数学建模成绩与体重的关系

湖南第一师范学院

HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY

论文题目: 成绩与体重的关系

摘要

本文研究举重运动员的举重成绩与体重的关系，首先根据题目所给数据，运用Excel 做出其折线图，大胆猜想数据间存在的联系，建立了一元一次模型和幂函数模型，然后运用MATLAB 中的cftool 工具箱来进行数据拟合，对数据分析以及模型建立。再次，考虑到运动员的生理条件因素，查阅相关资料，建立更适合的模型，可以依据所得到的方程计算出体重对应的理论值，与实际值进行比较，判断误差, 找出最适合的模型。

关键词：数据拟合、模型改进

一、问题重述

1、问题背景：

大家都知道举重是一门以力量进行较量的运动项目，要求运动员在短短几秒时间内爆发出巨大能量。在观看比赛时我们可以发现：运动员要进行挺举和抓举2项比赛，每项各有三次试举机会，还受到动作规范的制约。在一般情况下，当在同一体重级别的举重比赛中，举重的重量越大，其成功率越低。然而对于不同体重的人举起同重量的东西，体重较重的人显得更轻而易举。在举重运动的国际赛事上，都是根据运动员的体重划分不同的级别。 2、需要解决的问题

题目中给出奥运会体重和成绩的一组数据，建立起举重成绩与体重之间的关系模型。

二、问题分析

分析了题目条件和表中数据，我们不难发现，当运动员的体重越来越大，其挺举成绩，抓举成绩，总成绩也相应越来越高，由此我们可以猜想运动员的体重与成绩应该是正比例关系，于是我们建立了一元一次模型和幂函数模型，再用数据拟合等常用方法对数据进行分析和建立模型。

三、模型假设与约定

举重运动员的最终成绩是个人因素，环境因素等诸多因素共同作用的结果，在此模型中，我们只考虑运动员自身的主观条件，其他客观条件不予考虑。

四、符号说明及名词定义

举重成绩：Y 运动员体重：X

肌肉横截面积： S 人的身高 ： H 肌肉强度：Q 臂长:L 常数：K ，K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 n a b

五、模型建立

模型一:

问题分析：

1. 根据题中所给出的数据，当运动员的体重越来越大，其挺举成绩，抓举成绩，总成绩也相应越来越高，由此我们可以猜想运动员的体重与成绩应该是正比例关系。

2. 由图中数据画出散点图，从图中我们可以看出体重与成绩之间大致上呈正比关系。

公式推导：

从上图可以直观地看出，当体重越大，举重总成绩越好，因此，举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数Y=kX+b对三个体重进行拟合。

模型二:

问题分析:

模型一的建立相对于比较简单，考虑因素单一，可能与实际值误差较大。于是，我们参考其他资料，了解到举重运动员的举重成绩还受到肌肉强度和其横截面积的影响，根据所给出的数据得知体重与成绩之间大致呈正比关系，但如果运动员手臂过长，则举重时双手向上做的功比较多，从而影响其成绩，由此我们大胆猜想：运动员举重成绩也肌肉强度和其横截面积也呈正比关系，与其臂长呈反比。在此基础上，我们建立了模型二。

举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即：

Y=K1Q/L （K 1为常数且>0） ① 从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即：

Q=K2S （K 2 为常数且>0）， ② 从而可得

Y=K1Q/L=K1K 2S/L 。 ③

假设肌肉的横截面积正比于身高的a 次方，人的体重正比于身高的b 次方，臂长L 与身高成正比关系，即可得：

S=K3H a ，W=K4H b L=K5H （K 3，K 4 , K5为常数且>0） 从而得

Y=K1K 2S/L= X (a-1)/b K1K 2K 3/ K 4(a-1)/b K 5 ④

Y=KXn ( K= K1K 2K 3/ K 4n K 5, n=(a-1)/b )

上式即为推导公式，接下来用matlab 进行拟合。

六、模型求解

模型一的求解:

根据模型建立中的推导公式以及题目所给数据用matlab 的cftool 工具箱拟合得到：

k 1=1.187, k 2=1.419, k 3=2.615 把b 代入得出三个一次函数为： Y=1.187X+73.24, Y=1.419X+89.36 Y=2.615X+162.1

用上述模型计算得到的理论值（保留小数点后3位）见下表:

拟合图形如下:

(1） 体重与抓举

(2)体重与挺举

(3)体重与总成绩

模型二的求解:

根据模型建立中的推导公式以及题目所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数K 以及指数n 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。用matlab 的cftool 工具箱拟合得到：

K 1=13.23;K2=12.09;K3=24.98; N 1=0.5817;N2=0.6446;N3=0.6172;

于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为: Y=13.23X0.5817 Y=12.09X0.6446 Y=24.98X0.6172

用上述模型计算得到的理论值（保留小数点后4位）见下表:

拟合图形如下: (1) 体重与抓举:

(2) 体重与挺举:

(3) 体重与总成绩:

根据以上数据对模型一和模型二进行比较: 模型一

:

模型二

:

从图中和表中可以看出，模型一体重与成绩数据与函数的拟合度低于模型二，说明用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型不够完善，考虑的因素比较少，而模型二理论值与实际值比较接近，说明模型二的假设条件良好。

七、模型评价

优点：

根据题目中所给出的数据，建立起适当模型并对模型不断加以改进，对模型一和模型二进行比较，得到的最终模型为： Y=13.23X0.5817 Y=12.09X0.6446 Y=24.98X0.6172

通过分析验证了优化后模型的可靠性，并且可靠度很高。 缺点：

由于题目中所给出的数据不全面，只有体重与成绩，无法考虑其他因素，也无法验证是否适应于女生和其他国家的人，因此，此模型还是存在着一定的误差。

九、模型推广

此模型在一定程度上能够作为举重成绩预测的一个客观依据。在其他以体重作为主要因素的运动比赛中也可以参考。

十、参考文献

[1]《华南师范大学数学建模试题与优秀论文》

[2]《南京体育学院学报(自然科学版) 》2009年第04期 《论骨骼肌横截面积与力量》

[3] 丁毓峰编著的《matlab 函数查询及应用案例》

十一、附录

运用MATLAB 的cftool 工具箱对数据进行拟合: 模型一:

(1)在命令行输入数据并启动曲线拟合工具箱:

>>x=[54,59,64,70,76,83,91,99,108];

>>y=[132.5,137.5,147.5,162.5,167.5,180,187.5,185,195]; >>cftool

(2)进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”

1. 点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；

2．利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y ，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；

3. 点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；

4. 点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“抓举”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，在Custom Equations中选择用户自定义的函数类型Linear Equations。

5. 类型设置完成后，点击“Apply”按钮，就可以在Results 框中得到拟合结果 如抓举:

Linear model:

f(x) = a*x + c

Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 1.187 (0.8935, 1.481) c = 73.24 (49.7, 96.78)

Goodness of fit: SSE: 295.5

R-square: 0.9288

Adjusted R-square: 0.9187 RMSE: 6.497

拟合图像

:

挺举与总成绩数据拟合同上。

模型二:

数据拟合步骤同上，在确定拟合类型时，应选择Power 幂逼近:a*x^b 同样在Results 框中得到拟合结果:

（抓举）

General model Power1:

f(x) = a*x^b

Coefficients (with 95% confidence bounds):

a = 13.23 (6.056, 20.4)

b = 0.5817 (0.4583, 0.705)

Goodness of fit:

SSE: 231.5

R-square: 0.9442

Adjusted R-square: 0.9363

RMSE: 5.75

拟合图像

: