第二讲 极限的定义与基本性质
第二讲 极限的定义与基本性质
一、数列极限及其性质
1．数列极限的定义：
{x n }收敛于a
⇔∀ε>0，∃N ∈N ，s.t. x n -a N 。
值得注意的是：1）N 依赖于ε，但不唯一，而ε事先给定；
2）不等式x n -a 0不依赖于N , ε； 3）N 可以通过x n -a 0，
a
n
n !
n
→0。
分析：直接求解不等式时
a
n !
用放大法。记m =[a ]，则当n >m -0
n ! =1⋅2⋅ ⋅m (+从而
1 ) n >m (+ 1n ) ≥m +(
n -m
，1)
⎛a ⎫m
注意到a
证明：∀ε>0，不妨设ε
a
n
n
⎛⎫m
⋅(m +1)
m +1⎝m +1⎭
a a
n
⎡m ln(m +1) -ln ε⎤
⎥，则当
⎣ln(m +1) -ln a ⎦
n >N 时有
⎛a ⎫m
-0
因此由极限定义得
a
n
n
a
n
n !
→0。
□
2．用定义证明极限存在的方法
1）放大法：如前。 2）分步法与拟合法 例2 设x n →a ，证明
x 1+ +x n
n
→a 。
分析：若把{x n }中每项看成a ，则
x 1+ +x n
n
的值恰为a ，因此
n
x 1+ +x n
n
-a =
1n
n
∑(x
i =1
i
-a ) ≤
1
∑n
i =1
x i -a 。
其余要借助假设x n →a 来证明。给定ε>0，∃N ，当n >N 时x n -a
证明：∀ε>0，由x n →a ，∃N 1，当n >N 1时x n -a
x 1+ +x n
n n -N 1
n
-a =1
N 1
1n
n
∑(x
i =1
i
-a ) ≤
1
n
∑n
i =1N 1i =1
x i -a
∑n
i =1
x i -a
1
∑n
x i -a 。
又收敛数列有界，不妨设x n ≤M , ∀n ，则
1
N 1
∑n
i =1
x i -a
N 1n
(M +a )。
N 1
1⎡2N 1⎤
(M +|a |)，则当n >N 2时令N 2=⎢ε⎥n ⎣⎦
∑
i =1
x i -a
ε
2
。
最后，令N =m ax{N 1, N 2}，则当n >N 时有
x 1+ +x n
n
-a
限定义知
x 1+ +x n
n
→a 。
□ 我们看到，这里我们先利用了极限的定义，然后再利用极限的性质（有界性）来完成证
明。
例3 证明：若p k >0(k =1, 2, ) 且 lim
p n
p 1+p 2+ +p n
n →∞
=0，lim x n =a 。
n →∞
证明lim
p 1x n +p 2x n -1+ +p n x 1
p 1+p 2+ +p n
n →∞
=a 。
分析：把{x n }中每项看成a ，则极限号后面的式子的值恰为a ，因此
p 1x n +p 2x n -1+ +p n x 1
p 1+p 2+ +p n
p k
-a ≤
p 1x n -a +p 2x n -1-a + +p n x 1-a
p 1+p 2+ +p n
。
然后我们在试图用分步的方法来估计。记 q k 注意到q k
(k )
(n )
=
p 1+p 2+ +p n
，k =1, 2, , n ，
→0，因此若n >k ，则当k →∞时n →∞，从而
(n ) k
0
(n )
=
p k
p 1+p 2+ +p n
n →∞
(k )
→0，
→0，k →∞。∀ε>0，由lim x n =a ，∃N 1，当n >N 1时x n -a
(n )
→0，k →∞，∃N 2，当n >k >N 2时0
p 1x n +p 2x n -1+ +p n x 1
p 1+p 2+ +p n q
(n )
k
N 2
(n )
n
-a ≤
∑q
k =1
(n ) k
x n -k +1-a
n
n -N 1
=
∑
k =1
x n -k +1-a +
∑
k =n -N 1+1
q
(n ) k
x n -k +1-a +
∑
k =N 2+1
q k
(n )
x n -k +1-a
我们看到，只有中间的项得不到控制。为此我们设法使得中间项不存在，即要求
N 2N 1+N 2+1即可。因此我们取N =N 1+N 2+1。
Ex1: 请完成上面的证明。
注意在上面的例题中，我们都利用{x n }的极限来拟合数列的项从而简化问题。这种方法称为“拟合法”，它经常与分步法同时应用。这个方法在很多类型的题目中都会用到，今后在出现相关例子时我们再作说明。
我们看到，如果在例3中取p k =1，则得到例2。一个更一般的题目如下： 例4 设x n →a , y n →b (n →∞) ，则 lim
1
n
k
n →∞
x ∑n
k =1
y n -k +1=ab =lim
1
n
k
n →∞
x ∑n
k =1
y k 。
Ex2：证明例4。
n
例5 设x →0时f (x ) x 。x n =
n
∑
i =1
⎛2i -1⎫f a ⎪，a ≠0，证明x n →a 。 2⎝n ⎭a =a 。于是
证明：用x 拟合f (x ) ，则x n ≈
n
∑
i =1
2i -1n
2
x n -a =
∑
i =1n
⎡⎛2i -1⎫2i -1⎤a ⎪-a ⎥ 22⎢f
n ⎭⎣⎝n ⎦⎛2i -1⎫2i -1
f a ⎪-a 。 22
n ⎝n ⎭
≤
∑
i =1
由假设，∀ε>0，∃δ>0，当0N 时，对1≤i ≤n 有 0
n
⎡2a ⎤
⎥，⎣δ⎦
2i -1n
2
a
2n
a
x n -a ≤
∑
i =1
⎛2i -1⎫2i -1f a ⎪-a 22
n ⎝n ⎭
n
∑
i =1
(2i -1) a n
2
=a ⋅ε。
因此由极限的定义有x n →a 。
□
例6 设a n →a ，证明 lim
12
⎡a +a C +a C + +a n ⎤=a 。 1n 2n n ⎣0⎦2
1
n →∞
提示：利用1=
12
n
n
∑C
k =0
k
n
以及lim
n →∞
C n 2
n
k
=0(k =1, 2, , n ) 。
二、极限的基本性质与应用
1．极限的性质
1）收敛数列（函数）的（局部）有界性
2）保号、保序性
2．极限的四则运算：条件—在极限存在且四则运算有意义。
例7 若x n →a >0，证明存在自然数N ，当n >N 时证明：取ε=
a 2
a 2
32
a 。
>0，由x n →a ，存在自然数N ，当n >N 时有
a 2⇒
a 2
32a 。
x n -a
□