小学数学一题多解与一题多变

小学数学一题多解与一题多变B

摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。

关键词：数学，一题多解，一题多变，创造性，创设思维

思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。

一、 一题多解，有利于加强学生的思维训练

一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。

心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。在小学阶段，一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。一题多解则是诸多解题策略的综合运用。教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。

在条件和问题不变的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析思考，探求不同的解题途径。一题多解的训练是培养学生发散思维的一个好方法。它可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的。

在小学数学教学中，我们要在多方面时刻注意培养学生的发散思维能力。但是值得注意的是，如果片面地培养学生的发散思维能力，就会失之偏颇。在思维向某一方向发散的过程中，仍然需要集中思维的配合，需要严谨的分析、合乎逻辑的推理，在发散的多种途径、多种方法中，也需要通过比较判断，获得一种最简捷、最科学的方案与结果。所以，思维的发散与集中犹如鸟之双翼，需要和谐配合，才能使学生的思维发展到新的水平。

二、启发学生用多种思路解答问题

从不同的角度观察和思考问题，就会有不同的解题思路。在比较中选择最佳思路。

例如：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？

这道题可以启发学生先求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考。

解法（1）： 120÷（120×20%÷5）－5

解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）

这道题也可以从分数的意义直接进行解答：

解法（3）：1÷（20%÷5）－5

解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）

解法（5） 5÷20%－5

在学生进行解答后，我再让学生找出最佳的解答方法，学生经过比较，可以发现以解法（5）为最优。在教学实践中, 这样经常进行多向思维的训练， 可以让学生广开思路，萌发思维的创造性。

三、鼓励学生打破常规，标新立异

常规是我们认识问题和解决问题的一般方法。教学中，我们教师要在掌握常规的基础上鼓励学生突破常规，敢于设 想创新，敢于标新立异。

例如：李老师带了若干元去买书。一部书分为上、下两集，用全部钱能买上集10册或买下集15册。已知上集比下集每本贵2元， 张老师一共带了多少元？

这题学生一般用“归一”和“倍比”的思路解答。

解法（1）

2×10÷（15－10）×15＝60（元）

解法（2）

2×10×［15÷（15－10）］＝60（元）

在运用“归一”和“倍比”解法的基础上，我进一步启发学生进行分析，如果把李老师所带的钱看做单位“1”， 那么，上集每本的钱则占总钱数的1/10，下集每本的钱则占总钱数的1/15，这样就可以找出一组相对应的数量，即上集比下集每本贵2元， 相当于总钱数的 （1/10－1/15），因此，可求得张老师带的总钱数是：

解法（3） 2÷（1/10－1/15）＝60（元）

在教学中，我们要多给学生发表独立见解的机会，对有独到见解的学生要给予鼓励和表扬，以促进学生创造性 思维的发展。

四、通过一题的灵活多变，不断培养学生的创新素质

在教学中，如果能做到引导学生对命题条件、结论进行各种变换，能充分调动学生学习的积极性。

例如在学习了长方体的表面积后，让学生归纳出了求长方体的表面积公式后，可出示长方体的实物，并演示提出如果少掉一个底面的一个面，请学生思考这时五个面的面积公式又是怎样的？如果少掉前面的一个面，这时五个面的面积公式又是怎样的？如果少掉两个底面，这时的四个面的面积公式又是怎样的？少掉了两个底面，这时实际只要求什么？哪一种物体只要求出四个面？学生经过讨论，很快能说出求五个面的面积公式，并知道少掉两个底面，实际上只要求长方体的侧面积，通风管即只要求四个面。这样通过运用实物和教具，让学生在实践中通过联想，增强了学生的创新意识，培养了学生的创造性思维能力，同时也提高了学生的解题能力。

再如课本上九年义务教育六年制小学数学第十二册中的一道思考题：“修一条公路，已修和未修长度的比是1∶3，再修300米后，已修和未修长度的比是1∶

2。这条路长多少米？”

这道题有的学生求解会有一定的难度，我就先出示了这样一道题：“修一条公路，已修了全长的1/4 ，再修300米后，则已修了全长的1/3 ，这条路长多少米？” 。 这道题学生很快能列出算式：300÷（1/3－1/4 ）＝3600（米）。然后我再引导学生思考，上面一道思考题的条件是：“再修300米后，已修和未修长度的比是1∶2”，这里隐藏着一个等量关系，如果抓住这个等量关系，就可列方程解答。

解：设：已修的长度为X 米，那么未修的长度为3X 米。

（X ＋300）∶ （3 X－300）＝l ∶2

解得 X ＝900

X＋3X ＝900＋900×3＝3600（米）

答：这条路长3600米。

接着，我再引导学生，又因为公路的总米数是“不变量”，把条件“已修和未修长度的比是1∶ 3，再修300米后，已修和未修长度的比是1∶ 2”转化为：“已修长度是未修长度的 1/3 ，再修300米，已修长度是未修长度的 1/2 ” ，如把公路全长看作单位“1” ，所以可得，已修的长度就是总长度的：1/3÷（1 ＋ 1/3 ）＝ 1/4 ，再修300米后，已修的长度就是总长度的：1/2÷（1＋1/2 ）= 1/3 ，由此可知，300米就相当于公路全长的：（1/3 －1/4 ） ，所以可列式为：300÷（ 1/3 － 1/4 ）＝3600（米）。答：这条路有3600米。

在学生掌握了这道思考题的解答方法后，可再出示这样一题：“修一条公路，已修长度是未修长度的是 1/3 ，再修300米后，已修长度是未修长度的1/2 。这条路长多少米？” 。然后我组织学生讨论，学生在掌握了上道题的解题方法后，很快能求出公路的全长是： 300÷ [ 1/2÷（1＋1/2 ）－1/3÷（1＋1/3 ）]＝3600（米）。

接着，又出示这样一题：“修一条公路，未修长度是已修长度的3倍 ，再修300米后，未修长度是已修长度的 2倍 。这条路长多少米？” 。再组织学生讨论，学生在解答了上面二题的基础上，也能很快求出这条公路的长度是：300÷ [ 1÷（1＋2）－1÷（1＋3）]＝3600（米）。

数学教师要在课堂教学中培养学生的创造力，首先应创设一种民主、宽松、和谐的教学环境和教学气氛。有意识的培养学生的创新意识；善于激发学生的创造动机；发展学生的创造思维；树立学生具有创造力的个性品质。同时教师还要注意自身的知识和能力储备。教师自己能够打破传统定势，提高自身的认知水平，才能更加灵活的去引导学生的发展。更好的促进学生的发展。实现教书育人的目的。

五、设计开放性习题，进行思维发散

开放性习题往往答案不固定或条件不完备，能引起学生思维发散。发散思维是创造性思维的主要成分。训 练思维发散，给学生以创新的机会，可以培养学生思维的广阔性、灵活性和创造性。

（1）一题多解的训练。

例如结合应用题教学，可出示这样一题：“红星小学有250名师生，现在要租车去游览。有两种车供选择：48座的大巴车，每辆租费480元；20座的中巴车，每辆租费220元。怎样租车才能使每个旅客都有座，又最省钱？”

解答这样的问题，一般要设计几种方案，进行比较后，再确定最佳方案，而选择最佳租车方案，一般应从两方面来考虑：一是尽量多租每个座位花钱少的车；二是使空座位尽量少，提高座位利用率。

我先请学生自己设计好方案，然后再进行交流，学生经过讨论，得出了以下方案：大巴车每座需：480÷48=10

(2)一题多变的训练。

对题中的条件、问题、情节作各种扩缩、顺逆、对比或叙述形式的变化，让学生在各种变化了的情境中，从各种不同角度认识数量关系。 一题多变，也是培养学生思维流畅性的好形式。如给学生一组条件：“西村小学五年级有拉生50人，女生40人。”要求多方位地提出新颖的问题。同学们经过独立思考，小组议论，提出如下一些问题：1、五年级共多少人？2、男生它女生多多少人？3、女生它男生少多少人？4、男生是女生的几倍？5、女生是男生的几分之几？6、男、女生各占总数的几分之几？•7、女生是男生的几分之几？8、男生它女生多百分之几？9、女生它男生少百分之几？•10、男生和女生的人数它是多少？„„ 使他们的思维多方面、多层次地扩散，为提出多种解题方法创造条件。

再如，有一批零件，由甲单独做需要12小时，乙单独做需要10小时，丙单独做需要15小时。如果三个人合做，多少小时可以完成？解答后，要求学生再提出几个问题并解答，可能提出如下一些问题：1、甲单独做，每小时完成这批

零件的几分之几？乙呢？丙呢？2、甲、乙合做多少小时可以做完？乙、丙合做呢？3、甲单独先做了3小时，剩下的由乙、丙做，还要几小时做完？4、甲、乙先合做2小时，再由丙单独做8小时，能不能做完？5、甲、乙、丙合做4小时，完成这批零件的几分之几？

通过这种训练不仅使学生更深入地掌握工程问题的结构和解法，还可预防思维定势，同时也培养了发散思维能力。

参考文献：

1．戴再平，《数学习题理论》。上海教育出版社，2000年版。

2．曹才翰、章建跃，《数学教育心理学》。北京师范大学出版社，2001年版。

3．胡炯涛，《数学教学论》。广西教育出版社，1999年版。