导数题型分类
导数题型分类
1. (*)设函数f (x ) =x 2-a .
(1)当a =1时,求函数g (x ) =xf (x ) 在区间[0, 1]上的最小值;
(2)当a >0时,曲线y =f (x ) 在点P (x 1, f (x 1))(x 1>a ) 处的切线为l ,l 与x 轴交于点A (x 2, 0) 求证:x 1>x 2>a .
2. (**)已知函数f (x ) =ln x , g (x ) =e x .
⑴若函数φ (x ) = f (x ) -x +1,求函数φ (x ) 的单调区间; x -1
⑵设直线l 为函数f (x ) 的图象上一点A (x 0,f (x 0)) 处的切线,证明:在区间(1,+∞) 上存在唯一的x 0,使得直线l 与曲线y =g (x ) 相切.
注:(1)(2)问联系紧密,合理转化与构造函数对解答导数题至关重要
1. (*)已知函数f (x ) =(x 2+ax -2a 2+3a ) e x (x ∈R ), 其中a ∈R ⑴当a =0时,求曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线的斜率; ⑵当a ≠2时,求函数f (x ) 的单调区间与极值. 3
k 2f (x ) =ln(1+x ) -x +x (k ≥0) 22. (*)已知函数
(Ⅰ) 当k =2时,求曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线方程;
(Ⅱ) 求f (x ) 的单调区间.
3. (*)已知函数f (x ) =ln x -ax +
1-a -1(a ∈R ) x ⑴当a =-1时,求曲线y =f (x ) 在点(2,f (2))处的切线方程; ⑵当a ≤1时,讨论f (x ) 的单调性. 2
1. (*)已知函数f (x ) =2x +2ax , g (x ) =3a 2ln x +b . 2
⑴设两曲线y =f (x ) 与y =g (x ) 有公共点,且在公共点处的切线相同,若a >0,试建立b 关于a 的函数关系式,并求b 的最大值;
⑵若b ∈[0,2],h (x ) =f (x ) +g (x ) -(2a -b ) x 在(0, 4) 上为单调函数,求a 的取值范围。
1. (*)已知函数f (x )=lnx -. x
(1)当a>0时,判断f (x ) 在定义域上的单调性;
3,求a 的值. 2
122. (*)已知函数f (x ) =x -ax -ln(1+x ) ,其中a ∈R . 2(2)若f (x ) 在[1, e ]上的最小值为
(Ⅰ)若x =2是f (x ) 的极值点,求a 的值;
(Ⅱ)求f (x ) 的单调区间;
(Ⅲ)若f (x ) 在[0,+∞) 上的最大值是0,求a 的取值范围.
2ax 2+11. (*)设函数f (x ) =(2-a )ln x +(a
(1)讨论函数f (x ) 在定义域内的单调性;
(2)当a ∈(-3, -2) 时,任意x 1, x 2∈[1,3],(m +ln 3) a -2ln 3>|f (x 1) -f (x 2) |恒成立,求实数m 的取值范围.
2. (*)已知二次函数g (x ) 对∀x ∈R 都满足g (x -1) +g (1-x ) =x 2-2x -1且g (1)=-1,设函数f (x ) =g (x +) +m ln x +
(Ⅰ)求g (x ) 的表达式;
(Ⅱ)若∃x ∈R +,使f (x ) ≤0成立,求实数m 的取值范围;
(Ⅲ)设10). 8
|H (x 1) -H (x 2) |
注:把最值表示成参数的函数再对其求最值是导数大题常考题型.
23-x 3. (*)设x =3是函数f (x )=x +ax +b e , (x ∈R )的一个极值点. ()
(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求f (x )的单调区间;
2(2)设a >0, g (x )= a +⎛
⎝25⎫x ⎪e ,若存在ξ1, ξ2∈[0, 4],使得f (ξ1)-g (ξ2)
a 的取值范围.
2x 4. (*)已知函数f (x ) =(x +ax +b ) e (x ∈R ) .
(1)若a =2, b =-2,求函数f (x ) 的极值; (2)若x =1是函数f (x ) 的一个极值点,试求出a 关于b 的关系式(用a 表示b ),并
确定f (x ) 的单调区间;
(3)在(2)的条件下,设a >0,函数g (x ) =(a 2+14) e x +4.若存在λ1, λ2∈[0, 4]使
得|f (λ1) -f (λ2) |
5. (*)已知函数f (x ) =ln x -ax +
⑴当a ≤1-a -1(a ∈R ) . x 1时,讨论f (x ) 的单调性; 2
1⑵设g (x ) =x 2-2bx +4. 当a =时,若对任意x 1∈(0,2) ,存在x 2∈[1, 2],使4
f (x 1) ≥g (x 2) ,求实数b 取值范围.
注:导数命题往往综合考查二次函数,分类讨论思想及解不等式
6. (*)设函数f (x ) =ln x -ax +1-a -1. x
(Ⅰ)当a =1时,过原点的直线与函数f (x ) 的图象相切于点P ,求点P 的坐标;
1时,求函数f (x ) 的单调区间; 2
152(0, e ],∃x 2∈[0,1] (Ⅲ)当a =时,设函数g (x ) =x -2bx -,若对于∀x 1∈312(Ⅱ)当0
使f (x ) ≥g (x ) 成立,求实数b 的取值范围.
12
1. (*)已知函数f (x ) =x ln x , g (x ) =-x 2+ax -3.
⑴求f (x ) 在[t , t +2](t >0) 上的最小值; ⑵若存在x ∈⎢, e ⎥(e 是常数,e =2.71828⋅⋅⋅)使不等式2f (x ) ≥g (x ) 成立,求实数a 的e
取值范围;
⑶证明对一切x ∈(0,+∞), 都有ln x >
2. (*)设函数f (x ) =px -
⑴求p 与q 的关系; ⎡1⎣⎤⎦12-成立. e x ex q p -2ln x ,且f (e ) =qe --2,其中e 是自然对数的底数. x e
⑵若f (x ) 在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; ⑶设g (x ) =
2e ,若在[1, e ]上至少存在一点x 0,使得f (x 0) >g (x 0) 成立,求实数p 的取
x
1. (*)设函数f (x ) =x --a ln x (a ∈R ). x
⑴讨论函数f (x ) 的单调性;
⑵若f (x ) 有两个极值点x 1, x 2,记过点A (x 1, f (x 1)), B (x 2, f (x 2)) 的直线斜率为k , 问:是
否存在a ,使得k =2-a ?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.
注:处理这类问题时,构造函数是关键点,即利用极值点的区间分布确定极值的范围
2. (**)已知函数f (x ) =ln x -
⑴求函数f (x ) 的单调增区间;
⑵记函数F (x ) 的图象为曲线C ,设点A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 是曲线C 上两个不同点,如果曲线C 上存在点M (x 0, y 0) ,使得:①x 0=12ax +(a -1) x (a ∈R ,a ≠0) . 2x 1+x 2;②曲线C 在点M 处的切线平行于直2
线AB ,则称函数F (x ) 存在“中值相依切线”. 试问:函数f (x ) 是否存在中值相依切线,请说明理由.
注:双极值点问题往往需要消去一个极值点或者是集中考虑一个极值点,这时利用题目已知条件或是借用作差作商的处理技巧都是行之有效的,上题就是一个经典例证
3. (*)设函数f (x )=x +a ln (1+x )有两个极值点x 1、x 2,且x 1
⑴求a 的取值范围,并讨论f (x )的单调性;
⑵证明:f (x 2)>
1-2ln 2
4
1. (*)已知a >0,函数f (x )=ln x -ax ,x >0.(f (x )的图象连续) 2
⑴求f (x )的单调区间;
⑵若存在属于区间[1, 3]的α, β,且β-α≥1,使得f (α) =f (β) 成立,证明:ln 3-ln 2ln 2≤a ≤53
注:这种问题的本质不外乎是利用单调性解题,要充分挖掘题目隐藏条件, 比如上题中不定点的区间分布,而条件f (α) =f (β) 则说明α, β必然处在两个不同单调区间之内
2. (*)已知函数f (x ) =ln x
⑴若F (x ) =f (x ) +a (a ∈R ) ,求F (x ) 的极大值; x
⑵若G (x ) =[f (x )]2-kx 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k 的取值范围.
3. (*)已知函数f (x ) =(a +1)ln x -ax .
⑴试讨论f (x ) 在定义域内的单调性;
⑵当a >0时,证明:∀x 1, x 2∈(0,1),|f (x 1) -f (x 2) |>1.|x 1-x 2|
4. (*)已知函数f (x ) =(a +1) ln x +ax 2+1.
⑴讨论函数f (x ) 的单调性;
⑵设a
注:先从单调性切入,再构造合适的函数利用单调性
5. (*)已知函数f (x )=12x -ax +(a -1) ln x ,a >1. 2
(1)讨论函数f (x ) 的单调性;
(2)证明:若a
6. (*)已知函数f (x ) =x -1-a ln x (a -1. x 1-x 2
(1)确定函数y =f (x ) 的单调性;
(2)若对任意x 1, x 2∈(0,1],且x 1≠x 2,都有|f (x 1) -f (x 2) |
取值范围.
11-|,求实数a 的x 1x 2
1. (*)已知x =3是函数f (x ) =a ln(1+x ) +x 2-10x 的一个极值点.
⑴求a ;
⑵求函数f (x ) 的单调区间;
⑶若直线y =b 与函数y =f (x ) 的图像有3个交点,求b 的取值范围.
注:对数函数与二次函数和差函数求导之后得到分式函数,而分母函数一般恒正,分子函数为二次函数,这时画函数草图时可以合理模仿三次函数图像
2. (*)已知函数f (x )=-x +ax +bx +c 在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,32
函数f (x )在R 上有三个零点.
(1)求b 的值;
(2)若1是其中一个零点,求f (2)的取值范围;
(3)若a =1,g (x )=f
相切?请说明理由.
3. (*)已知函数f (x ) =-x 2+8x , g (x ) =6ln x +m .
⑴求f (x ) 在区间[t , t +1]上的最大值h (t );
⑵是否存在实数m , 使得y =f (x ) 的图像与y =g (x ) 的图像有且只有三个不同的交点?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由。
4. (*)已知函数f (x ) =ln(2+3x ) -
⑴求f (x ) 在[0,1]上的极值;
⑵若对任意x ∈[, ],不等式|a -ln x |+ln[f '(x ) +3x ]>0成立,求实数a 的取值范围;
1]上恰有两个不同的实根,⑶若关于x 的方程f (x ) =-2x +b 在[0,求实数b 的取值范围. ' (x )+3x 2+ln x ,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x ) 32x . 21163
注:上面几例中有一个共同点,都是对数与二次函数的和函数问题,这种函数与常见的三次
1. (*)已知函数f (x ) =(x 3+3x 2+ax +b ) e -x
⑴如a =b =-3,求f (x ) 的单调区间;
⑵若f (x ) 在(-∞, α),(2,β) 单调增加,在(α, 2),(β, +∞) 单调减少,证明:β-α<6. 注:这里的指数函数不影响导函数的符号,而函数的极值点即为导函数的根.
2. (*)设函数f (x )=-13x +x 2+(m 2-1)x (x ∈R ),其中m >0 3
⑴当m =1时,求曲线y =f (x )在点1, f (1)处的切线的斜率
⑵求函数f (x )的单调区间与极值
⑶已知函数f (x )有三个互不相同的零点0、x 1、x 2,且x 1
x ∈[x 1, x 2], f (x )>f (1)恒成立,求m 的取值范围.
3. (*)已知函数f (x ) =x 3-x .
(1)求曲线y =f (x ) 在点M (t ,f (t )) 处的切线方程;
(2)设a >0,如果过点(a ,b ) 可作曲线y =f (x ) 的三条切线,证明:-a
4. (*)已知函数f (x )=ax +bx -3x (a , b ∈R )在点1, f (1)处的切线方程为y +2=0. 32()
⑴求函数f (x )的解析式;
⑵若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x 1, x 2都有f (x 1)-f (x 2)≤c ,求实数c 的最小值;
⑶若过点M (2, m )(m ≠2)可作曲线y =f (x )的三条切线,求实数m 的取值范围.
5. (*)已知a ∈R ,函数f (x ) =a +ln x -1, g (x ) =(lnx -1) e x +x , (其中e ≈2.718) x
(I )求函数f (x ) 在区间(0, e ]上的最小值;
(II )是否存在实数x 0∈(0, e ],使曲线y =g (x ) 在点x =x 0处的切线与y 轴垂直?若存在,
求出x 0的值;若不存在,请说明理由。
1. (*)已知函数f (x ) =ln(x +1) -x . (1)求函数f (x ) 的单调递减区间;
(2)若x >-1,求证:1-1≤ln(x +1) ≤x . x +1
2. (*)已知定义在正实数集上的函数f (x ) =12x +2ax ,g (x ) =3a 2ln x +b ,其中2
a >0.设两曲线y =f (x ) ,y =g (x ) 有公共点,且在该点处的切线相同. ⑴用a 表示b ,并求b 的最大值;
⑵求证:当x >0时,f (x ) ≥g (x ) .