重积分论文
《高等数学》——重积分
摘要:高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分,引起二重积分概念的 过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映,三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出 的,但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非 常广阔,我们将在理论力学,材料力学,水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分 主要用来解决实际问题,在本文中,首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用,比如求 空间立体的体积,空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用,并借以实例加以说明。 其次,谈谈我个人对学习重积分的一些建议和想法。 关键词:重积分;曲面面积;重心;转动惯量;引力;应用.
在高等数学中,重积分是多元函数积分学的内容,在一元函数积分学中我们知道定积 分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数 的情形,便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二 重积分和三重积分两部分,引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映, 三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的,但事实上三重积分也是某些具体现实 过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种 知识领域中的应用非常广阔,我们将在理论力学,材料力学,水力学及其她一些工程学科 中碰到它们。文章中我分为两个部分来谈重积分,第一部分主要归纳了重积分的应用,对于 重积分的学习,要求主要掌握重积分的计算和应用,会用重积分的思想解决实际问题,然而 计算又涵盖在具体应用中。因此学习重积分要从它的应用着手。第二部分谈了谈自己对学 习重积分的一些建议和想法。主要从学习重积分的思想和计算方法两方面来谈。
I.重积分的应用归纳如下:
1.1 曲面的面积 设曲面 的方程为 z
f x, y , 在 xoy 面上的投影为 D xy ,函数 f x, y 在 D 上具
有连续偏导数,则曲面 的面积为:
A
D
f f 2 2 1 dxdy 1 f x x, y f y x, y d x y D
2
2
若曲面 的方程为 x g
y, z ,
在 yoz 面上的投影为 D yz ,则曲面 的面积为:
A
D
g g 2 2 1 dydz 1 f y y, z f z y, z d y z D
2
2
若曲面 的方程为
y hz, x , 在 zox 面上的投影为 D zx ,则曲面 的面积为:
2 2
A
D
h h 2 2 1 dzdx 1 f z z, x f x z , x d z x D
xy 被柱面 x 2 y 2 R 2 所截出的面积 A 。
2
例 1:计算双曲抛物面 z
解:曲面在 xoy 面上投影为 D : x
y 2 R 2 ,则
2 2
A 1 z x z y dxdy
D
即有:
A 1 x 2 y 2 dxdy d
0 D
2
R
0
3 2 1 r 2 rdr 1 R 2 2 1 3
y 2 R 2 所截出的面积 A 如上所示。 例 2:求半径为 a 的球的表面积.
从而被柱面 x
2
解:取上半球面方程为 z
a2 x2 y2 ,
则它在 xoy 面上的投影区域 D 又由
x, y x
2
y 2 a2
.
z x z y , , 2 2 2 2 2 2 x y a x y a x y
a z z 1 . x y a2 x2 y 2
2 2
得 因为这函数在闭区域
D 上无界,我们不能直接应用曲面面积公式,所以先取区域
D1 x, y x2 y 2 b2 0 b a 为积分区域,算出相应于 D1 的球面面积 A1 后,令
b a 取 A1 的极限就得半球面的面积.
A1
D1
a a x y
2 2 2
dxdy,
利用极坐标,得
A1
D1
a a2 2
dd a d
0
2
b
d
a2 2
0
于是
lim A1 lim 2a a a 2 b 2 2a 2 .
ba ba
这就是半个球面的面积,因此整个球面的面积为
A 4a 2 .
1.2 质量 1.2.1 平面薄片的质量 若平面薄片占有平面闭区域 D ,面密度为 其中 dm
x, y ,则它的质量为 m x, y d ,
D
x, y d 称为质量元素.
1.2.2 物体的质量 若物体占有空间闭区域 ,体密度为
x, y, z ,则它的质量为 m x, y, z dv
D
例 3:由螺线 求它的质量。
2 ,与直线
2
,围成一平面薄片 D ,它的面密度为
x2 y 2 ,
y
o
x
解:如图所示, m
2 dxdy x y dxdy 2 d d 2 2 2 0 0 D D
1 5 2 5 4 d 4 5 0 40
2 0 4
1.3 质心 1.3.1 平面薄片的质心 若平面若平面薄片占有平面比区域 D ,面密度为
x, y ,则它的质心坐标为:
1 x x x, y d mD y 1 y x, y d m D
1.3.2 物体的质心 若物体占有空间闭区域 ,体密度为
,其中 m 为平面薄片的质量.
x, y, z ,则它的质心坐标为:
1 x x, y, z dv m D 1 y x, y, z dv m D ,其中 m 为物体的质量. 1 z x, y, z dv m D
例 4:
求位于两球面 x
2
y 2 z 2 4 ,和 x2 y 2 z 1 1 之间的均匀物体的
2 2
质心. 解:由对称性可知,质心必须位于 z 轴上 ,故
x 0, y 0
由公式
1 z zd m
由面
zd d
常数,不妨设 1 ,则
d 的体积 ,
4 4 28 23 - 13 3 3 3
zd zd
d 2 d
0 0
2
4 cos
2 cos
cos 2 sin d
4 cos
2
0
1 d 2 sin cos 4 d 0 4 2 cos
1 2 2 sin cos 4 4 cos4 16 cos4 d 0 4 120 2 sin cos5 d
0
1 2 6 120 cos 6 0 20
所以
z
20 15 , 28 7 3
15 。 7
从而质心坐标为 0,0, 例 5:求位于两圆 解:如图所示:
2 sin 和 4 sin 之间的均匀薄片的质心。
因为闭区域 D 对称于轴 y 轴,所以质心 C 再按公式
x, y ,必位于 y 轴上,于是 x 0 。
y
1 yd A D
由于闭区域 D 位于半径为 1 和半径为 2 的两圆之间,所以它的面积等于这两圆面 计算 y ,
积之差,即 A 3 。再利用极坐标计算积分
y
D
o
2 yd sin d d sin d 0 D D
x
4sin
2sin
2d
56 4 sin d 7 3 0
因此 所以质心是 C 0, 1.4 转动惯量 1.4.1 平面薄片的转动惯量
y
7 7 , 3 3
7 3。
若平面薄片占有平面闭区域 D ,面密度为 别为:
x, y ,则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分
I x y 2 d , I y x 2 d , I o x 2 y 2 d
D D D
1.4.2 物体的转动惯量 若物体占有空间闭区域 , 体密度为 为:
x, y, z ,则它对轴,轴以及对原点的转动惯量分别
I x x 2 y 2 d , I y z 2 x 2 d , I z x 2 y 2 d , I o x 2 y 2 z 2 d
例 6:求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。
y
x 2 y 2 a 2 解:建立坐标系如图所示: D : y 0
o
x
a 1 1 I x y 2 dxdy r 3 sin 2 drd sin 2 d r 3dr a 4 2 0 0 4 2 2 D D
又 半圈薄片的质量 M
1 a 2 2
Ix
1 Ma 2 . . 4
例 7:求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量。 解:取球心为原点,
z
轴为 l 轴,设球所占域为
: x2 y 2 z 2 a2 ,
则
I x 2 y 2 dxdydz
r 2 sin 2 cos2 r 2 sin 2 cos2 r 2 sin drdd
2 a 2 2 2 4 d sin 3 d r 4 dr a 5 2 1 a 2 M M a 3 . 0 0 0 5 3 5 3
1.5 引力 1.5.1 平面薄片对质点的引力 若平面若平面薄片占有平面比区域 D ,面密度为
x, y ,质量为 m 的质点位于
x0 , y0 ,设薄片对质点的引力为 F Fx , Fy ,则 x x0 d F Gm y y0 d F Gm
x
D
r3
,
y
D
r3
其中 r 1.5.2 物体对质点的引力
x x0 2 y y0 2 , G 为引力常数.
若物体占有空间闭区域 , 体密度为
x, y, z ,质量为 m 的质点位于 x0 , y0 , z0 ,
设薄片对质点的引力为 F Fx , Fy , Fz ,则
Fx Gm
x xo d F
r
3
y
Gm
y yo d F
r
3
z
Gm
z zo d
r3
其中 r
x x0 2 y y0 2 z z0 2 , G 为引力常数.
z
轴建立直角坐标系,此时圆锥的方程为
例 8:求一高 R ,底面半径为 R 的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的引力。 解:以圆锥的顶点为原点,对称轴为
x2 y2 z R ,
设密度为 ,所求 F
Fx , Fy , Fz 用微元法讨论,在圆锥任意一点 x, y, z 处取微元
d ,则此小块质量为 d ,它对原点处单位质点引力为:
d 1 d dF G 2 r G 3 r ,其中 r x, y, z, r x 2 y 2 z 2 . r r r
由对称性可知 Fx
Fy 0 ,
dFz dF cos
因为 cos 从而
z z dFz G 3 d , ,所以 r r
Fz G
z d r3
G
2
z
2
z2
R 0
3
2
dddz
R
G d d
0
0
R G 2 2 z 2 0
z
2
z
2
12
3
dRz
2
d 0
R
2G
R
0
1 2 R2 2
d
2 2 2 GR 2G 1 2 所以,圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为 F 2 2 GR 。
例 9:求半径为 R 的均匀球 x 点的引力.
2
y 2 z 2 R2 对位于点 M 0 0,0, a a R 的单位质量质
Fx 0
解:利用对称性知引力分量 Fx
Fz G
x
za
2
y z a
2
2
3
d
2
G G
z a dz R
R Dz
x
dxdy
2
y 2 z a
R2 z 2 0
2
3
2
z a dz0 R
R
2
d
r
rdr
2
z a
2
3
2
dz 1 R
2G 2 R z a d R 2 2az a 2 a R 2G
z a R
R
1 1 R 2 2az a 2 az
M G 2 a
II.重积分小谈
2.1 积分学与微分学
4R 3 M 为球的质量。 3
积分学与微分学是相对的统一。微分学从微观角度研究问题,而积分从宏观角度。客 观世界的认知活动,遵循自然法则,由简单到复杂,由规则到不规则,由均匀到不均匀。 对简单的、规则的、均匀的,我们都是建立标准,全地球人都认可的标准,从而建立简单 的认识。对复杂的认识,我们必须基于极限这种思想去处理。可以这么说,极限是联系理 想世界与客观世界的桥梁。但极限说起来简单,用起来却很值得我们去仔细考虑。 2.2 浅谈积分学思想 积分学只是极限的一个简单应用,但其可以帮助我们解决生活中的很多问题。在此, 我从个人角度来谈谈我学习积分的主要思想。 一重积分,即定积分,通过 NewTon.–Leibniz 公式处理,关键是确定原函数,即不定 积分。
二重积分,基于平行截面面积已知的体积可求性问题,可以将二重积分转换成两个一 次积分,分别可基于 X 型 Y 型区域去处理。
XY 型区域的特征是嵌套特征,或者是递推
特征。整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示。 “画图投影作直线”是所有积分计 算过程的缩影。只不过不同的对象可能有所区别,需要具体问题具体分析。 三重积分,可以转换成三次积分,其思想还是遵循嵌套思想,与二重积分一致,关键 是积分区域的嵌套表示。将三次积分化简,可遵循先积分一次再两次积分,或着先两次积 分再一次积分的思想,其本质是积分区域的不同表现形式。 其实,引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应,三重积分概念是 作为二重积分概念的推广而引出的,但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应, 例如可看作是确定具有変密度的物体的质量的过程。必须强调指出的是,定出这些重积分 的过程也反应着很多其他的现实过程。如我们文中已提到的物体的质心,转动惯量,引力 等的过程。 2.3 浅谈积分学的计算 直角坐标系下的二重积分、三重积分的计算相对来应该比较简单。即只要我们将复杂 区域分割为若干个简单区域(就是可以嵌套表示的) ,则可以回到 NewTon –Leibniz 公式。 三重积分的先一次再两次积分是常用方法。可以向任何一个平面投影,但我们一般向
XOY 平面投影的。先两次再一次积分适用于某一个变量,如 z 具有明确上下限,而由 z 所确定的 Dz 平面区域可以很容易处理,这时候比较容易处
理。主要适用于:球体,半球
体,锥体,椭球体,以及类形体。 关于平面极坐标,空间柱面坐标、极坐标。我们都可以看做是重积分的换元法。因此, 换元后微元都发生了改变, (这是尤为要强调记住的) 。其它过程则跟直角坐标系下一致。 平面极坐标主要适用于积分的区域有:圆域,环域,扇形域,及类区域。 柱面坐标本质是对某一个变量,如 z ,用直角坐标系表示,对 XY 用平面极坐标表示。 强调当 XY 用极坐标表示后, z 也要用半径跟角度表示。其主要适用于:圆柱,圆锥,球 体,半球体,等类形体。 关于空间极坐标,其主要适用于圆锥,球体,半球体。 总之,所有计算方法,都基于积分区域在不同坐标系下的不同表示,主要注意在不同 坐标系下的微元即可。 以上仅是我个人在学习重积分以后的一些想法,如果有谈的不适的地地方,请大家多 多指教,谢谢。
参考文献:
[1] 王贵鹏. 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社, 2001, 6. [2] 田国华. 数学分析辅导及习题全解[M]. 北京:人民日报出版社, 2007, 8. [3] 骆一丹. 辅导及习题精解[M]. 上海:同济大学出版社,2004, 7. [4] 同济大学数学教研组. 高等数学学习方法指导书[M]. 上海:同济大学出版社,1981, 10. [5] 闫晓红, 王贵鹏. 数学分析全程导学及学习习题全解[M]. 北京:中国时代经济出版社, 2006, 3. [6] 强文久, 李元章, 黄雯荣. 数学分析的基本概念与方法[M]. 上海:高等教育出版社,1989, 4. [7] 同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京:高等教育出版社,2007,6.