两直线的位置关系与距离公式A级教案
教学过程
一、复习预习
教师引导学生复习上节内容,并引入本节课程内容
二、知识讲解
考点/易错点1 两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2,则有l 1∥l 2⇔k 1=k 2 . 特别地,当直线l 1、l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行.
(2)两条直线垂直
如果两条直线l 1,l 2斜率存在,设为k 2,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两直线垂直.
对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,l 1⊥l 2⇔ A1A 2+B 1B 2=0. 要点诠释:如何用直线的一般式方程来判断两条直线的位置关系? 提示:设l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 2,B 2,C 2≠0).
⎧A 1B 2=A 2B 1,A 1B 1C 1
(1)l 1∥l 2⇐=(A 2B 2C 2≠0)⇔ ⎨A 2B 2C 2
⎩A C ≠A C .
1
2
2
1
A B (2)l 1与l 2相交⇐≠A 2B 2≠0)⇔A 1B 2≠A 2B 1.
A 2B 2
⎧⎪A 1B 2=A 2B 1,A B C (3)l 1与l 2重合⇐=(A 2B 2C 2≠0)⇔ ⎨A 2B 2C 2
A C =A C .
⎪⎩
1
2
2
1
(4)l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.
考点/易错点2 线段的中点坐标公式
若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1,y 1) ,(x 2,y 2) ,且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ,y ) ,则x
⎧x =x +2⎨y +y ⎩y 2
11
2
2
,此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.
考点/易错点3 两条直线的交点坐标
已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,那么
⎧⎪A 1x +B 1y +C 1=0
l 1和l 2的交点坐标就是⎨的解。
⎪A 2x +B 2y +C 2=0⎩
考点/易错点4 点A(x 1,y 1) 、B(x 2,y 2) 间的距离
|AB |=(x 2-x 1)+(y 2-y 1)
考点/易错点5 点P (x 0,y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离:
|Ax +By +C |
d .
A +B 考点/易错点6 两平行线间距离:
|C 2-C 1|
两平行直线l 1:Ax +By +C 1=0与l 2:Ax +By +C 2=0间的距离为d =
A +B 三、例题精析
【例题1】
【(1)已知两条直线l 1:x +m 2y +6=0,l 2:(m -2) x +3my +2m =0,若l 1∥l 2,求实数m 的值;
(2)已知两条直线l 1:ax +2y +6=0和l 2:x +(a -1) y +(a 2-1) =0,若l 1⊥l 2,求实数a
的值.
【答案】(1)方法一:①当m =0时,l 1:x +6=0,l 2:x =0,l 1∥l 2;
②当m ≠0时,l 1:y =-
2-m 216
-, -,l 2:y m m 3m 3
12-m 62
由-≠-,得m =-1.
m 3m m 3故所求实数m 的值为0或-1.
方法二:直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0平行的等价条件是: A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或A 1C 2-A 2C 1≠0. 由所给直线方程可得:
1·3m -m 2·(m -2) =0且1·2m -6·(m -2)≠0⇒m (m 2-2m -3) =0且m ≠3⇒m =0或-1. 故所求实数m 的值为0或-1.
a
(2)方法一:由直线l 1的方程知其斜率为-,当a =1时,直线l 2的斜率不存在,l 1与
2l 2不垂直;
1
当a ≠1时,直线l 2的斜率为-.
a -1a ⎛-12=-1,得a =. 2⎝a -1⎭32故所求实数a 的值为
3
方法二:直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0垂直的等价条件是A 1A 2+B 1B 2=0.
2
由所给直线方程可得: a ·1+2·(a -1) =0⇒a =.
32
故所求实数a 的值为
3
【例题2】
已知点P (2,-1) .
(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程;
(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过点P 且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)过P 点的直线l 与原点距离为2,而P 点坐标为(2,-1) ,可见,过P (2,-1) 且垂直于x 轴的直线满足条件.
此时l 的斜率不存在,其方程为x =2.
若斜率存在,设l 的方程为y +1=k (x -2) ,即kx -y -2k -1=0. |-2k -1|3
由已知,得2,解得k =.
4
k 2+1此时l 的方程为3x -4y -10=0.
综上,可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.
(2)作图可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线, 由l ⊥OP ,得k l k OP =-1,所以k l =-
1
2. k OP
由直线方程的点斜式得y +1=2(x -2) , 即2x -y -5=0.
|-5|
即直线2x -y -5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线,最大距离为.
(3)由(2)可知,过P 5的直线,因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.
【解析】1.注意讨论斜率不存在的情况.
2.数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思想方法
【例题3】
【题干】求直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程.
⎧⎪y =2x +3
【解析】解法1:由⎨得直线l 1与l 2的交点坐标为(-2,-1) ,
⎪y =x +1⎩
在l 1上取一点A (0,3),则A 关于直线l 的对称点B (x 1,y 1) 一定在l 2上,
⎧由⎨y +3x ⎩221
1
1
y 1-3
1x 1
⎧⎪x 1=2得⎨,即B (2,1). ⎪y 1=1⎩
1+1
∴l 2的方程为y -1(x -2) .即x -2y =0.
2+2解法2:设所求直线上一点P (x ,y ) ,
则在直线l 1上必存在一点P 1(x 0,y 0) 与点P 关于直线l 对称. 由题设:直线PP 1与直线l 垂直,且线段PP 1的中点P 2⎛y -y
1=-1⎧⎪x -x ∴⎨y +y x +x ⎪⎩221
00
x +x 0y +y 0⎝22在直线l 上.
⎧⎪x 0=y -1
,变形得⎨,
⎪y 0=x +1⎩
代入直线l 1:y =2x +3得x +1=2×(y -1) +3, 整理得x -2y =0.
所以所求直线方程为x -2y =0.
⎧⎪y =2x +3
解法3:由⎨知直线l 1与l 的交点坐标为(-2,-1) ,
⎪y =x +1⎩
∴设直线l 2的方程为y +1=k (x +2) , 即kx -y +2k -1=0. 在直线l 上任取一点(1,2),
由题设知点(1,2)到直线l 1、l 2的距离相等, 由点到直线的距离公式得 |k -2+2k -1||2-2+3|, 1+k 2+(-1)1
解得k =(k =2舍去) ,
2∴直线l 2的方程为x -2y =0.
【例题4】
【题干】已知点P 1(2,3),P 2(-4,5) 和A (-1,2) ,求过点A 且与点P 1,P 2距离相等的直线方程.
【解析】设所求直线为l ,由于l 过点A 且与点P 1,P 2距离相等,所以有两种情况,如图:
5-3
(1)当P 1,P 2在l 同侧时,有l ∥P 1P 2,此时可求得l 的方程为y -2(x +1) ,即x
-4-2+3y -5=0;
(2)当P 1,P 2在l 异侧时,l 必过P 1P 2的中点(-1,4) ,此时l 的方程为x =-1. ∴所求直线的方程为x +3y -5=0或x =-1.
四、课堂运用
【基础】
1.点A 在x 轴上,点B 在y 轴上,线段AB 的中点M 的坐标是(3,4) ,则AB 的长为______. 【答案】10
【解析】设A (x ,0) ,B (0,y ) ,∵ AB 的中点是(3,4) ,∴ x =6,y =8.
∴ AB =
2. 已知直线l 与直线x -y +2=0平行,且它们之间的距离为32,则l 的方程为________. 【答案】x -y -4=0或x -y +8=0
【解析】设与直线x -y +2=0平行的直线方程为x -y +m =0,根据平行线间的距离公式,|2-m |得=3⇒|2-m |=6⇒m =-4或m =8,即所求的直线方程为x -y -4=0或x -y +8=
20.
3.与直线3x -4y +5=0,关于x 轴对称的直线方程为( ) A .3x +4y +5=0 C .-3x +4y -5=0 [答案] A
[解析] 与直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是3x -4(-y ) +5=0,即3x +4y +5=0.
4.已知直线l 1过点A (-1,1) 和B (-2,-1) ,直线l 2过点C (1,0)和D (0,a ) ,若l 1∥l 2,
B .3x +4y -5=0 D .-3x +4y +5=0
62+82=10.
则a 的值为( )
A .-2 C .0 [答案] A
-1-1
[解析] ∵kl 1=2,kl 2=-a ,∴a =-2.
-2+1
5.若直线ax +2y +3a =0与直线3x +(a -1) y =-7+a 平行,则实数a =________. [答案] 3
[解析] 由题意知,a (a -1) -2×3=0得a =-2或a =3,当a =-2时,两直线重合,舍去,∴a =3.
6.已知两直线l 1:mx +8y +n =0和l 2:2x +my -1=0,试确定m 、n 的值,使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ,-1) ; (2)l 1∥l 2;
(3)l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1.
[解析] (1)由条件知m 2-8+n =0,且2m -m -1=0, ∴m =1,n =7.
(2)由m ·m -8×2=0,得m =±4.
⎧⎧⎪m =4⎪m =-4由8×(-1) -n ·m ≠0,得⎨或⎨.
⎪n ≠-2⎪⎩⎩n ≠2
B .2 1
2
即m =4,n ≠-2时,或m =-4,n ≠2时,l 1∥l 2; (3)当且仅当m ·2+8·m =0,
n
即m =0时,l 1⊥l 2,又-1,∴n =8.
8
即m =0,n =8时,l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为-1.
【巩固】
x y
1.若直线+1通过点M (cosα,sin α) ,则( )
a b A .a 2+b 2≤1 11
+≤1 a b [答案] D
x y
[解析] 直线=1通过点M (cosα,sin α) ,
a b ∵点M 在单位圆上,
B .a 2+b 2≥1 11+≥1 a b
x y
∴原点到直线1的距离d ≤1,
a b 由点到直线的距离公式有 |-1|11
1⇒≥1,故选D.
a b 11
a b
2..已知直线3x +4y -3=0与直线6x +my +14=0平行,则它们之间的距离是. 【答案】2
6m 【解析】由直线3x +4y -3=0与直线6x +my +14=0平行可得=.
34
∴m =8,直线6x +8y +14=0可化为3x +4y +7=0. ∴d =
|-3-7|
10=2. 5
32+42
x sin θ+y +1=0,试求θ的值,使得:
3.已知两直线l 1x +y sin θ-1=0和l 2(1)l 1∥l 2; (2)l 1⊥l 2.
[解析] (1)解法1:当sin θ=0时,l 1的斜率不存在,l 2的斜率为0,l 1显然不平行于l 2,当sin θ≠0时,k 1=-
k 2=-2sin θ.
12
欲使l 1∥l 2=-2sin θ,即sin θ=sin θ2π
∴θ=k π±,k ∈Z ,此时两直线截距不相等.
4π
∴当θ=k k ∈Z 时,l 1∥l 2.
4
解法2:要使l 1∥l 2,需2sin 2θ-1=0,且1+sin θ≠0, 2π
即sin θ=,∴θ=k π±k ∈Z .
24π
∴当θ=k k ∈z 时,l 1∥l 2.
4
(2)解法1:当sin θ=0时,l 1的斜率不存在,l 2的斜率为0,故l 1⊥l 2. 此时θ=k π(k ∈Z ) . 当sin θ≠0时,k 1=-
1
k =-2sin θ, sin θ2
1 sin θ
要使l 1⊥l 2,则k 1·k 2=-1,
1即-·(-2sin θ) =-1,显然无解,
sin θ
故当θ=k π(k ∈Z ) 时,l 1⊥l 2.
解法2:要使l 1⊥l 2,需2sin θ+sin θ=0, 即sin θ=0,∴θ=k π(k ∈Z ) . ∴当θ=k π(k ∈Z ) 时,l 1⊥l 2.
【拔高】
1.在直线l :3x -y -1=0上求一点P ,使得P 到A (4,1)和B (0,4) 的距离之差最大. 解:如图所示,设点B 关于l 的对称点为B ′,连接AB ′并延长交l 于P ,此时的P 满足|P A |-|PB |的值最大.设B ′的坐标为(a ,b ) ,则k BB ′·k l =-1,
b -4
即1.
a 则a +3b -12=0. ①
a b +4又由于线段BB ′的中点坐标为⎛,且在直线l 上,
2⎝2a b +4
则3×-1=0,即3a -b -6=0. ②
22解①②,得a =3,b =3,即B ′(3,3).
y -1x -4于是AB ′=2x +y -9=0.
3-13-4解{3x -y -1=0,
x +y -9=0, 得{x =2,y =5,
即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5).
2.在直线l :3x -y -1=0上求一点P ,使得P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大. [解析] 如图所示,设点B 关于l 的对称点为B ′,连接AB ′并延长交l 于P ,此时的P
满足|P A |-|PB |的值最大.
设B ′的坐标为(a ,b ) , 则k BB ′·k l =-1
, b -4
即1.
a
∴a +3b -12=0. ①
a b +4
又由于线段BB ′的中点坐标为) ,且在直线l 上,
22a b +4
∴3-1=0,
22即3a -b -6=0. ②
解①②,得a =3,b =3,∴B ′(3,3).
y -1x -4于是AB ′=2x +y -9=0.
3-13-4
⎧⎧⎪3x -y -1=0,⎪x =2,⎨解得⎨ ⎪2x +y -9=0,⎪⎩⎩y =5,
即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5).
此时点P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大.
课程小结
1.求两直线交点坐标就是解方程组.即把几何问题转化为代数问题. 2.在使用点到直线的距离公式时,应注意以下几点:
(1)若给出的方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求点到直线的距离;
(2)若P 在直线l 上,则点P 到直线l 的距离为0,公式仍成立.
3.在使用两平行线间的距离公式时,要先把两直线中x 、y 的系数化为相同,且都化成一般式后再用公式.
4.判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形,在两条直线l 1、l 2斜率都存在,且不重合的条件下,才有l 1∥l 2⇔k 1=k 2与l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时,A 1A 2+B 1B 2=0⇔两直线垂直,但A 1B 2
-A 2B 1=0与两直线平行不等价.
A B A B C A B C 用比例关系≠判断相交,==判断重合,应用方便,
A 2B 2A 2B 2C 2A 2B 2C 2
但前提是A 2B 2C 2≠0,它们都不是等价条件.
5.直线系方程
有些问题中所给的直线方程常常含有一个参数,对于含有一个参数的直线方程,往往不是平行线系,就是过定点的直线系.
(1)平行线系.
①与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程为Ax +By +m =0(m ≠C ) ,其中m 为参数. ②与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程为Bx -Ay +m =0,其中m 为参数.
③斜率为k (定值) 的平行线系方程为y =kx +b ,其中k 为常数,b 为参数. (2)过定点的直线系.
①过定点P (x 0,y 0) 的直线系方程为 A (x -x 0) +B (y -y 0) =0(A 、B 不全为零) .
②过两条直线l 1A 1x +B 1y +C 1=0和l 2A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0(λ∈R )(不包括直线l 2) .
6.对称问题
对称性问题是解析几何应用较为广泛的一类问题,归纳起来有 (1)点关于点的对称点.
①点P (x ,y ) 关于O (0,0)的对称点P ′(-x ,-y ) . ②点P (x ,y ) 关于点(a ,b ) 的对称点P ′(2a -x, 2b -y ) . (2)点关于直线的对称点.
①点(x ,y ) 关于x 轴,y 轴,直线y =x 的对称点分别为(x ,-y ) ,(-x ,y ) ,(y ,x ) . ②点A (a ,b ) 关于直线x +y +C =0的对称点A ′的坐标为(-b -C ,-a -C ) . ③点A (a ,b ) 关于直线x -y +C =0的对称点A ′的坐标为(b -C ,a +C ) . ④点A (a ,b ) 关于直线Ax +By +C =0(B ≠0) 的对称点A ′的坐标为(m ,n ) ,则有 n -b A
(-)=-1,⎧⎪m -a B
⎨a +m b +n ⎪⎩A 22+C =0.
(3)曲线C f (x ,y ) =0与曲线C ′g (x ,y ) =0关于点P (a ,b ) 对称,则曲线C ′上任一点M ′(x ,y ) ,关于P 的对称点M (2a -x, 2b -y ) 在曲线C 上,即f (2a -x, 2b -y ) =0.
(4)曲线C f (x ,y ) =0关于直线y =kx +b 对称曲线为C ′g (x ,y ) =0,则C ′上任一点P 关于直线y =kx +b 对称的点,必在曲线C 上,即曲线关于直线的对称问题转化为点.关于直线的对称问题.
课后作业
【基础】
1. “m =2”是“直线2x +my =0与直线x +y =1平行”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] m =2时,显然直线x +y =0与直线x +y =1平行,而当直线2x +my =0与直线
x +y =1平行时,有2-m =0且2×(-1) -0≠0,即m =2,所以为充要条件.
2.过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A .x +2y -5=0 C .x +3y -7=0 [答案] A
1
[解析] 由题意可知OA 与所求直线l 垂直.因为k OA =2,所以k l =-,故l 的方程为
21
y -2(x -1) ,
2
即x +2y -5=0.
3. 若l 1:x +(1+m ) y +(m -2) =0,l 2:mx +2y +6=0两条平行直线,则m 的值是( ) A .m =1或m =-2 C .m =-2 [答案] A
11+m
[解析] 若m =0或m =-1时,易知两直线不平行;若m ≠0且m ≠-1时,则有=
m 2m -2
≠m =1或-2.
6
4.已知两直线l 1:mx +y -2=0和l 2:(m +2) x -3y +4=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数m 的值为( )
A .1或-3 1
C .2或
2[答案] A
[解析] ∵两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆,∴对角互补,∴两条直线垂直, ∴
m +2
·(-m ) =-1,∴m =1或m =-3. 3
B .-1或3 1
D .-22B .m =1 D .m 的值不存在 B .2x +y -4=0 D .3x +y -5=0
5.若y =a |x |的图像与直线y =x +a (a >0)有两个不同的交点,则a 的取值范围是________. [答案] (1,+∞)
[解析] 如图,要使y =a |x |的图像与直线
y =x +a (a >0)有两个不同的交点,则a >1.
6. 直线l 被两条直线l 1:4x +y +3=0和l 2:3x -5y -5=0截得的线段的中点为P (-1,2) ,
求直线l 的方程.
[解析] 设直线l 与l 1的交点为A (x 0,y 0) ,由已知条件,得直线l 与l 2的交点为B (-2-x 0, 4-y 0) ,并且满足
⎧⎪4x 0+y 0+3=0,⎨ ⎪3(-2-x 0)-5(4-y 0)-5=0,⎩
⎧⎧⎪4x 0+y 0+3=0,⎪x 0=-2,即⎨解得⎨ ⎪3x 0-5y 0+31=0,⎪⎩⎩y 0=5,
y -2x -(-1)因此直线l =
5-2-2-(-1)即3x +y +1=0.
【巩固】
π
1.直线2x -y -2=0绕它与y 轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )
2A .-x +2y -4=0 C .-x +2y +4=0 [答案] D
[解析] 直线2x -y -2=0与y 轴的交点为P (0,-2) ,其斜率k =2,绕点P 逆时针旋π11转k ′=- 2k 2
1
故旋转后的直线方程为y +2x ,即x +2y +4=0.
2
2.若点P (m, 3) 到直线4x -3y +1=0的距离为4,且点P 在不等式2x +y
[答案] -3
[解析] 本题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关知识. |4m -9+1|
点P 到直线4x -3y +1=0的距离d ==4,
5解得m =7或m =-3,
又∵点P 在2x +y
3. 将直线l :x +2y -1=0向左平移3个单位,再向上平移2个单位后得到直线l ′,则直线l 与l ′之间的距离为____.
[答案]
5 5
B .x +2y -4=0 D .x +2y +4=0
[解析] 平移后l ′:(x +3) +2(y -2) -1=0, 即l ′:x +2y -2=0,∴d |-2-(-1)|5
=51+2
4.已知点P (2,-1) ,求:
(1)过P 点与原点距离为2的直线l 的方程;
(2)过P 点与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过P 点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)过P 点的直线l 与原点的距离为2,而P 点坐标为(2,-1) ,可见过P (2,-1) 垂直于x 轴的直线满足
条件,其方程为x =2.
若斜率存在,设l 的方程为y +1=k (x -2) , 即kx -y -2k -1=0.
|-2k -1|3
由已知得,2,解得k =4,这时直线l 的方程为3x -4y -10=0. 1+k 综上所述,可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.
(2)∵P 点在直线l 上,∴原点到直线l 的距离d ≤|OP |,∴过P 点与原点O 距离最大的1直线是过P 点且与PO 垂直的直线,由l ⊥OP ,得k 1·k OP =-1. ∴k 1=-=2,得直线l 的
k OP 方程为2x -y -5=0,即直线2x -y -5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线,
|-5|
最大距离为5.
5
(3)由(2)知,过P 点的直线与原点O 5,故过P 6的直线.
【拔高】
1.已知直线l :x -y -1=0,l 1:2x -y -2=0. 若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( )
A .x -2y +1=0 C .x +y -1=0
B .x -2y -1=0 D .x +2y -1=0
解析:选B l 1与l 2关于l 对称,则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上.又易知(0,-2) 为l 1上一点,设其关于l 的对称点(x ,y ) ,则
⎧x +0y -2y +2⎨-1=0,1=-1,得{x =-1,y =-1. 即(1,0),(-1,-1) 为l 2上
2x ⎩2
两点,可得l 2方程为x -2y -1=0.
2.光线沿直线l 1:x -2y +5=0射入,遇直线l :3x -2y +7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.
解:法一:由{x -2y +5=
0,
x -2y +7=0,
得{x =-1,y =2.
即反射点M 的坐标为(-1,2) .
又取直线x -2y +5=0上一点P (-5,0) ,设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0,y 0) ,由PP ′2y ⊥l 可知,k PP ′=-3x 0+5
而PP ′的中点Q 的坐标为⎛x 0-5y 即7=0.
22
23⎧y 1732⎧
由⎨x +5=-3,2(x 0-5)-y 0+7=0. 得⎨x 0=-13y 0=-13.
⎩⎩0
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x -2y +33=0. 法二:设直线x -2y +5=0上任意一点P (x 0,y 0) 关于直线l 的对称点为P ′(x ,y ) ,则2
=-,
3
又PP ′的中点Q ⎛
x +x 0y +y 0⎫
⎝22⎭在l 上,
y 0-y x 0-x
x 0-5y ⎫
⎝22⎭,Q 点在l 上,
x +x 0y +y 0
即3×2×+7=0,
22
⎧y -
y 2=-由⎨
3⎩x 0-x
x +x (y +y 0)+7=0.
2
可得P 点的坐标为
-5x +12y -4212x +5y +28x 0=,y 0
1313
代入方程x -2y +5=0中,化简得29x -2y +33=0, 故所求反射光线所在的直线方程为29x -2y +33=0.