三角函数单调性.值域练习43答案

1．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( ) ππ

A ．[－

44

π3πππ

B ．[] C ．[0，] D ．[，π]

4422

π

解析：选C. 若函数y ＝cos 2x 递减，应有2k π≤2x ≤π＋2k π，k ∈Z ，即k π≤x ≤k π，k ∈Z ，

2π

令k ＝0可得0≤x .

2

π⎫

2．函数y ＝2sin ⎛ωx＋(ω＞0) 的周期为π，则其单调递增区间为( )

⎝4⎭A. ⎡⎣k π－C. ⎡⎣k π－

3ππ⎡2k π－3π，2k ππ⎤(k ∈Z ) ，k π＋(k ∈Z ) B.

⎣4444⎦

3ππ⎡2k π－3π，2k ππ⎤(k ∈Z ) ，k π⎤(k ∈Z ) D. ⎣88⎦88⎦

2πππππ

解析：选C. 周期T ＝ππ，∴ω＝2. ∴y ＝2sin ⎛2x ＋. 由－＋2k π≤2x ＋≤2k π＋，

⎝ω42423π

k ∈Z ，得k π－x ≤k π＋k ∈Z .

88

π

3．若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ) 在区间[0]上的单调性相同，则φ的一个值是

2πA. 6

ππ

B. C.

43

π

D. 2

π

解析：选D. 由函数y ＝cos 2x 在区间[0]上单调递减，将φ代入函数y ＝sin(x ＋φ) 验证

2π

可得φ.

2

4. 设函数f (x ) ＝|sin(x )|(x ∈R ) ，则f (x )( )

3A ．在区间[

2π7ππ

，上是增函数 B ．在区间[－π，－]上是减函数 362

πππ5π

C ．在区间[，]上是增函数 D ．在区间[，上是减函数

3436

ππππ

解析：选A. f (x ) 的增区间为k π≤x ≤k π(k ∈Z ) ，即k πx ≤k π＋k ∈Z ) ．当k ＝1，

3236则为

2π7π2π7π

≤x ，故在其子区间[]上为增函数． 3636

1π

5．函数y ＝3tan(x ＋的增区间为_______

243ππ

答案：(2k π－2k π＋，(k ∈Z)

22

ππ

6．已知函数y ＝tan ωx在(，内是减函数，则ω的取值范围是________．

22πππ

解析：y ＝tan ωx在(－，是减函数，∴ω＜0且π⇒－1≤ω＜0. 答案：－1≤ω＜0

22|ω|πx

7. 求函数f (x ) ＝－) 的周期和单调递减区间；

64

πx x ππππx ππ

解：(1)因为f (x ) ＝3tan() ＝－3tan(，所以T ＝＝4π.由k π－－＜k π＋(k

6446ω12462

4∈Z) ，

4π8πx π4π8π

得4k πx ＜4k π＋(k ∈Z) ．因为y ＝3tan() 在(4k π－4k π＋)(k ∈Z) 内单调递

334633x π4π8π

增，所以f (x ) ＝－3tan() 在(4k π－4k π＋)(k ∈Z) 内单调递减．故原函数的周期为

46334π8π

4π，单调递减区间为(4k π－，4k π)(k ∈Z) ．

33

1

8．函数f (x ) ＝() |cosx |在[－π，π]上的单调递减区间为________．

3

ππ

解析：只需求出y ＝|cosx |在[－π，π]上的单调递增区间．答案：[0]和，π]

22

9．下列函数中，周期为π，且在，上为减函数的是________(填序号) ．

42

ππππ

①y ＝sin(2x ＋； ②y ＝cos(2x ) ； ③y ＝sin(x ＋ ④y ＝cos(x ．

2222πππ

解析：因为函数的周期为π，所以排除③④，又因为y ＝cos(2x ＋＝－sin2x 在[]上

242πππ

为增函数，所以②不符合，只有函数y ＝sin(2x ＋) 的周期为π，且在[上为减函数．答

242案：①

ππ

10．函数y ＝2sin ⎛－x ⎫－cos ⎛x ⎫(x ∈R ) 的单调递增区间是__________．

⎝3⎭⎝6⎭

πππππππ

解析：因为(x ) ＋(x ) ＝所以y ＝2sin(－x ) －sin(x ) ＝sin(－x ) ＝－sin(x －．由

3623333ππ3511

2k πx －≤2k ππ(k ∈Z ) ，得2k π＋≤x ≤2k π(k ∈Z ) ，故原函数的单调递增

[1**********]

区间是[2k π＋，2k ππ](k ∈Z ) ．答案：[2k π＋，2k π＋π](k ∈Z )

666611．求下列函数的单调递增区间： π

(1) y ＝1＋2sin(－x ) ；

6

(2) y ＝log 1cos x .

2

πππ

解：(1)y ＝1＋2sin(x ) ＝1－2sin(x －．令u ＝x －则根据复合函数的单调性知，所

666ππ3π

给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即＋2k π≤x 2k π(k ∈Z ) ，

26225π25

亦即π＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z ) ，故函数y ＝1＋2sin(－x ) 的单调递增区间是[π＋2k π33633＋2k π](k ∈Z ) ．

ππ1

(2)由cos x >0，得－2k π

222

2

πππ

即为u ＝cos x ，x ∈(＋2k π＋2k π)(k ∈Z ) 的递减区间，∴2k π≤x

222

数y ＝log 1cos x 的单调递增区间为[2k π，＋2k π)(k ∈Z ) ．

2

2

⎛π⎫⎪对x ∈R 恒成立，12．已知函数f (x ) ＝sin(2x ＋φ) ，其中φ为实数且|φ|＜π，若f (x )≤⎪f

⎪⎝6⎭⎪

π且f ⎛⎝2＞f (π)，求f (x ) 的单调递增区间．

ππππ5π解：由f (x ) ≤⎪f ⎛⎫⎪对x ∈R 恒成立知φ＝2k π±k ∈Z ) ，得到φ＝2k π＋或φ＝2k π－

⎪⎝6⎭⎪6266(k ∈Z ) ，

π5ππ5ππ

代入f (x ) 并由f ⎛⎫＞f (π)检验得，φ的取值为－，所以由2k π≤2x －≤2k π＋k ∈Z ) ，

⎝2⎭6262π2π得f (x ) 的单调递增区间是⎡k π＋k π＋(k ∈Z ) ． ⎣63ππ

13．已知ω＞0，函数f (x ) ＝sin(ωx＋在(π)上单调递减，则ω的取值范围是________．

42πππ

解析：因为ω＞0，f (x ) ＝sin(ωx) 在(，π) 上单调递减，所以函数f (x ) ＝sin(ωx＋) 的周

424ππωππππ

期T ≥2(π) ＝π.又ω＞0，所以0＜ω≤2. 因为x ＜π，所以＋＜ωx＋＜ωπ，所

222444

⎧ωπππ

⎪15

以⎨242解得ω≤24

π3π⎪ωπ＋⎩42，

15

答案：[，]

24

1

14. 函数y ＝(sin x 的单调递增区间为_______

2

解析：设u ＝sin x ，由复合函数的单调性知求原函数的单调递增区间即求u ＝sin x 的单调π3ππ3π

递减区间，结合u ＝sin x 的图象知：2k π＋x ≤2k π＋，k ∈Z . 答案：[2k π，2k π＋k

2222∈Z )

0＜ω≤2，

15．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )

A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[－1，1] D ．[－2，0]

⎧⎪0， sin x ≥0

解析：选D. y ＝sin x －|sin x |＝⎨⇒－2≤y ≤0.

⎪2sin x ， sin x

16. 函数f (x ) ＝－2sin 2x ＋2cos x 的最小值和最大值分别是( ) 515

A ．－2，2 B ．－2， C ，2 D ，2

222

15

解析：选D. f (x ) ＝－2sin x ＋2cos x ＝2cos x ＋2cos x －2＝2⎛cos x ＋－∵－1≤cos

⎝2⎭2

2

2

2

x ≤1，∴当cos x 时，f (x ) min ＝－，当cos x ＝1时，f (x ) max ＝2. 故选D.

sin x ＋1

17. 对于函数y ＝x

sin x A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值也无最小值 解析：选B. ∵y ＝选B.

ππ

18. 函数y ＝tan x (x ≤x ≠0)的值域是( )

44

A ．[－1，1] B ．[－1，0) ∪(0，1] C ．(－∞，1] D ．[－1，＋∞) 解析：选B. 根据函数的单调性可得． 19．函数y ＝|tan 2x |是( )

A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 ππ

C ．周期为 D ．周期为

22π

解析：选D. f (－x ) ＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x ) 为偶函数，T 220. 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )

sin x ＋11

＝1＋又x ∈(0，π) ，∴sin x ∈(0，1]．∴y ∈[2，＋∞)，故sin x sin x

1252

A ．[－1,1] B ．[－，－1] C ．[1] D ．[－1，444

12552

解析：选C. 令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，∴y ＝t ＋t －1＝(t ＋－t ∈[－1,1]，∴y ∈[－2441]．

1

21．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，，则b －a 的最大值和最小值之和为

2A.

4π3π B ．2π C ．4π D. 32

4π2π

解析：选B. 画出图象可知，b －a ，∴最大值和最小值的和为

334π2π

＋2π 33

22．函数y ＝4cos 2x ＋4cos x －2的值域为

A．[－2,6] B．[－3,6] C．[－2,4] D．[－3,8]

1

解析：选B. y ＝4cos 2x ＋4cos x －2＝4(cos2x ＋cos x ) －2＝4(cosx ＋) 2－3. ∵－

21

1≤cosx ≤1，∴y min ＝－3，y max ＝4(12－3＝6.

2πππ

23. 函数y ＝tan(x )(x ∈[，]且x ≠0)的值域为( )

244

A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1) D ．[－1，＋∞)

ππππ3ππππ

解析：选B. ∵－x ，∴－x ≤且－x ≠由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan(44424222x ) 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

24. 函数y ＝3－sin x －4cos x 的最小值为( )

A ．－2 B．－1 C．－6 D．－3

解析：选B. y ＝3－sin 2x －4cos x ＝3－(1－cos 2x ) －4cos x ＝cos 2x －4cos x ＋2＝(cosx －2) 2－2.

∵－1≤cosx ≤1，∴y min ＝(1－2) 2－2＝－1.

2

25. 已知函数f (x ) ＝(sinx ＋cos x ) －|sinx －cos x |，则f (x ) 的值域是

22( )

A ．[－1,1] B ．[－

，1] C ．[－1 D ．[－1，－] 222

⎧⎪cos x (sin x ≥cos x )，⎪sin x (sin x ＜cos x ). ⎩

解析：选C. 当sin x ≥cos x ，f (x ) ＝cos x ，当sin x ＜cos x ，f (x ) ＝sin x ，∴f (x ) ＝⎨

，故选C. 2

图象如图实线表示．所以值域为[－1，

π

26. 函数y ＝3＋3cos(2x ) 的值域是________．

3π

解析：－1≤cos(2x ＋≤1，∴0≤y ≤6. 答案：[0,6]

3

27. 已知函数y ＝3cos(π－x ) ，则当x ＝________时函数取得最大值．

1πππ

解析：当函数取最大值时，－＝2k π(k ∈Z ) ，x ＝4k π＋(k ∈Z ) ．答案：4k π(k ∈Z )

242228．函数y ＝sin 2x －6sin x ＋10的最大值是________，最小值是________．

解析：令sin x ＝t ，t ∈[－1,1]，则t 2－6t ＋10＝(t －3) 2＋1，∴最大值为17，最小值为5. 答案：17 5

1π29. 函数y ＝3cos ⎛⎝2x －4在x ＝________时，y 取最大值．

1πππ

解析：当函数取最大值时，－＝2k π(k ∈Z ) ，x ＝4k π＋(k ∈Z ) ．答案：4k π(k ∈Z )

2422ππ

30．已知函数f (x ) ＝2sin(x ＋，x ∈[0，]，则f (x ) 的值域是________

33

πππ2ππ

解析：x ∈[0，，x ＋∈[π]．sin(x ＋∈[1]，则2sin(x ) ∈[，2]．答案：

3333323[，2]

π

31．若函数f (x ) ＝2sin ωx(0＜ω＜1) 在区间[0]上的最大值为，则ω＝________.

3

解析：由0＜ω＜1知，函数f (x ) 在[0]上单调递增，所以f ) ＝，则可求出ω.

333

答案：4

1ππ

32. 函数y (－≤x ≤x ≠0) 的值域是________

tan x 44

ππ

解析：当x ∈[0) ∪(0，]时，tan x ∈[－1,0) ∪(0,1]，∴y ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞) ．

44答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)

π

33. f (x ) ＝2sin ωx(0＜ω＜1) ，在区间⎡0，⎤上的最大值是，则ω＝_______

⎣3⎦π

34. ．已知函数f (x ) ＝a sin(x －) ＋a ＋b .

4(1)当a ＝1时，求函数f (x ) 的单调递减区间；

(2)当a ＜0时，f (x ) 在[0，π]上的值域为[2,3]，求a ，b 的值．

ππ

解：(1)当a ＝1时，f (x ) ＝x －) ＋1＋b . ∵y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋，2k π＋

423πππ3π3π7π

](k ∈Z) ，∴当2k π＋x －≤2k π2k π≤x ≤2k π＋(k ∈Z) 时，f (x ) 是减函2242443π7π

数，所以f (x ) 的单调递减区间是[2k π＋2k π＋](k ∈Z) ．

44

πππ3ππ

(2)f (x ) 2a sin(x －) ＋a ＋b ，∵x ∈[0，π]≤x －≤≤sin(x －) ≤1. 又

444424∵a ＜0，

π

∴a ≤a sin(x －) ≤－a . ∴a ＋a ＋b ≤f (x ) ≤b ，∵f (x ) 的值域是[2,3]，∴a ＋a ＋b

4＝2且b ＝3，解得a ＝1－，b ＝3.

35．求下列函数的最大值和最小值：

π

(2)y ＝3＋2cos(2x ) ．

3

1⎧⎪1－cos x ≥0，11362解：(1)因为⎨所以1－x ≤所以当cos x ＝－1时，y max ＝

2222

⎪－1≤cos x ≤1. ⎩当cos x ＝1时，y min ＝

2

πππ

(2)因为－1≤cos(2x ＋) ≤1，所以当cos(2x ) ＝1时，y max ＝5；当cos(2x ) ＝－1时，y min

333＝1.

π

36. ．已知：f (x ) ＝2sin(2x ＋＋a ＋1(a ∈R ，a 为常数) ．

6(1)若x ∈R ，求f (x ) 的最小正周期；

ππ

(2)若f (x ) 在[－，]上最大值与最小值之和为3，求a 的值．

66

ππππ

解：(1)∵2sin[2(x ＋π)＋＝2sin[(2x ＋＋2π]＝2sin(2x ＋，∴函数f (x ) ＝2sin(2x ＋) ＋a

6666＋1的最小正周期为π.

πππππππ1π

(2)x ∈[－，]⇒2x ∈[－，]⇒2x ＋∈[－，]．∴－≤sin(2x ＋) ≤1. 即

663366226

⎧⎪f （x ）max ＝2＋a ＋1＝3＋a

⎨，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0. ⎪f （x ）min ＝－1＋a ＋1＝a ⎩