九.估算法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法

九、估算法

方法简介

有些物理问题本身的结果，并不一定需要有一个很准确的答案，但是，往往需要我们对事物有一个预测的估计值；有些物理问题的提出，由于本身条件的限制，或者实验中尚未观察到必要的结果，使我们解决问题缺乏必要的已知条件，无法用常规的方法来求出物理问题的准确答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住问题的主要本质，充分应用物理知识进行快速数量级的计算. 近几年来，竞赛试题中频频出现的各类估算题，的确是判断学生思维能力的好题型.

赛题精析

例1 已知地球半径约为6.4×106m ，又知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m. （结果只何留一位有效数字）

解析 因为月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，所以可根据月球所受的万有引力提供月球做匀速圆周运动所需要的向心力及月球公转周期求解此问题，也可根据地球上的光经月球反射2秒后返回地球的知识估算.

根据运动定律及万有引力定律得：

GMm 2π2=m () r 2T r GM m '=m 'g 2R

由①、②两式代入数据可得r =4.1×108m （其中T 是月球绕地球旋转周期，T=30天）

－ 例2 估算在室温下，真空度达1.33×101Pa 时，容器内空气分子的平均距离. （取一位

有效数字即可）

解析 要想求容器内空气分子的平均距离，则可以根据克拉珀龙方程求出每个空气分子所占的体积，由此即可求解.

取1摩尔空气作为研究对象，

视每个空气分子所占的空间是以分子间的平均距离a 为边长的立方体，每个分子处在立方体的中心. 则每个空气分子占据的空间的体积为V 0=a 3

根据克拉珀龙方程，1摩尔空气占据的总体积V=RT/p=N0V 0=N0a 3 所以空气分子间平均距离a =RT /N 0p ，近似地取室温T=300K，代入数据可算得：

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分子间平均距离为：a =1⨯10m 例3 密闭容器的气体压强为p =10-2Pa ，温度为27℃，估算其中分子的间距（保留-5一位有效数学字）.

解析 以密闭容器内的一定量气体为研究对象，选取标准状况为该气体的一个已知状态，根据理想气体状态方程可求解.

取1摩尔气体作为研究对象，在标准状态下为V 0=22. 4⨯10-3m 3，所包含的分子数为N A =6.023×1023个. 在题设条件下，设其体积为V ，则根据气态方程：

有p 0V 0pV =T 0T

V -7，分子间的距离为d ==7⨯10m . N A

-9 每个分子所占的空间体积为V '= 例4 已知一密闭容器内的气体分子平均距离为d =3⨯10m ，温度为27℃，试估算

容器内气体的压强多大？（保留一位有效数学）

解析 要想估算容器内气体的压强，则可根据理想气体状态方程求解，其中选一个标准状态为已知状态.

一个分子占扰的体积为V '=d =27⨯101摩尔分子占据的体积为V =n 0V '

由3-27m 3， p 0V 0pV V T 5，解得p =0⋅p 0=2⨯10Pa =T 0T VT 0

例5 已知冰、水和水蒸气在一密闭容器中能在某一外界条件下处于三态平衡共存（容器内无任何其他物质），这种状态称为水的三相点，其三相点温度为0.01℃，三相点压强为

4.58mmHg. 现有冰、水和水蒸气各1g 处于三相点，若在保持总体积不变的情况下对此系统缓慢加热，输入热量Q=2.25×105J ，试估算系统再达平衡后冰、水和水蒸气的质量. 已知水的密度和冰的密度分别为1×103kg/m3和0.9×103kg/m3，冰在三相点时的升华热L 升=2.83×106J/kg，水在三相点的汽化热L 汽=2.49×106J/kg.

解析 由题给数据可利用以下近似关系求得冰的熔化热

L 熔=L升－L 气=0.34×106J/kg ①

因为缓缓加给系统的热Q

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现在估算在题给温度、压强条件下水蒸气的密度ρ气，用理想气体状态方程可得 ρ气=μp t /RT t , μ为水蒸气的摩尔质量 代入数值μ=18⨯10-3kg /mol , R =8. 31J /mol ⋅K , p t =4. 58mmHg =610Pa 得 T t =273K 估算可得ρ气≈5⨯10-3kg /m 3 在同样的条件下，水的密度ρ水≈1⨯103kg /m 3，冰的密度ρ冰≈0. 9⨯103kg /m 3. 由此可知，水蒸气的体积远远大于水和冰的体积之和，又由于冰熔化为水时体积变化不大，在总体积保持不变的条件下，完全可以认为物态变化过程中水蒸气的体积不变，也就是再达到平衡时，水蒸气的质量仍为1g ，物态变化过程几乎完全是冰熔为水的过程.

设后来冰、水、水蒸气的质量分别为x 、y 、z ，则有

z =1g ② x +y =2g ③ 根据能量守恒定律，有（1－x ）L 熔=Q ④ 由②③④式可得x =0. 25g y =1. 75g z =1g

例6 假想有一水平方向的匀强磁场，磁感强度B 很大，有一半径

为R ，厚度为d （d

终位于竖直平面内并与磁场方向平行，如图2—9—1所示，若要使圆

盘在磁场中下落的加速度比没有磁场时减小千分之一（不计空气阻力），

试估算所需磁感强度的数值，假定金属盘的电阻为零，并设金属的密度

ρ=9⨯103kg /m 3，介电常数ε=9⨯10-12C 2/N ⋅m 2. 解析 当盘在磁场中下落速度为v 时，盘中的感应电动势E=Bvd ，在感应电动势的作用下，圆盘两个表面上将带有等量异号的电荷（±Q ）因为盘电阻为零，所以电荷（±Q ）引起的两表面间的电压U 等于盘中感应电动势的数值，即U=Bvd .

圆盘上的Q 与U 之间的关系跟一个同样尺寸的带电电容器上的Q 与U 的关系相同，此电容器的电容C=ε⋅S /d =ε⋅πR /d ，故圆盘表面所带电量Q=CU=ε⋅πR Bv .

在盘下落过程中，盘的速度v 随时间增大，盘面上的电量Q 也随时间增大，由此可求出

222盘中电流I =△Q /△t =ε⋅πR B ∆v /∆t ，磁场对此电流的作用力F 的方向向上，大小为

F =BId =ε⋅πR B ∆v /∆t . 若盘的质量为m ，则盘受到的力为F 和重力mg ，盘的加速度

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a =∆v /∆t 可由下式求出 ∆v mg -F =ma =m ⋅ ∆t

由此得盘的加速度a =mg m +επR 2B 2d

εB 21) g ，由此得按题意a =g -(1/1000 =ρ1000

所以磁感应强度B = ρ⨯10-3=10-6 ε

针对训练

1．估算地球大气总质量M 和部分了数N .

2．已知铜的8.9×103kg/m3，原子量为64. 通过估算可知铜中每个铜原子所占的体积为（ ）

－－－－ A ．7×106m 3 B ．1×1029m 3 C ．1×1026m 3 D ．8×1024m 3

3．只要知道下列哪一组物理量，就可以估算出气体中分子间的平均距离？ （ ）

A ．阿伏伽德罗常数、该气体的摩尔质量和质量

B ．阿伏伽德罗常数、该气体的摩尔质量和密度

C ．阿伏伽德罗常数、该气体的质量和体积

D ．该气体的密度、体积和摩尔质量

4．已知油酸的密度为6.37×102kg/m3，油酸的原子量为282. 试估算油酸分子的直径有多大？（结果保留一位有效数字）

九、估算法

1．M ≈10kg 18N ≈1044 2．B 3．B 4．B

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