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

例6、（2013•衢州）如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．

（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；

（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．

考点：一 元二次方程的应用．

专题：几 何图形问题．

2分析：（ 1）边长为x 的正方形面积为x ，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．

（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x 的值即可．

2解答：解 ：（1）ab ﹣4x ；（2分）

22（2）依题意有：ab ﹣4x =4x，（4分）

2将a=6，b=4，代入上式，得x =3，（6分）

解得x 1=，x 2=﹣（舍去）．（7分）

即正方形的边长为

点评：本 题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．

依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．