不定积分基础总结
不定积分
不定积分中需了解的知识点1、原函数、原函数存在定理、定义
原函数（定义）：设函数(x )在某区间I 上有效，如果存在函数F (x )使得在I 上有F ' (x )=f (x )或dF (x )=f (x )d x ，则称F (x )为f (x )在I 上的原函数
定理：设F （x ）为f(x)的一个原函数，则集合F (X)+C C 为常数包含了f(x)的所有函数 原函数存在定理：函数f(x)在区间I 上连续，则在该区间上它的原函数一定存在 定义：函数f(x) 的全部原函数的一般表达式 F(X)+C 称为F(X)的不定积分 记作：⎰f (x)d x ，即⎰f (x)d x =F (x)+C 2、不定积分的性质 1、性质 2、性质 3
⎡f (x)d x ⎤=f (x)或者 d⎡f (x)d x ⎤=f (x)d x 性质 1：⎣⎰⎦⎣⎰⎦
⎰F ' (x)d x =F (x)+C 或者 ⎰dF (x)=F (x)+c 性质 2：±v(x)dd x ]x =⎰u (x)d x ±⎰v(x)⎰[u （x ） 性质 3：⎰ku (x)d x =k ⎰u (x)d x (k 为非零常数）3、不定积分的基本公式
' （x μ+1）=(μ+1) x μ，在μ≠-1的条件下，有（
'
{}
{
(先积分后微分，式子不变）
(先微分后积分，加个常数）
}
1'
∙x μ+1）=x μ
μ+1
∴⎰x μd x =
1
∙x μ+1+C (μ≠-1) μ+1
μ
b 、x ⎰d x =
x d 、⎰a d x =
a 、⎰kd x =kx +c (k 为常数）1
c 、⎰x d x =ln |x |+c
x x e 、e d =e +c x ⎰
1
x μ+1+c (μ≠-1) μ+1
a x lna
+c (a >0, a ≠1)
f 、⎰sin xd x =-cos x +c
2h 、sec ⎰xd x =⎰
g 、⎰cos xd x =sin x +c
2
i 、⎰coc xd x =
1
d x =tan x +c cos 2x
1
d x =-cot x +c sin 2x
j 、⎰secx ⋅tan xd x =secx +c 1L
、⎰1+x 2d x =arctanx +c
k 、⎰cscx ⋅cotxd x =-cscx +c m 4、学会凑微分
x =arcsinx +c
∀、将d x 凑成x 的线性函数的微分1）、由于d (x +c) =d x ，所以d x =d (x +c) 2）、由于d (kx ) =kd x
(c为常数）
1
d (kx ) (k≠0) k
11
由1）、2）, 有d x =d (kx +c)，更一般的有d ϕ(x ) =d [k ϕ(x ) +c ](k ≠0)
k k
⎤∀、将f (x ) d x 凑成x 的函数的微分，一般凑微分公式为f (x ) d x =d ⎡⎣⎰f (x ) d x ⎦
(k为常数），所以d x =
常用公式如下：
11
xd x =d (⎰x d x ) =d (x 2+c) =d (x 2)
22
111
d =d (d x ) =d (-1x x +c) =d (-x ) 22⎰x x
1x
x =d (x
x ) =d c) =d x
x
d x =d (⎰1x d x ) =d (lnx +c) =d (lnx )
e x d x =d
(⎰e d )=d (e
+c )=d (e x )
cosxd x =d
(⎰cosxd )=d (sinx +c ) =d (sinx )
x
sinxd x =d (⎰sinxd x ) =d (-cosx +c ) =d (-cosx )
d x =d (x +1) =d (x -1) =d (x +c ) =k d (kx ) =-k d (-x )
⎧⎧第一类换元积分法
换元积分法⎪⎨
5、不定积分的求法⎨⎩第二类换元积分法
⎪分部积分法⎩换元积分法
第一类换元积分法：设F （u ）是f (u ) 的原函数，u =ϕ（x ）是x 的可导函数，
'
则有⎰f [ϕ（x ）（x ）d x =⎡⎰f (u ) d u ⎤⋅u =ϕ（x ）]⋅ϕ⎣⎦
凑微分
步骤：（x ）（x ）d x =]⋅ϕ⎰f [ϕ
' （x ）]d [ϕ⎰f [ϕ
换元（（ϕx ）=u ）
（x ）]
=
⎰f (u ) d
u
=F （u ）+c
回代（u =ϕ（x ））
=
F [ϕ（x ）]+C
第二类换元积分法：设f (x ) 连续，x =ϕ(x ) 具有连续的导数ϕ' (t)，
'
且ϕ' (t)≠0，其反函数为t=ϕ(x ) ，又函数F(t)=f [ϕ(t)]⋅ϕ' (t)，
则有换元公式⎰f (x)dx =⎰f [
ϕ(t)]ϕ' (t)d t =F (t)+c =F[ϕ(x )]+c (1)
a ≠0, b 为常数，n 为正整数且n>1),
n 可作有理代换t =x =1(t -b ) 去掉根式（2a >0) ，可作三角代换，即分别令x =asint (或x =acost ); x =atant (或x =acot t ); x =aset (或x =acsct ) 代换化去根式常用积分公式：1、⎰tanxd x =-ln cosx +c 3、⎰secxd x =ln secx +tanx +c
x 15、=1arctan +c ⎰a 2+x 2x
2、
⎰cotxd x =ln sinx +c 4、⎰cscxd x =ln cscx -cotx +c 6、⎰a 21-x 2d x =81
l n
a +x +c
7x
x =arcsin +c
x =ln x ++c
分部积分法
分部积分公式：分部积分法是建立在函数乘积的求导（或微分）法则的基础之上的，设u =u (x ) 、
' '
v =v (x ) 都是可导函数，则有（uv ）=u ' v +v ' u ，uv ' =（uv ）-vu ' , 若u ' 、v ' 都是连续函数，可对上式
两端积分，有⎰uv ' d x =uv -⎰vu ' d x (A)通过凑微分，有⎰ud v =uv -⎰vd u
(B)
公式A 或B 称为不定积分的分部积分公式，当积分⎰uv ' d x 或⎰ud v 不易计算而积分⎰vu ' d x 或⎰vd u 容易计算时，公式A 、B 将起化难为易的作用，运用公式A 、B 的关键是如何将所求积分化为⎰uv ' d x 或
⎰ud
v
即正确选取u 和d v 。