对数三角函数的定积分
第27卷第5期2011年10月
大 学 数 学
COLLEGE M AT H EM AT ICS
V ol. 27, ! . 5
Oct. 2011
对数三角函数的定积分
邱为钢, 唐荣荣
(湖州师范学院理学院, 浙江湖州313000)
[摘 要]定义了三种积分表示的两元函数. 这些两元函数有伽马函数表示, 可以展开为幂级数. 在积分符号内展开被积函数, 先积分, 再求和, 也得到级数展开. 对比展开系数, 就得到一些对数三角函数定积分的值. 选取合适的围道, 得到其他两类对数三角函数定积分的值.
[关键词]伽马函数; 对数三角函数; 定积分
[中图分类号]O 172. 2 [文献标识码]C [文章编号]1672 1454(2011) 05 0134 04
物理专业, 特别是理论物理方向, 要求具有强大的数学解析计算能力, 譬如在定积分的计算上, 就需要综合运用各种技巧. 宁容健先生在文献[1]中, 对定积分计算的方法和技巧作了归纳和总结. 计算含有
对数三角函数定积分, 除了文献[1]所述的常用方法, 还有傅里叶级数展开法[2], 参数展开法[3], 以及常用的围道积分法. 本文运用参数展开法和围道积分法, 得到了三类对数三角函数定积分的值. 本文主要阐述计算技巧, 积分符号内展开被积函数, 积分和求和交换次序等操作的严格性, 可以由计算结果的正确性反过来验证.
定义一个二元函数H (x , y ) 为
H (x , y ) =
∀
/2
(2sin t)
2x
(2cos t) d t .
2y
(1)
由文献[4]中贝塔函数的积分表示, 得到函数H (x , y ) 的解析式
2x+2y-1. H (x , y ) =2
在积分符号内展开(2sin t)
2x
(2)
(2co s t)
n =0
2y
为x 和y 的级数, 得到函数H (x , y ) 的级数展开式
∃
H (x , y ) =
由对数伽马函数的级数展开式
#
,
∃
n m
#0m ! n ! m=
∀
/2
log n (2sin t) lo g m (2cos t) d t .
∃
(3)
[4]
log (s +a) =lo g (a) + (a) s +
得到(2) 式中函数H (x , y ) 的展开式
H (x , y ) =ex p
2
k=2∃
k=2
#
k
(-1) k k
(4)
#
k
k
! (k; 1/2) (x k +y k ) -! (k) (x +y ) k
. (5)
对比(3) 式和(5) 式中x , y 的各项系数, 得到以下积分值
/23
2lo g (2sin t) d t =! (2; 1/2) -! (2) =, 0824
∀
∀log(2sin t) log (2cos t) d t =- /20
(6) (7)
! (2) =-.
424
3
[收稿日期]2008 12 05
[基金项目]湖州师范学院高等教育研究项目(G JB11007) ; 浙江省高等学校创新团队(T 200924) ; 湖州师范学院省级
精品课程 高等数学
第5期 邱为钢, 等:对数三角函数的定积分定义一个二元函数I (x , y ) 为
I (x , y ) =
函数I (x , y ) 有伽马函数表示的解析式[4]
.
2 ((y +x +2) /2) ((y -x +2) /2)
在积分符号内展开cos (xt ) (2cos t) y 为x 和y 的级数, 得到函数I (x , y ) 的级数展开式
I (x , y ) =
∃
135
∀
/2
cos (xt) (2cos t) y d t .
(8)
(9)
I (x , y ) =
n=0
#
2n!
∃
n 2n
#m=0m !
∃
m
∀
/2
t 2n log (2co s t)
m
d t . (10)
由对数伽马函数的展开式(4) , 得到(9) 式中函数I (x , y ) 的展开式
k k k k I (x , y ) =ex p #(k) (2
y ) -(y -x ) -(y +x ) k 22k=2
对比(10) 式和(11) 式x , y 的各项系数, 得到以下积分值
3
log (2cos t) d t =∀(2) =,
0424
5
42∀(2) +7∀(4) =, log (2cos t) d t ==8480
. (11)
∀
∀t
0 /20
/2
∀
/2
2
(12) (13) (14)
2
log (2cos t)
2
2
d t =∀(2) +3∀(4) =.
81440
5
定义一个二元函数K (x , y ) 为
K (x , y ) =
函数K (x , y ) 有伽马函数表示的解析式[
5]
∀
y ex p (ix t) (2sin t) d t . 0
(15)
K (x , y ) = exp (ix /2)
∃
. ∃
(16)
在积分符号内展开exp (ix t) (2sin t) y 为x 和y 的级数, 得到函数K (x , y ) 的级数展开式
K (x , y ) =
∃
n=0
#
n m
#0m ! n! m=
∀
t 0
n
log (2sin t)
m
d t . (17)
由对数伽马函数的级数展开(4) 式, 得到(16) 式中函数K (x , y) 的展开式
K (x , y ) = #
n=0
n!
2
n
ex p
k=2
#
∃
k (k) (2
y ) k -(y -x ) k -(y +x ) k k k 2
2
. (18)
对比(17) 式和(18) 式中x , y 的各项系数, 就能得到以下对数三角函数的积分值
∀t
log (2sin t )
2
d t =! (2) =,
424
23
(19) (20)
∀
t 2lo g(2sin t ) 0
d t =
5
2∀22
(2) +6∀(4) + ! (2) =. 32360
考虑以下围道积分
J =
∀
C 1
z -1lo g 2(i(1-z ) ) d z .
(21)
计算以下路径上的积分, 这个路径分为四段. 第一段沿实轴从原点到1, 积分是
J 1=
虚部是
Im J 1= 0x lo g (1-x ) d x =-.
6
∀
1
-12x log (i(1-x ) ) d x , 0
(22)
3
∀
-1
(23)
积分路径2:沿着圆心在原点的单位圆圆弧, 角度从0转到 /3. 作变量代换z =ex p (i #) , 由以下公式
log 1-ex p (i #) =log 2sin (#/2) +i , 0
2
2(24)
136
/30
大 学 数 学 第27卷
Im J 2=
∀log
2
3
2sin (#/2) d #-.
324
(25)
路径3是圆心在z =1的单位圆弧, 角度范围是2 /3
2
J 3=-1+itan (#/2) (#- /2) d #, (26)
22 /3
∀
虚部是
Im J 3=-2J 4=
∀
2 /3
(#- /2) d #=-.
108%6
2
2
2
3
(27)
路径4是圆心在原点的无限小圆弧, 角度范围是 /2
∀z
C
4
-1
log id z =-4
∀
d #=. /28
3
(28)
围道积分为四个路径积分之和, 绕过极点z =0, 所以
J 1+J 2+J 3+J 4=0,
虚部也为零, 得到
∀
/3
3
log 22sin (#/2) d #=.
108
(29)
考虑以下围道积分
P =
∀
C
2d z , (30)
其中 ∃=exp (-i %) , 0
针方向转到%角度, 令z =ex p (i (#-%) ) , 计算得到虚部积分为
2
d #=%3
Im P 1=-Im 0.
1-exp (i #) 3
第二部分是从∃=exp (i %) 沿垂直直线方向到 ∃=exp (-i %) , 令
∀
2%
(31)
z =cos %+i t sin %, -1&t &1,
计算得到虚部积分为
Im P 2=-
∀
1
-1
222
log cos %+t sin ar ctan t tan .
t +1
(32)
第三部分是以 ∃为圆心的无限小圆弧, 顺时针方向从虚轴方向转过%角度, 这部分的围道积分为
P 3=
C
3
d z =-i %3
.
2
(33)
围道积分为三个路径积分之和, 绕过极点 ∃, 所以
P 1+P 2+P 3=0,
虚部也为零, 得到
3
cos 2%+t 2sin 2arctan t tan =%, 0
t +13
以上解析计算结果, 得到了Mathem atica 8. 0解析或数值计算的验证, 说明本文所采用的参数展开法和
∀
1
log -1
围道积分法是合适的.
[参 考 文 献]
[1] 宁容健. 定积分计算的方法和技巧[J].工科数学, 1995, 1(11) :199-203.
[2] 郑晨, 邱为钢. 基于傅里叶级数的定积分计算技巧[J]. 高等数学研究, 2010, 13(3) :31-32. [3] 王碧桂, 邱为钢. 用参数展开法计算一类反常积分[J]. 高等数学研究, 2011, 14(1) :85-86. [4] 王竹溪, 郭顿仁. 特殊函数概论[M ].北京:北京大学出版社, 2000.
[5] G radshteyn I S, Ryzhik I M. 积分, 级数和乘积表[M ].7版. 北京:世界图书出版公司, 2007.
第5期 邱为钢, 等:对数三角函数的定积分137
Definite Integral of Logarithm Trigonometric Fu nction
QI U Wei gang
(Scho ol of Science, Huzho u T eacher ∋s Co llege, Huzho u, Zhejiang 313000, China)
Abstract:T he integ ral definition o f thr ee kind o f tw o vatibles functions ar e g iven. T hese functio ns, in t er m o f Gamma functio n. , can be ex panded into pow er ser ies. T he int eg r and can also be ex panded into pow ers ser ies and integr ated ter m by ter m. Com par ing t he pow er ser ies coefficients, some definite integ rals of lo gar ithm tr ig onometr ic functio n is obtained. Other kind of log arithm tr ig onometr ic functio n integ ration are also ev aluated by co nt our integ ral met ho ds.
Key words:Gamma functio n; lo gar ithm tr ig onometric function; definite integ ral